暑假新高一985培优讲义：第10讲 运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动（解析版）

第10讲运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动1.掌握x－t图像和v－t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义和分析图像。2.掌握追及相遇问题的分析思路和方法。3.会运用竖直上抛运动的基本规律处理物理问题。运动学图像1.x－t图像与v－t图像的比较比较项目x－t图像v－t图像运动描述点交点表示两物体相遇的位置和时刻表示两物体在该时刻速度相同拐点表示该时刻速度方向发生改变表示该时刻加速度方向发生改变线若为平行于时间轴的直线，表示物体静止：若为倾斜直线，表示物体做匀速直线运动；若为曲线，表示物体做变速运动若为平行于时间轴的直线，表示物体做匀速直线运动；若为倾斜直线，表示物体做匀变速直线运动；若为曲线，表示物体加速度发生变化斜率斜率大小表示速度大小，斜率正负表示速度方向斜率大小表示加速度大小，斜率正负表示加速度方向截距纵截距表示t＝0时刻物体的位置表示t＝0时刻物体的速度横截距表示物体位移为零的时刻表示物体速度为零的时刻图线与时间轴所围面积无实际意义表示对应时间内的位移。图线在时间轴上方表示位移为正，图线在时间轴下方表示位移为负。若图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和2.图像的应用(从图像中提取信息)(1)首先看清纵横轴代表的物理量，弄清图像反映什么量间的函数关系。(2)点：表示物体所处状态，注意甄别交点、拐点代表的物理意义。(3)线：描述纵轴物理量随横轴物理量变化而变化的规律，可以判断物体运动的性质。(4)斜率和截距：利用相关公式分析斜率和截距所描述的物理量。(5)面积：利用相关公式分析面积的含义。二、追及相遇问题1.追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。2.分析追及相遇问题的思路和方法(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。一个条件速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点两个关系时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口(2)常用方法物理分析法抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系图像法将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解数学分析法设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰三、竖直上抛运动1.竖直上抛运动的定义将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。2.竖直上抛运动的实质初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。3.竖直上抛运动的规律基本公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(速度公式：v＝v0－gt,位移公式：h＝v0t－\f(1,2)gt2,速度与位移关系式：v2－veq\o\al(2,0)＝－2gh))推论eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(上升时间t＝\f(v0,g),上升最大高度H＝\f(veq\o\al(2,0),2g),落回出发点的总时间t总＝\f(2v0,g)))4.竖直上抛运动的特点(1)对称性①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′。(2)多解性通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。5.竖直上抛运动的处理方法分段法上升阶段是初速度为v0、a＝－g的匀减速直线运动；下落阶段是自由落体运动全过程分析法全过程看作初速度为v0、a＝－g的匀变速直线运动(1)v>0时，上升阶段；v<0，下落阶段(2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方考点一：运动学图像【例1】如图所示，甲图为某质点的图像，乙图为某质点的图像，下列关于两质点的运动情况说法正确的是（）A．0~2s内：甲图质点做匀加速直线运动，乙图质点做匀速直线运动B．2~3s内：甲图质点和乙图质点均静止不动C．3~5s内：甲图质点和乙图质点均做匀减速运动，加速度为D．0~5s内：甲图质点的位移为，乙图质点的位移为100m【答案】D【详解】A．