2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.15分）设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2＝2，S6＝48，则等差数列{an}的公差为()25分1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为15，则n=()35分）设f（xe2x﹣x，则f（x）的导函数f′（x）=()A．2e2x﹣1B．2e2x+1C．e2x﹣1D．e2x+145分）某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N（110，100则估计该班数学得分大于120分的学生人数为()（参考数据：P（|X﹣μ|<σ)≈0.68，P（|X﹣μ|＜2σ)≈0.95.)A．1655分）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P（A）=()65分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是()A．960B．720C．480D．24075分）设P（A）表示事件A发生的概率，已知P（B0.4，P（B|A0.8，P(B|A)=0.3，则P（A）=()85分）2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球．为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书．为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100元奖品．现有A，B，C三名学生报名参加这次竞赛，已知A通过初赛，复赛的概率分别为B通过初赛，复赛的概率分别为，；C通过初赛，复赛的概率与B完全相同．记这三人获得奖品总额为X元，则X的数学期望为()二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.（多选）95分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题．减少硶排放具有深远的意义．我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一．在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来．表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y（单位：千辆）与月份x的统计数据.已求得与的经验回归方程为=0.6x+4.2，则()月份x12345销量y55m68B．y与x正相关C．y与x的样本相关系数一定小于1D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆（多选）105分）已知(x−1)(x+2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则()A．a0+a1+a2+⋯+a7＝0B．a2＝48C．a0+a2+a4+a6=﹣2D．a1+a3+a5+a7＝1（多选）115分）在公比为q的正项等比数列{an}中，a1＞a5＝1，{an}前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列结论正确的是()A．数列{an}为递减数列B．数列{Tn}为递增数列C．当n＝4或5时，Tn最大D．sn＜（多选）125分）若关于x的方程x2a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则实数a的取值可以是()三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.135分）从4名男生和3名女生中选3人去参加一项创新大赛，要求既有男生又有女生，那么共有种选法（用数字作答）.145分）过点P(﹣12）作曲线y＝ln（x+1）的切线，则该切线的斜率为.155分）将n2个数排成n行n列的数阵，如下所示，其中aij(1≤i≤n，1≤j≤n，n∈N∗)表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到2公的数列，若a11＝3，1＜i＜n，则aii=.165分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次．若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币353555646了解数字人民币406025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表低学历高学历合计不了解数字人民181812分）在①a1+2a2+⋯+nan=(2n−1⋅3n+1，②sn=an+1，且a2＝3．这两个条件中任选了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=(a+b)(b+d).0.0500.0100.001k3.8416.63510.828一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列{an}(n∈N∗)的前项和为Sn，且满足.（1）求数列{an}的通项；（2）求数列{（2n﹣1）an}前n项和Tn.1912分）已知函数f(x)=x(2a+1)lnx，a∈R.（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性.2012分）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4．在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.（1）当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；（2）当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？2112分）设数列{an}前n项和为Sn，a1＝1，4Sn＝anan+1+1（an≠0bn=（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}前n项和为Tn，问Tn是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.2212分）已知函数f（xax2+2cosx﹣2a∈R）.（1）当a＝1，x∈（0，2π)时，证明：0＜f（x4π2；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围.2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.15分）设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2＝2，S6＝48，则等差数列{an}的公差为【解答】解：设公差为d，【解答】解：设公差为d，故选：C．25分1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为15，则n【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中xn﹣2的系数为c−2=15，则n＝6．故选：B．35分）设f（xe2x﹣x，则f（x）的导函数f′（xA．2e2x﹣1B．2e2x+1C．e2x﹣1D．e2x+1【解答】解：由已知可得，f′（x）＝（e2x）′•（2x）′﹣x′＝2e2x﹣1．故选：A．