河北2023-2024学年高一年级下册第二次调研考试数学试卷(含答案)

河北枣强中学2023-2024学年高一下学期第二次调研考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知复数z满足(1-i)z=2i,则z的模为()

A.lB.V2C.A/3D.2

2.设x,yeR,向量a=(九,1),b=(l,y),c=(2,T),且a_Lc,bile,则尤+y=()

A.-2B.lC.2D.O

A.⑴⑶⑸B.⑴⑵⑶⑸C.⑴⑶⑸(6)D.⑶(4)(6)⑺

4.已知非零向量a,b满足付=211且则a与b的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

5.已知复数2=荷',则三在复平面内对应点的坐标为()

i+i1-i

A.［；,。［B."JC.加D.［O,£|

6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

〃$11123—3$111271=4$出人0)$。.则角B=()

A.45°B.60°C.90°D.120°

7.在△ABC中，ABVAC,且卜3卜,。卜逐M是BC的中点，。是线段AM的中

点，则。4-(Q3+OC)的值为()

RV5

A.O£).----cD.--

4-i8

8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S°=G,

S^ABc^—(a2+c2-b2),则曲8。=()

A.»B.-V3C.2D.-2

二、多项选择题

9.下列说法不正确的是（）

A.底面是矩形的四棱柱是长方体

B.有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体

C.棱柱的各个侧面都是平行四边形

D.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A.（无+yi）+2=（3-4i）+2;yi,则x+y=5

B.3+i>1+i

C.若z=（l+2i）2,则复数z对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足|z-2i|=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆

11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

A.若△他（7为锐角三角形，则sinA>cos5

B.若sin2A=sin25,则△ABC为等腰三角形

C.若则sinA>sin8

D.若a=8,c=10,3=60。，则符合条件的△ABC有两个

12.下列说法中正确的是（）

A.在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,若。力>0,则△ABC为锐角三角形

B.已知点。是平面上的一个定点，并且A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满

4DACz、

足。P=OA+4।~p+L、（2G（0,+OO））,则点P的轨迹一定通过△ABC的内心

C.已知a=（l,2）,Z?=（l,l）,a与a+劝的夹角为锐角，实数2的取值范围是

D.在△回（7中，若204+308+500=0,则△AOC与△498的面积之比为空

三、填空题

⑶复数言（其中i为虚数单位）的虚部为一.

14-在EC中'BC=2瓜Sx与AB.AC,则△树外接圆半径为

15.圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一

体，极具对称之美.为了估算圣・索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建

筑物AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M,。三点共线)处测得建筑

物顶A、教堂顶C的仰角分别是45。和60。，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为

15。，则可估算圣・索菲亚教堂的高度。约为.

16.四边形ABCD中，点E,R分别是A3,的中点，AB=2,CD=273,

EF=1,点P满足=则PCPD的最大值为.

四,解答题

17.已知向量2=(1,2),1=(4,-3).

⑴求Q・Z?；

(2)若向量C〃a,且|c|=26,求向量c的坐标；

(3)若向量b+hz与b-履相互垂直，求实数上的值.

18.已知复数z=(裙-1)+(4—,meR.

⑴若z是纯虚数，求机的值；

(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=。上，求m的值；

⑶若z在复平面内对应的点在第四象限，求机的取值范围.

19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acos6=(3c—〃)cosA.

⑴求cosA的值；

(2)若a=2夜，且△ABC的面积为血，求〃+c的值.

20.(1)在复数范围内解方程f_i0x+27=0；

⑵若复数z满足|z|=|z—2|,N—z=2i,求

3+2i

___.1

21.如图，在平行四边形ABCD中，AM=-AD,AB=a,AC=b.

3

⑴用a,b表示AM,BM；

(2)^AB=AM=2,且ACBM=10,求cos(a,b).

22.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知向量

m=(cosA,1+sinA),n=(l+cos23,-sin2B).

(1)设单位向量/=(O,l),若根-2/与〃共线，且3=工，求A；

6

(2)当机_L及时：

⑴若c=年，求&

旭)求=£的最小值.

参考答案

1.答案：B

解析：复数z满足(1—i)z=2i,z=3=/i(*i+i,

l-i(1-1)(l+i)

所以|z|=V2.

故选：B.

2.答案：D

解析：因为向量a=(x,l),b=(1,j),c=(2,-4),且。_1°,bile,

2x-4=0

所以解得x=2,y=-2,

—4—2y=0

所以x+y=O.

故选：D.

3.答案：A

解析：根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体,

所以棱柱有(1)(3)⑸.

故选：A.

4.答案：B

解析:由所以(a-〃"=0,BPa-b-b=0,

因为,|=设向量匕的夹角为兀),

..-2

所以cos0=j—|j—।=I1II所以。='.