图像的斜率表示物体运动的速度，图像的斜率表示物体的加速度，则0~2s内题图甲质点做匀速直线运动，题图乙质点做匀加速直线运动，故A错误；B．2~3s内题图甲图线斜率为零，即速度为零，题图乙质点速度恒定不变，做匀速直线运动，故B错误；C．3~5s内题图甲图线的斜率恒定，质点做匀速直线运动，而题图乙质点速度均匀减小，做匀减速直线运动，故C错误；D．题图甲表示质点的位置坐标随时间变化图像，则质点位移为题图乙中图线与坐标轴围成的面积表示位移，则故D正确。故选D。考点二：追及相遇问题【例2】甲，乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以速度20m/s做匀速直线运动，乙车原来的速度为4m/s，从距甲车后128m处以大小为1m/s2的加速度做匀加速运动，则乙车追甲车的过程（）A．经16s两车距离最远B．经16s乙车追上了甲车C．两车最远距离为256mD．两车最远距离为200m【答案】AC【详解】AB．速度相同时两车距离最远，则有解得所以经过16s两车相距最远，故A正确，B错误；CD．经过16s两车的距离为解得故C正确，D错误。故选AC。考点三：竖直上抛运动【例3】从高的房的阳台上以的初速度竖直向上抛出一小球，不计空气阻力，求小球运动到离抛出点处所经历的时间可能是（）（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】取向上为正方向，小球运动到抛出点上方处时，小球位移为20米，则根据代入数据解得小球运动到抛出点下方处时，小球位移为-20米，则根据代入数据解得；（舍去）故选BD。1．在同一平直公路上行驶的甲、乙两辆汽车，其图像分别如图中直线a和曲线b所示，已知b曲线是抛物线的一部分，且直线a和曲线b相切于点（6s，32m）。下列说法正确的是（）A．在6s时刻两车相遇，但速度不相同B．在时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度C．甲车做匀速直线运动，乙车做变加速直线运动D．6s时，乙车速度为4m/s【答案】D【详解】A．在6s时刻，两车的位移相同，可知两车相遇；两图像的斜率相等，说明甲乙两车速度相等，故A错误；B．根据位移等于纵坐标的变化量，可知在时间内，甲车的位移小于乙车的位移，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故B错误；C．根据图像的斜率表示速度，可知甲车的速度保持不变，做匀速直线运动；曲线b的斜率在减小，说明乙车速度减小，所以乙车做减速运动，故C错误；D．在6s时，两车的速度相等，根据图像的斜率表示速度，可得故D正确。故选D。2．甲、乙两物体沿同一直线运动，时刻，两物体经过同一位置，它们的速度时间图像如图，则在该运动过程中（）A．时刻，甲在乙的后面B．时刻，甲、乙同时同地出发C．时间内，甲的速度一直减小而加速度一直增大D．时间内，甲的速度和加速度均一直减小【答案】D【详解】AB．根据中面积表位移，由图可知，时间内，乙的位移大于甲的位移，由于时刻，两物体经过同一位置，则时刻，甲在乙的前面，故AB错误；CD．由图可知，甲的速度一直减小，根据中斜率表示加速度，由图可知，时间内，甲的加速度一直减小，故C错误，D正确。故选D。3．冰壶是奥运会上一种投掷竞赛项目，具有观赏性。运动员以一定初速度投出冰壶使其在冰面上自由滑行，其v—t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（

）A．冰壶在t0时间内的平均速度小于B．冰壶做加速度逐渐增大的减速运动C．比赛中运动员常在冰壶运动的前方刷冰，使其滑行的加速度增大D．冰壶运动在t0时间内位移中点的瞬时速度小于中间时刻的瞬时速度【答案】A【详解】BC．v—t图线的斜率表示加速度，该图线的斜率逐渐减小，可知冰壶做加速度减小的减速运动，即比赛中运动员常在冰壶运动的前方刷冰，使其滑行的加速度减小，BC错误；A．速度图线与时间轴围成的面积表示位移，若将该图线与匀减速直线运动的图线比较可知，冰壶在t0秒内运动的位移冰壶在t0时间内的平均速度即冰壶在时间内的平均速度小于，A正确D．冰壶在运动的中点处，两侧的位移大小相等，在v—t图线上找到并标出冰壶在运动中点的瞬时速度和中间时刻的瞬时速度如图可知冰壶在运动中点的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，D错误。故选A。4．在平直公路上行驶的甲、乙两车某时刻刚好并排行驶，从该时刻开始计时，两车运动的位移x和时间t的比值与时间t之间的关系如图所示，两车可视为质点，下列说法中正确的是（