45分）某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X～N（110，100则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（参考数据：P（|X﹣μ|＜σ）≈0.68，P（|X﹣μ|＜2σ）≈0.95A．16【解答】解：∵数学成绩X～N（110，100∴P（X＞120）=1−P(100X＜120)≈0.16，故估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.16×50＝8．故选：C．55分）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P（A）=()【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：∴共有24＝16种情况，其中大于5500的有5511、5515、5551、5555共4种.故选：B.65分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是()A．960B．720C．480D．240【解答】解：根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22＝960种排法，故选：A.75分）设P（A）表示事件A发生的概率，已知P（B0.4，P（B|A0.8，P(B|A)=0.3，则P（A）=()【解答】解：根据全概率公式得P（BP（A）•P（B|A）+P（A）•P（B|A得0.4＝0.8P（A）+0.3[1﹣P（A）]，得P（A）=.故选C.85分）2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球．为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书．为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100元奖品．现有A，B，C三名学生报名参加这次竞赛，已知A通过初赛，复赛的概率分别为B通过初赛，复赛的概率分别为，；C通过初赛，复赛的概率与B完全相同．记这三人获得奖品总额为X元，则X的数学期望为()【解答】解：由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，P(X=150)=××P(X=250)=××P(X=450)=××所以X的数学期望E(X)故选：D.132 ××= ××= ×× ××=二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.（多选）95分）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题．减少硶排放具有深远的意义．我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一．在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来．表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y（单位：千辆）与月份x的统计数据.已求得与的经验回归方程为=0.6x+4.2，则()月份x12345销量y55m68B．y与x正相关C．y与x的样本相关系数一定小于1D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆【解答】解：由x==3，y==，代入=0.6x+4.2中有：=0.6×3+4.2⇒m=6，故A由线性回归系数b＝0.6＞0，所以y与x正相关，故B正确；由样本点不全在线性回归方程上，则y与x的样本相关系数一定小于1，故C正确；将x＝7代入线性回归方程=0.6x+4.2中得：=0.6×7+4.2=8.4，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确.故选：ABC.（多选）105分）已知(x−1)(x+2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则()A．a0+a1+a2+⋯+a7＝0B．a2＝48C．a0+a2+a4+a6=﹣2D．a1+a3+a5+a7＝1【解答】解：对于A项，令x＝1，可得a0+a1+a2+⋯+a7=(1−1)(1+2)6=0，故A项正确；对于B项x+2）6展开式的通项为TT+1=C⋅x6−T⋅2T=2TCx6−T，r＝0，1，2，3，4，5，6，由6﹣r＝1可得r＝5，所以（x+2）6展开式含x的项为T6=C⋅x1⋅25=192x，由6﹣r＝2可得r＝4，所以（x+2）6展开式含x2的项为T5=C⋅x2⋅24=240x2，所以（x﹣1x+2）6展开式中含x2的项为x×192x﹣240x2=﹣48x2，所以a2=﹣48，故B项错误；对于C项，令x=﹣1，可得a0−a1+a2−a3+a4−a5+a又a0+a1+a2+⋯+a7＝0，两式相加可得，2（a0+a2+a4+a6）=﹣2，所以a0+a2+a4+a6=﹣1，故C项错误；对于D项，由C可知a0+a2+a4+a6=﹣1，又a0+a1+a2+⋯+a7＝0，所以a1+a3+a5+a7＝1，故D项正确.故选：AD.（多选）115分）在公比为q的正项等比数列{an}中，a1＞a5＝1，{an}前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列结论正确的是()A．数列{an}为递减数列B．数列{Tn}为递增数列C．当n＝4或5时，Tn最大D．sn＜【解答】解：对于A项，由已知可得，0＜q＜1，a1＞0，所以an+1﹣an＝an（q﹣10，所以数列{an}为递减数列，故A项正确；对于B项，由已知可得，0＜a6＜a5＝1，所以T6＝a6T5＜T5，故B项错误；对于C项，由已知可得，1≤n≤4，有an＞1；n＝5时，an＝1；n≥6时，有0＜an＜1.所以，当n＝4或5时，Tn最大，故C项正确；对于D项，由已知可得，a5=a1q4=1，所以a1=，所以，sn=a1n)=q)＜q4(−q)，故D项正确.故选：ACD.（多选）125分）若关于x的方程x2a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则实数a的取值可以是()【解答】解：因为x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0⇔x2﹣（a+3）x|lnx|+3a|lnx|2＝0，即（x﹣3|lnx|x﹣a|lnx|0，所以，x＝3|lnx|或x＝a|lnx|，要使方程x2﹣（a+3）x|lnx|+3aln2x＝0有3个不等的实根，则只需x＝3|lnx|以及x＝a|lnx|这两个方程共有3个不等的实数解，令f（x）==xx＜1，因为方程有3个不等的实根，所以f（xk有3个不同解，当x≥1因为方程有3个不等的实根，所以f（xk有3个不同解，所以当x∈[1，e）时，f′（x0，f（x）单调递增；当x∈[e，+∞)时，f′（x0，f（x）单调递减；且f（x）=≥0在[1，+∞)上恒成立，所以f（x）极大值＝f（e）=，当0＜x＜1时，f（x）=，所以f′（x）=−1x＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，作出函数f（x）的图象，如图所示：由图象可知，时，f（x）==k有3个解，即x=有3个不等的实数解；当k=时，f（x）==k有2个解，即x=有2个不等的实数解；＝0时，f（x）==k有1个解，即x=有1个实数解；当k＜0时，f（x）==k无解，即x=没有实数解.且由图象可得出，当k≥0时，不同k值的方程的解均不相同，所以，x＝3|lnx|有3个不等的实数解.要使x＝3|lnx|以及x＝a|lnx|这两个方程总共有3个不等的实数解，则应有a＝3或＜0，故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.135分）从4名男生和3名女生中选3人去参加一项创新大赛，要求既有男生又有女生，那么共有30种选法（用数字作答）.