那2MM2\b\-\b\23

故选：B.

5.答案：A

解析：由复数的运算法则，可得z=-=W'所以忘=.

2

所以三在复平面内对应的点的坐标为1-Lo

l-iI2

故选：A.

6.答案：B

解析：因为asin2B-£sin2A=asinAcosC,

2

由正弦定理及二倍角公式得：sinA•2sin5cosB-sinCsinAcosA=sinAsinAcosC,

因为在△ABC中，sinAwO,则2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC,

即2sin5cos5=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sin5,即2sin5cos5=sin5,

因为在△ABC中，sinBwO,所以cos3=L〉0,所以8=60。.

2

故选：B.

7.答案：C

解析：如图，以A为原点，AB,AC所在直线分别为％轴，y轴建立直角坐标系,

则4（0,0）,B（V5,0）,C（0,V5）,

因为〃是的中点，所以M

因为。是线段AM的中点，所以。

所以Q4（OB+OC）=_%*n*T

故选：C.

解析：MABC的面积Sm=G=%sin5,

/.acsinB=2否,

A/3•61———=6cosB=sinB,

lac

Be（0,7i）,

•口_兀_1._A/3

..B——,cosDB——,sinDB——，

322

..CLC=4,

AB-BC=accos（7i-B）=-2.

故选：D.

9.答案：ABD

解析：对于A,底面是矩形的直棱柱是长方体，故A错误；对于B,有两个面平行，

其余四个面都是平行四边形的几何体不一定是平行六面体.例如如图①所示正方体

ABCD-AgC。中，取N,M分别为侧棱上的点，且G"=，N,则几何体

5cM与-ADN4］满足有两个面平行，其余四个面都是平行四边形，但其不是平行六面

体，故B错误；

对于C,棱柱的各个侧面都是平行四边形，故C正确；

对于D,底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，有两个面互相平行，其余各面均

为四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.故有两个面平行,

其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，如图②.故D错误.故迭ABD.

10.答案：AD

解析：A：由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3—4i)+2M=3+(2y—4)i,

所以一，解得X=l，y=4,所以x+y=5,故A正确，

y=2y-4

B：因为两个复数不能比较大小，所以B不正确；

C：因为z=(l+2iy=l+4i-4=-3+4i,所以复数z对应的点(—3,4)位于第二象限，因

此C不正确；

D：因为|z-2i|=3,所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为(0,2),半径为3的

圆，因此D正确，

故选：AD.

11.答案：AC

解析：A选项，若△ABC为锐角三角形，则0。<4<90。，0°<B<90°,

90o<A+B<180°,90°>B>90°-A>0°,

y=cosx在(0。,90。)上单调递减，所以cos5<cos(90。-A)=sinA,A选项正确.

B选项,若sin2A=sin25,

则可能24+25=180。，A+B=90°,此时三角形ABC是直角三角形，所以B选项错

误.

C选项，若A>5,则a>b,由正弦定理得sinA>sin5,所以C选项正确.

D选项，若a=8,c=10,B=60°,

由余弦定理得b=V64+100-2X8X10XCOS60°=2721,

所以符合条件的△ABC只有1个，D选项错误.

故选：AC.

12.答案：BD

解析：对于A,因为。力>0,即BC.C4>0,所以CBCAvO,则。为钝角，故A错

误；

对于B,因为卫-、H分别表示向量A3、AC方向上的单位向量，

\AB\|AC|

所以U+M的方向与N8AC的角平分线重合，

\AB\|AC|

AnAnAC

又。尸=04+2।~|+|~।,W<9P-OA=AP=2(~+|~

ABAC1r

UIlU网"

又4G(O,+8),所以向量AP的方向与48AC的角平分线重合，

所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故B正确；

对于C,因为a=(l,2),Z?=(l,l),所以a+/l6=(l+42+/l),

当4=0时，a+Ab=(l,2)=a,此时a与a+彳匕同向，夹角不是锐角，故C错误;

对于D,因为204+308+500=0,所以49=巳03+20。，

22

延长A0交于。，如图所示.

因为A。，。。共线，所以存在实数左，OD=kAO=—OB+—OC,

22

因为D,B,C共线，所以次+至=1,所以左=L

224

__a5___ss_s一「力a

所以+所以3。=。。一03=—103+?0。=三3。，所以J=9,

88888DB5

所以为区1=江也=3,则鼠皿=屋四二=3,故D正确.

S^OBDSAABD5S&A0BS&OBD-^AABD5

故选：BD.

13.答案：1

2+4i(2+4i)(l—i)

解析:^^-=3+1,

1+i2

所以复数空巴的虚部为L

1+i

故答案为：L

14.答案：3

解析：因为S-BC=1A5-AC，AB||AC|sinA=^|Afi||Ac|cosA,

故tanA=0\故A为锐角，故sinA=当，

故外接圆的半径为号x」=3,

底2

T

故答案为：3.

