广东省惠阳区某中学人教版高中数学必修一学案：函数及其表示

必修一第一章第2单元

第一课时：1.2T映射（课前先学案）

【自主学习】精读课本P22第二段一P23,完成课前先学案

【学习目标】

了解映射的定义，能用对应关系图表示影射并判断两个影射是否相同。

【知识梳理】

（-）映射的定义（书P22）:设A、B是两个集合，如果按照某个对应法则f,对于集

合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B

的映射：

记为f:ATB.

（二）映射的构成（三要素）：（1）集合A,（2）集合B,（3）集合A到集合B的对应法

则fo

（三）当且仅当两个影射的三要素完全相同时，两个影射相同。

【预习自测】

1.根据映射的定义，判断下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是？如果不

是映射，如何修改可以使其成为映射？

2、指出下列各组映射的三要素，并判断两个映射是否相同？

(1)

B

2

3

(2)

第一课时：L2T映射（上课正学案）

【课堂检测】

1、用对应关系图表示下列对应，然后判断是否从集合A到集合B的映射？

①人二上2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则/：x->x的两倍再加1；

②人二。，2,3,4},B={2,3,4,5,6,7,8,9,10）,对应法则/:xfx平方再加

③设X={0,1,2,3,4},Y={1,—,—,—},对应法则fIx―>—o

234X

2、判断下列两个对应是否是从集合A到集合B的映射？

(1)集合A=E,集合B=R,对应法则2x+l(两倍再加1)：

(2)集合A=R,集合8={川丁2—1},对应法则3—+2x(平方再加两倍);

(3)集合A=H,集合B={3},对应法则/：73(取常数3)；

2

(4)集合A={x|xwO},集合A={y|ywO},对应法则/:x—>(取倒数的2倍);

x

小结归纳：(1)“一一对应”、“多对一”是映射，但“一对多”不是映射；

【拓展探究】

例1、用对应关系图表示下列各组从集合A到集合B的映射，并判断是否表示同一映射？

(1)A={xeN|x<4},5={1,3,5,7},从集合A到集合B的映射/:x—>2x-l；

C={0,l,2,3},。={1,3,5,7},从集合C到集合D的映射2f—1；

(2)A={xeN*|x<4},8={—1,0,3,8},从集合A到集合B的映射

f:x—>x2-2x；

C={1,2,3,4},£>={-1,0,3,8},从集合C到集合D的映射g:/->尸-2f；

例2、已知A=R,B={（x,y）|x,yeR},从集合A到集合B的映射f：xT（x+1,x2+1）,

求：（1）A中的元素&在集合B中对应的元素，（2）B中元素（之,°）在集合A中对应

24

的元素.

【小结与反馈】

（一）映射的定义及其三要素

（二）判断两个映射相同：三要素完全相同

注意：（1）映射是有方向的，若方向不同，映射必然不同；

（2）判断两个映射相时应该关注三要素的实质，与其外在书写形式无关。

第一课时：1.2T映射（课后温学案）

【课外拓展】

必做：

1.设集合A=B={（x,y）|xGR,y6R},从集合A到集合B的映射，f:（x,y）-＞（x-y,x+y）,

求A中元素（1,3）在B中对应的元素，B中元素（1,3）在A中对应的元素。

第二课时：1.2T函数(1)(课前先学案)

【自主学习】精读课本P15—P17,完成课前先学案

【学习目标】

1、会用集合与对应的语言刻画函数，正确理解函数的^念以及对函数符号y=f(x)的

含义；

2、会求函数的定义域。

【知识梳理】

(一)函数的定义

1、初中函数的定义(变量学说、书P16)：

2、高中函数的定义(映射学说)：设A、B是两个非空数集，若f：ATB是从集合A到

集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).

理解：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数(可以用韦恩图表示二者的关系)：

(2)专用符号f(x)的含义：自变量x在对应法则f的作用下的函数值；

函数y=f(x)的定义域是的集合；

函数y=f(x)的值域是的集合；

(3)构成函数的三要素：定义域A、对应关系f和值域B

①三要素的关系：值域是由定义域和对应关系决定的，B=f(A)

②当且仅当三要素都相同时，两个函数相等(或为同一函数)，即两个函数的定义域

和对应关系完全一致，这两个函数相等；

(二)区间的约定：不等式的解集(连续不断的一段全体实数的集合才可以如下表示)：

1、闭区间：满足一l<x<2的全体实数的集合，数轴表示为，区间符号表

示为;

2、开区间：满足一3<x<l的全体实数的集合，数轴表示为,区间符号表

示为：

3、左开右闭区间：满足的全体实数的集合，数轴表示为,区间表示

为;

4、左闭右开区间：满足3Wx<12的全体实数的集合，数轴表示为，区间表

示为:

5、无穷区间：约定：+8表示,对应数轴上的;-00表示,对应

数轴上的;

满足xeR的全体实数的集合，数轴表示为，区间符号表示

为;

满足xWb的全体实数的集合，数轴表示为,区间符号表示

为:

满足X?。的全体实数的集合，数轴表示为,区间符号表示

为;

(三)初中函数的定义域和值域(用区间表示)

【预习自测】

1.>(1)函数/(x)=2x+l的定义域为,值域为,对应法则/：两倍再加

1：

(2)函数/(x)=f+2x的定义域为,值域为,对应法则/：平方再

加两倍;

(3)函数/(x)=3的定义域为,值域为,对应法则/：取常数

3;

2

(4)函数/(x)=一的定义域为,值域为,对应法则,：取倒数的

X

2倍;

提示：先画出函数的简图，再依据图形或式子确定其定义域、值域(用区间或集合形式

表示)O

第二课时：1.2-1函数（1）（上课正学案）

【课堂检测】

【拓展探究】

例1、求下列函数的定义域.

(1)/(%)=—;(2)/(x)=j2x-4；(3)f(x)=

x+2x+4

例2、下列各组函数是否表示同一个函数？

_______________2

(1)f(x)-2x+l与g(x)=+4x+l;(2)f(x)=-——-与g(x)=x—l；

X

点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号

不成立.

【当堂训练】

1、下列各组函数是否表示同一个函数？

x,(尤>0)

⑴于(X)=G与g(x)=<(2)f(x)^x2-2x与g«)=/一2f。

—X,(x<0)

2、求下列函数的定义域

(1)f(x)=：+3+J16-X2:(2)y=0.5x(xeN)

x-4

（3）已知棒棒糖0.5元/个，则买棒棒糖的价钱y元与个数x的函数：y=0.5x中的定义

域为______

【小结与反馈】

（一）函数的定义及其三要素

（二）高中阶段的函数的定义域的类型：

1.已经给定函数定义域的函数；

2.实际生活、生产中的函数的定义域应当满足实际问题有意义.

3.只给解析式的函数的定义域：使式子有意义的自变量x的取值的集合。

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的

集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意

义的实数集合(即求各集合的交集)；

第二课时：1.2T函数(1)(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1.求下列函数的定义域：

(1)/(x)=^~；(2)f(x)=s/x2-2x-3:(3)=+

X-2A/X+4

5(5)f(x)--!---Jx+3

(4)f(x)

|x-2|-3x-1

(6)f(x)=J-x=+5x+6|+\Jx2-4.

2.判断下列各组函数是否表示同一个函数？

尤2_]

(1)y=x-1与y=-----

x+1

x-l(x>1)

⑵/(x)=|x-l|与g(x)=<

(3)y=(五y与y=；

2

x-x(x>0)9

⑷/（无）=,’与gQ)=f_|x|

x+x(x<0)

选做（考重点大学必做）:

1、判定下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)/(X)=2X+1,XG/?与/(x)=2x+l,xeN

(2)/(x)=2x+l,xe7?与g«)=2f+l,fER

提示：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系（对应法则）完全一致，而与表

示自变量和函数值的字母无关（关乎实质，而非外形）。

必修一第一章第2单元

第三课时：1.2-2函数与映射(2)(课前先学案)

【自主学习】阅读课本P22第二段一P23,P15—P17,完成课前先学案

【学习目标】

1、会求二次函数的值域；

2、进一步加强对函数符号y=f(x)的理解；能正确认识和使用函数的三种表示法：解

析法，列表法和图象法.了解每种方法的优点.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当

的方法表示函数。

【知识梳理】

(一)函数的对应法则的进一步理解

/(x)=2x+l表示的对应法则是(文字叙述)；

①/(2)表示：当自变量x=时，在对应法则f的作用下的函数值为/(2)=

②/⑺表示：当自变量x=时，在对应法则干的作用下的函数值为了⑺二；

③/(『一2)表示：当自变量x=时,在对应法则f的作用下的函数值为-2)=

(―)函数的对应法则的三种表示方法:

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明，给自变量求函

数值.

2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化

趋势.

3、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函

数值.

Lxe。）

注意：并非所有函数都有解析式(股票)或图像(狄利克雷函数0(x)=<

0,xeQ

【预习自测】

1.作出下列函数的图象，并依据图形指出其定义域、值域.

(1)y=1—x(xe{—2,-1,0,1,2})；(2)y=2x2-4x-3(0<x<3).

点拨：(1)具体作图的详细过程分别体现了函数的三种表示形式，

(2)第1小题的图象是五个孤立的点；第2小题的图象是抛物线的一部分，留意端点的

取舍。

2、已知函数/(x)如下表，试作出其图像，并求了"⑴］、/"(3)］的值。

X1234

/(X)3412

必修一第一章第2单元

第三课时：1.2-2函数与映射(2)(上课正学案)

【课堂检测】

1、先对下列二次函数配方以及作图，再求其定义域和值域

(1)y=x2-4x-3(0<x<3),(2)y=-x2+4.r-3(0<x<3)

2、已知函数f(x)=3x?+5x-2,求f(3),/(-V2),f(a),f(a+1).