）A．甲车的加速度大小为 B．时刻两车再次相遇前相距最远C．两车在时再次相遇 D．两车再次相遇前的最大距离为6m【答案】C【详解】A．由图像对于甲车有可得即甲车做匀减速直线运动，结合匀变速公式可知，甲车的初速度和加速度分别为，即甲车的加速度大小为，故A错误；C．由图像对于乙车有可得即乙车做匀加速直线运动。乙车的初速度和加速度分别为，当时；即当时两车再次相遇，故C正确；BD．当两车速度相等时两车之间的距离最大，即解得即时两车再次相遇前相距最远。可得再次相遇前的最大距离为故BD错误。故选C。5．挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6m长的套马杆，由静止开始催马追赶，最终套住烈马。整个过程二者的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．骑手追赶烈马过程中二者之间的最大距离为40mB．t=9s时骑手刚好追上烈马C．骑手在t=8s时挥杆，能套到烈马D．8-9s内烈马的加速度小于0-6s内骑手的加速度【答案】C【详解】A．当骑手和烈马速度相同时二者间距最大，由v-t图像图线与坐标轴所围的面积表示位移，可得，A错误；B．由图形所围的面积可以算出0~9s内，烈马的位移为骑手0~9s内位移因x1>x2因此t=9s时骑手未追上烈马，B错误；C．由图形所围的面积可以算出0~8s内，烈马的位移为骑手的位移为套马杆长l=6mx4+l>x3所以骑手在8s时刻挥杆，能套到烈马，故C正确；D．由加速度定义式知8~9s内烈马加速度，0~6s内骑手的加速度故D错误。故选C。6．如图是甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移—时间图像，由图像可知（）A．乙开始运动时，两物体相距20mB．在0~10s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大C．在10~25s这段时间内，两物体间的距离逐渐减小D．两物体在10s时相距最远，在25s时相遇【答案】BCD【详解】A．乙在t=10s时开始运动，此时甲的位移大于20m，故A错误；B．在0~10s这段时间内乙静止，而甲向正方向运动，两物体间的距离逐渐增大，故B正确；CD．在10~25s这段时间内，甲在前乙在后，因图像的斜率等于速度，则乙的速度较大，则两物体间的距离逐渐减小，10s末两物体间的距离最大，25s末两物体的位置相同即相遇，故CD正确。故选BCD。7．气球上系一物体，以3m/s的速度自地面匀速上升，当物体上升到离地面的高度处时，绳子突然断了，气球和物体均可视为质点，取重力加速度大小，关于绳断后物体的运动情况，下列说法正确的是（）A．物体将做自由落体运动 B．物体经过1.8s落到地面C．物体运动1s后的速度大小为5m/s D．物体落地时的速度大小为4m/s【答案】B【详解】A．物体有竖直向上的初速度，并不是自由落体运动，故A错误；B．根据匀变速直线运动位移时间关系式解得（另一解舍去）故B正确；C．物体运动1s后的速度大小故C错误；D．物体落地时的速度大小故D错误。故选B。8．在某一高度以的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力），当小球的速度大小为10m/s时，以下判断正确的是（g取10m/s2）（）A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15m/s，方向向上B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5m/s，方向向下C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5m/s，方向向上D．小球的位移大小一定是15m【答案】ACD【详解】A．小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式求出。规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为10m/s，方向竖直向上时，求得平均速度为15m/s，方向竖直向上，A正确；BC．当小球的末速度大小为10m/s，方向竖直向下时，vt=-10m/s，求得平均速度大小为5m/s，方向竖直向上，C正确，B错误；D．根据竖直上抛规律，末速度大小为10m/s时，球的位置一定，距起点的位移大小h==15m，D正确。故选ACD。1．质点做直线运动的速度时间图像如图所示，该质点（）A．在第1s末速度方向发生了改变 B．质点在4s末离出发点最远C．第3s内速度与加速度的方向相同 D．在前2s内发生的位移为零【答案】C【详解】A．0~2s内，质点的速度始终为正值，即质点一直朝正方向运动，故A错误；B．图线与横轴所围区域的面积表示质点发生的位移，所以在0~4s内，质点的位移为零，在4s末质点回到出发点，故B错误；C．第3s内质点做匀加速直线运动，所以速度与加速度方向相同，故C正确；D．在前2s内发生的位移为故D错误。故选C。2．如图所示为A、B两质点在同一直线上运动的位移-时间图像，A质点的图像为直线，B质点的图像为过原点的抛物线，两图像交点C、D坐标如图，下列说法正确的是（）。A．A、B相遇一次B．时刻A、B两质点速度相同C．两物体速度相等的时刻一定在时间内的中间时刻D．A在B前面且离B最远时，B的位移为【答案】C【详解】A．在位移—时间图象中，图象的交点表示同一时刻到达同一位置，即相遇，图像有两个交点，表示A、B相遇两次，故A错误；B．