15.答案：54m

解析：由题可得在直角△物/中，ZAMB=45°,|AB|=36,所以|4囱=36夜，

在△AMC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,ZM4C=15°+45°=60°,

所以ZACM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得包1=上皿，所以|CM|=36^2=36出,

sin45°sin60011也

则在直角△CDM中，|cq=|CAf|-sin6(F=54,即圣•索菲亚教堂的高度约为54nl.

故答案为：54m.

16.答案：1

解析：如图所示：

因为PC=PF+EC,PD=PF+FD,又点尸是CO的中点,

所以ED=—FC,所以PD=PF—FC,

.....2——-»2

PC-PD=(PF+FC)•(PF-FC)=PF-FC

=|Pb/一=|PF|2-3,

又PAPB=O,所以R4，PB,又点E是AB的中点，

所以PE=^AB=1,

2

因为“=PE—PE,

,2...2..2

所以EF=(PF-PE?=PF-2PFPE+PE,

即尸尸=2PF-PE,

设=\PF\=x,贝=2xlxx*cos，，

所以x=2cos。，

所以PC-P£)=x2—3=4cos2。—3=2cos2。—1,

所以当26=0即。=0时，cos26有最大值1,

即PCPO有最大值为1.

故答案为：1

17.答案：⑴-2

(2)c=(—2,—4)或(2,4)

(3)左=±石

解析：(1)。=(1,2),8=(4,—3),a力=lx4+2x(—3)=—2.

x2+v2=20

(2)设2=(%,y),由c//a,且|c|=2石得(,

y=2x

Y——Qv-，

解得，或，故C=(-2,-4),或(2,4).

y=T[)=4

(3)若向量匕+左a与Z?-ka相互垂直，则(6+左办(6-左a)=0,

22

即Z?—k2a=0,所以d+(—3)2)—42(F+22)=O,

即左2=5,故左=±行.

18.答案：(1)1

⑵一2

⑶(1,2)

力?2—1—Q

解析：⑴若Z是纯虚数，则〃:U,

m-m-2^Q

m=l,则根的值为1；

(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=O上，

则m—l—(rn-根-2)+1=0,解得加=-2

m2—1>Q

⑶若Z在复平面内对应的点在第四象限，则,

m-m-2<0

/.l<m<2,则根的取值范围为(1,2).

19.答案：⑴,

3

(2)4

解析：⑴因为〃cos5=(3c-Z?)cosA,

所以由正弦定理得sinAcos5=3sinCcosA-sinBcosA,

EP3sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+5)=sinC,

因为OVCVTI,贝UsinCwO,所以cosA=L

3

(2)由⑴知cosA二;，

又0<A<TI,所以sinA=A/1-COS2A=,

3

因为△ABC的面积为正，

所以S^ABC=gbcsinA=be=be=A/2,得be=3,

r\

又。=2\[2,所以由〃=+才_2Z?ccosA,得/+/——be=8,

3

所以(/?+c)2-g/7c=8,即(Z?+c)2=16,

又b>。,c>0,所以Z?+c=4.

20.答案：(l)x=5-V2i/5+V2i

j__a

13-13

解析：(1)由尤2—10%+27=(工一5丫+2=0,

可得(x—5)2=-2=/『，则x-5=±氏

所以方程了2一10%+27=0的解为％=5—6或5+".

(2^z=a+〃i(a,Z?eR),则由忖=匕一21得，片+，=J(a-2)2+尸,

解得a=l.

又z-z=-2bi=2i,所以/?二一1,

maz1-i(l-i)(3-2i)3-2-2i-3il-5i15.

3+2i3+2i(3+2i)(3-2i)9+4131313,

21.答案:⑴—a),BM=^b-^a

⑵典

68

解析：(1)因为AB=a,AC=b,且ABCD是平行四边形，

所以5C=Ad-AB=5-a,

所以

333、1

所以BM=AM-AB=—(b-a\~a=-b-—a,

3、133

⑵由⑴知AM=；仅—a),BM=^b-^a,

又ACSACBM=10,AB=AM=2,

所以=10,gR_q)=2,|a|=2,

.2--.2.2..

即Z?-4a-b=30,b+a-2a-b=36,

解得a•Z?=1,W=,

所以cos(a/)=告.

'/\a\\b\68

22.答案：（1）A=工/工

62

(2)(i)3=m

o

(ii)4V2-5

解析：⑴因为m=(cosA,l+sinA),j=(0,1),

所以加-2J=(cosA,l+sinA)-(0,2)=(cosA,-l+sinA),

又加一2)与〃共线，n=(l+cos2B.-sin2B),

则cosA(-sin2B)=(