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出3人有2名男生1名女生，有CC=18种选法，②选出3人有1名男生2名女生，有CC=12种选法，则共有18+12＝30种选法.故答案为：30.145分）过点P(﹣12）作曲线y＝ln（x+1）的切线，则该切线的斜率为e.【解答】解：由已知可得，y'=，点P(﹣12）不在曲线上.设切点为A（x0，y0根据导数的几何意义可知，曲线在点A处切线的斜率k=.所以有00+1)，解得1.故答案为：e.155分）将n2个数排成n行n列的数阵，如下所示，其中aij(1≤i≤n，1≤j≤n，n∈N∗)表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到2公的数列，若a11＝3，1＜i＜n，则aii2i+1）2i﹣1.【解答】解：因为该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，a11＝3，所以ai1＝a11+2（i﹣1）＝3+2i﹣2＝2i+1，因为该数阵每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，所以aii=ai1⋅2i−1=(2i+1)2i−1.故答案为2i+1）2i﹣1.165分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次．若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为()n+.【解答】解1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为P1=；①若质点移动1次后，在B点或C点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为P1=；②若质点移动1次后，在P点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为1×(1−P1)=1所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为P2=+=.（2）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为Pn，n≥2.①若质点移动n﹣1次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为pn−1；②若质点移动n﹣1次后在P点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为1×（1﹣Pn﹣1）＝1﹣Pn﹣1.所以，pn=1−pn−1+pn−1=pn−1+1，所以有pn=(pn−1).又p1=，所以，数列{pn}是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，pn=()n−1=()n，所以，pn=()n+.故答案为()n+.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币353555646了解数字人民币406025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=(a+b)(b+d).0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解1）根据题意填写列联表如下：学历了解情况低学历高学历合计不了解数字人民币275了解数字人民币250275525合计400400800（2）从低学历的被调查者中随机抽取2人，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率为（3）根据列联表计算K2=80075)2=≈3.463＜3.841，所以没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.1812分）在①a1+2a2+⋯+nan=(2n−1⋅3n+1，②sn=an+1，且a2＝3．这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列{an}(n∈N∗)的前项和为Sn，且满足.（1）求数列{an}的通项；（2）求数列{（2n﹣1）an}前n项和Tn.【解答】解1）若选①:当n≥2时，a1+2a2+⋯+nan=(2n−1⋅3n+1，a1+2a2+⋯+(n上式相减得nan=(2n−1⋅3n+1−(2n−3)3n−1+1=n⋅3n−1，所以an=3n−1.显然a1＝1满足an=3n−1，所以an=3n−1，n∈N*.若选②:当n＝1时，s1=a2，sn=an+1，sn−1=an，两式相减得sn−sn−1=an+1an，即an又a2a1=an+1−an，整理可得a1=3.==3满足该式，1所以a1=3，n∈N*，所以数列{an}成等比数列，所以an=3n−1，n∈N*.=2（1+3+32+⋯+3n﹣112n﹣1）×3n1912分）已知函数f(x)=x(2a+1)lnx，a∈R.（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性.【解答】解1）当a＝0，f（x由f′（x）＝0可得，x＝1.当x∈（0，1）时，有f′（x0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞)时，有f′（x0，所以f（x）在（1，+∞)上单调递增.所以f（x）的极小值为f（1）＝1，无极大值.（2）由已知可得f（x）定义域为（0，+∞),且f'(x)=1+−21=x2（2）由已知可得f（x）定义域为（0，+∞),由f′（x）＝0可得，x＝2a或x＝1.①当2a＞1，即a＞时，由f′（x0可得，0＜x＜1或x＞2a，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（2a，+∞)上单调递增；由f′（x0可得，1＜x＜2a，所以f（x）在（1，2a）上单调递减；②当2a＝1，即a=时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞)上单调递增；③当0＜2a＜1，即0＜a＜时，由f′（x0可得，0＜x＜2a或x＞1，所以f（x）在（0，2a）上单调递增，在（1，+∞)上单调递增；由f′（x0可得，2a＜x＜1，所以f（x）在（2a，1）上单调递减.综上所述，当a＞时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，+∞)上单调递增；当a=时，f（x）在（0，+∞)上单调递增；当0＜a＜时，f（x）在（0，2a）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在（1，+∞)上单调递增.2012分）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4．在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.（1）当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；（2）当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【解答】解1）设A1表示“甲球员出任前锋”，A2表示“甲球员出任中锋”，A3表示“甲球员出任后卫”，则Ω＝A1∪A2∪A3，设B表示“球队输掉某场比赛”，则P（A1）＝0.1，P（A2）＝0.5，P（A3）＝0.4，P（B|A1）＝P（B|A2）＝0.2，P（B|A3）＝0.7，所以