根据位移—时间图像的斜率表示速度，可知在t2时刻，A的速度小于B的速度，故B错误；CD．位移—时间图象的斜率表示速度，B图线的切线斜率不断增大，而且B图线为过原点的抛物线，根据x=kt2可知B做匀加速直线运动，因为t1～t2时间段内B质点的平均速度与A质点匀速运动的速度相等，而匀变速直线运动的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，所以两物体速度相等的时刻一定在t1～t2时间段内的中间时刻，此时距离最远，B的位移小于，故C正确，D错误。故选C。3．物体A从地面竖直上抛，同时在离地某一高度处另有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速率都是v，则下列说法正确的是（）①物体A上抛时的初速度和物体B落地时的速度大小都是2v②物体A能上升的最大高度和物体B开始下落的高度相同③两物体在空中同时到达同一高度时一定是B开始下落高度的中点④物体A和物体B落地时间相同A．①④ B．①②③④ C．①② D．①②③【答案】C【详解】由竖直上抛运动的对称性可知，A物体恰好能上升到B物体释放的位置，即物体A能上升的最大高度和物体B开始下落的高度相同；两物体运动时间相等，则B物体落到地面时的速度为2v，即物体A上抛时的初速度和物体B落地时的速度大小都是2v；根据初速度为零的匀加速直线运动的推论，两物体相遇的位置距地面的高度是B开始下落高度的；物体A落地时间与物体B落地时间之比为2:1。则①②说法正确。故选C。4．如图所示是某质点作直线运动的图像，根据图像判断下列说法正确的是（）A．0.5s与2s时刻，质点的速度方向相反B．0~1s与4~5s内，质点加速度方向相反C．质点在0~5s内的平均速度是0.8m/sD．0~1s内的加速度大小是1~3s内的加速度大小的2倍【答案】CD【详解】A．由图像可知，0.5s与2s时刻，质点的速度方向都为正方向，故A错误；B．根据图像的斜率表示加速度，可知0~1s与4~5s内，质点加速度方向相同，故B错误；C．根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知质点在0~5s内的位移为在质点在0~5s内的平均速度为故C正确；D．根据图像的斜率表示加速度，可知0~1s内的加速度大小为，1~3s内的加速度大小为可得故D正确。故选CD。5．据中国海事局网站消息，葫芦岛海事局发布航行警告，12月19日至20日，每天2时至18时，渤海北部海域进行军事演习，禁止驶入。如图所示的位移（x）—时间（t）图像和速度（v）—时间（t）图像中甲、乙、丙、丁代表四艘船的运动情况，则下列说法正确的是（）A．四艘船一定都做直线运动B．0~t1时间内，乙船通过的路程大于甲船通过的路程C．0~t2时间内，丙船的平均速度小于丁船的平均速度D．0~t2时间内，丙、丁两船在t2时刻可能相距最远【答案】ACD【详解】A．位移（x）—时间（t）图像和速度（v）—时间（t）图像均只能描述直线运动，所以四艘船都做直线运动，A正确；B．由位移（x）—时间（t）图像可知，0~t1时间内，乙船通过的路程等于甲船通过的路程，B错误；C．速度（v）—时间（t）图像可知图像所围的面积表示位移，所以在0~t2时间内丙船的位移小于丁船，根据可知0~t2时间内，丙船的平均速度小于丁船的平均速度，C正确；D．如果0时刻时丁船在丙船的前面，t2时刻丙、丁两船船速相等，则t2时刻两船相距最远，D正确。故选ACD。6．从地面竖直向上速度为v0抛出一个物体A，同时在离地面高度为H处有另一个物体B开始自由落下，两物体不在同一竖直线上，它们同时到达同一高度，且此时速率都为v，不计空气阻力，两物体可视为质点，则下列说法中正确的是（）A．物体A和物体B在离地面高相遇B．物体A和物体B同时落体C．物体A和物体B落地时速度相同D．如果物体A的速度小于，两物体将不会再空中相遇【答案】CD【详解】AB．由题意得得，可知，在经过t，A到达最高点，此时B刚好到达地面，对B，物体A和物体B在离地面高相遇，二者没有同时落地，AB错误；C．两物体的运动过程互为逆运动，则落地时速度大小相等，C正确；D．若物体A的初速度等于，则返回地面的时间为，B落地时间为二者刚好在地面相遇，则如果物体A的速度小于，两物体将不会再空中相遇，D正确。故选CD。7．某天，张叔叔在上班途中沿人行道向一公交车站走去，发现一辆公交车正从身旁的平直公路驶过，此时，张叔叔的速度是1m/s，公交车的速度是15m/s，他们距车站的距离为50m。假设公交车在行驶到距车站25m处开始刹车，刚好到车站停下，根据需要停车一段时间后公交车又启动向前开去。张叔叔的最大速度是7m/s，最大起跑加速度为3m/s2，为了乘上该公交车，在发现公交车后他便用力向前跑去，求：（1）公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度大小是多少。（2）分析该公交车至少停车多久张叔叔才能在车启动前追上车。【答案】（1）4.5m/s2；（2）