点拨：符号f(x)的含义：f(t)表示在x=t时，f(x)表达式的函数值，而t可以表示一个

数或式子.

【拓展探究】

例1、已知f(x)=x?-3x+2,g(x)=2x+5,求：

(1)f(2),g(2)：(2)f[g(2)],g[f(2)]:(3)f[g(x)],g[f(x)]

例2、已知/（2》+5）=4/+14》+12,求/⑺和/（x）;

点拨：关键在于确定函数的对应法则，然后写出符合题意的解析式（相同函数的本质相

同，非外形）

【当堂训练】

1.若f（x+1）=2X2+1,求函数f（x）的解析式;

【小结与反馈】

1、求二次函数的值域的一般方法：配方——画出符合题意的图——看图写出答案

2、解析式是函数的实质（对应法则）的外形，用换元法或配凑法的实质是求出内在实质（对

应法则）之后，再写出符合题意的外形（解析式）。

注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围；求出函数解析式后，一定

要写出定义域。

必修一第一章第2单元

第三课时：1.2-2函数与映射(2)(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1.作下列函数的图像，然后确定其定义域、值域

(1)y=x+l,(xe{—2,—1,0,1}),(2)y=-%+2(-l<x<4)

(3)y=x2-2x-3(-2<x<4),(4)y=-x2+2x-l(-l<x<2)

2.已知/(尤)=/+1,g(x)=2x-3,求:

(1)fS)、g⑺，⑵g[f(2)]、〃g(2)],(3)g"(x)]、〃g(x)],

3、已知/（3幻=2/-1,求f（x）：

4、已知/(X+1)=X2-4X+3,求/(X).

必修一第一章第2单元

第四课时：1.2-3函数与映射（3）（课前先学案）

【预习自测】

1、若对任意xe/?都有ax?一匕x+3=4f+5x+c恒成立，则。=,b=

2、已知一次函数/(x)的图象过点(-1,1)和(0,3),求

(1)/(X)的解析式,(2)f[f(x)]

3、已知函数/(x)=，9一%2,且g(x)=/(2x),求：(1)g(x)的解析式，(2)g(x)

的定义域。

必修一第一章第2单元

第四课时：1.2-3函数与映射(3)(上课正学案)

【拓展探究】

例1、已知/(x)是一次函数，若=4x+9,求/(x)；

点拨：待定系数法，

例2、已知函数/(x)的定义域是xe(—2,4],求下列函数的定义域

(1)/(2x+l)；(2)/(x+l)+/(2x-l)

【当堂训练】

1、已知函数/(/+2)=9+2/,求：(1)/⑺的解析式，(2)/⑺的定义域。

必修一第一章第2单元

第四课时：1.2-3函数与映射(3)(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1、设/(l+^bnl+L+l,求,f(X),/(%-1)；

XXX"

2、已知/(幻是一次函数，若/[/(x)]=9x+3,求/(幻

3、已知函数/(f+l)的定义域是xe(-2,4],求下列函数的定义域

(1)/(x);(2)/(2x+l)：(3)/(x+l)+/(2x-l).

必修一第2单元

第五课时：1.4分段函数(课前先学案)

【自主学习】阅读课本P21例5-P22第二段，完成课前先学案

【学习目标】

了解分段函数的意义.会解决分段函数的相关问题。

【知识梳理】

1、生活常识：一个故事与该故事的每一段的联系与区别：

,”>0)

2、去掉绝对值符号的代数方法：|/|=<,(/=0);

,(/<0)

3、定义：分段函数是指在函数定义域的不同区间上，函数的对应法则也不同的函数。

注意：分段函数是一个函数而不是多个函数。分段函数的解析式不能写成几个不同的

式子，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的

取值情况。

4、处理方法：分段函数分段讨论，先局部后整体；最后合并成一个结论。

5、应用：（1）求值，（2）求解析式，（3）解不等式，（4）求最值。

1,（x>0）

6、史上的分段函数：符号函数sgn（尤）=<0,（x=O）、狄利克雷函数

—1,（x<0）

~、fl,（x为有理数）

D（x）=《o

[0,（X为无理数）

【预习自测】

2x+2,（-1<x<0）

1,已知/（无）=,一；为（0<x<2）,

3，（x>2）

（1）作/（x）的图象，（2）求定义域，（3）求值域，（4）求值：/（-；）,/（1）,/（6）,/[/（I）]

的值。

必修一第2单元

第五课时：1.4分段函数（上课正学案）

【课堂检测】

1、A、B两地相距120km,某汽车以40km/h的速度从A地到B地，在B地停留2h后，又以

30km/h的速度返回A地，(1)试写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系

并画出图像；

(2)试写出该车的速度v(km/h)关于时间t(h)的函数关系并画出图像.

【拓展探究】

3,(1<%)

例1、已知/*)=《/+2,(-1<%<1),

x+4,(x<-1)

(1)求值：/{/[/(-4)]}:(2)解方程：f(x)=—;(3)解不等式：/-(%)>—o

44

【当堂训练】

1.作函数y=|1一2