2024河北省邯郸市高三下学期第四次调研监测数学试题及答案

邯郸市2024届高三年级第四次调研监测数学注意事项：1.答题前，考务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1Axx23x40,Bxyx4AB1.已知集合，则（）0,40,10,4A.B.C.D.D.2z2z（2.已知复数z满足z1，则）2A.13.已知,B.3C.35m,n是两条直线，且,m,nm”的（是两个平面，，则“mn”是“）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件的图像与轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为（D.既不充分也不必要条件1fxxx4.设函数）x2yxy=x1y0yx1A.B.C.D.M:(x2)2(y21引两条切线,PB,B5.由动点P向圆APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为（）(x2)2(y(y244B.(x2)2(y22A.C.(x2)22D.(x2)2(y3)226.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A.12B.18C.20D.60．第1页/共4页x22y227.已知O为坐标原点，F,F分别是双曲线C:2ab0)P是双曲线C上一1ab34的倾斜角分别为和，且）PF和tan，则双曲线C的离心率为（点，若直线17A.3B.5C.2D.5abababab8.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：，．若平面向量a,b满足222abbn4ab0|nZ,0n4，且ab和ab都在集合中，则abab（）3275A.1B.C.1或D.1或44､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.sinx(M0,fxπ)fx的部分图像如图所示，A，为的图B0,09.已知函数图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，fx2）x像与轴的交点，C为3A.f02136x图像的一条对称轴fxB.直线是1676的单调递减区间为2kkZfx2k,C.D.5fx的1单调递增区间为2πkZ2π,66的直线与抛物线相交于点E:x22py(p0)的焦点为F，过点P0,3E,Bx，与轴相10.设拋物线交于点C,AFBF10，则（）y=2p的值为2A.E的准线方程为B.第2页/共4页AB42C.D.△BFC的面积与△的面积之比为9的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，fxfxf2x32,111.已知函数R，且，则（）f2xf2x4xf00的图像关于点对称fxfxfx4A.C.B.50f(i)2499f10262D.i1､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.把答案填在答题卡中的横线上a4bxa___________，b___________．12.已知b0，函数fx是奇函数，则2x13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以,B,C,D,ECAD，则cos3为顶点的多边形为正边边形，设________，cos2cos4________．ABCD//1ABB平面，则截四面体11414.在长方体中，，平面1111ACD1B所得截面面积的最大值为________．1､四解答题：本题共小题，共577.､分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥P的底面是正方形，设平面PAD与平面相交于直线l.（1）证明：l//.（2）若平面平面ABCD,PAPB5,AB2，求直线与平面PAD所成角的正弦值.第3页/共4页的前项和为3，且anSna2，Sn1Sn1．16.已知正项数列n（1）求的通项公式；an4Snbnbn（2）若，求数列项和n．nanan1117.假设某同学每次投篮命中的概率均为．2（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.nnN,n33个球，若这n（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球都投进，则训练结束，否则额外再投100n个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？n318.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、轴，且过yM2,0,N两点．2（1）求C的方程．,B是C上两个动点，D为CAB为底边的等腰直角三角形？若（2）的上顶点，是否存在以D为顶点，存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．fxemx,gxxmlnx．19.已知函数x和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；fxgxmm（1）是否存在实数，使得若不存在，请说明理由．（2）已知x,x是的零点，的零点．gx是fxx,x2312me①证明：②证明：，1xxxe3．123第4页/共4页邯郸市2024届高三年级第四次调研监测数学注意事项：1.答题前，考务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1Axx23x40,Bxyx4AB1.已知集合，则（）0,10,40,4D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.x1x4，【详解】由x23x40得1x4A，即BxxAB4.,所以故选：B2z2z（2.已知复数z满足z1，则）2A.1B.3C.3D.5【答案】D【解析】zabi(a,bR)zabi(a,bR)，根据条件得到ab1，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【分析】设【详解】令2b12a，则z2a22abib21，所以，解得ab1，2ab0第1页/共20页i，故2z2z15，所以z故选：D.3.已知,是两个平面，m,n是两条直线，且,m,n，则“mn”是“m”的（）A.必要不充分条件【答案】AB.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.【详解】用平面代表平面，代表平面ABCD，平面当mn如图所示时显然m与平面不垂直，mn，根据线面垂直的性质有，mn反之，当时，又所以“mn”是“故选：A.m”的必要不充分条件，1x2fxxx4.设函数的图像与轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为（）yxy=x1y0yx1D.A.B.C.【答案】C【解析】【分析】令fx0可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.1x2x0xx210x120，解得x=1，【详解】令，即，即11fx0，2故P1,0，1f11，则x2212ff1x1，即0.yy则其切线方程为：故选：C.第2页/共20页M:(x2)2(y21引两条切线,PB,B5.由动点P向圆APBM为正方形，则动点P）(x2)2(y(y244B.(x2)2(y22A.C.(x2)22D.(x2)2(y3)22【答案】B【解析】【分析】根据正方形可得动点P的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，求出方程即可.【详解】因为四边形APBM为正方形，且1,所以MP2,故动点P的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，其方程为故选：B(x2)2(y2.26.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A.12B.18C.20D.60．【答案】C【解析】【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.【详解】根据题意，可分为两类：C14A22428①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法；A244312②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有由分类计数原理得，共有81220种不同的差法种方法，.故选：C.第3页/共20页x22y227.已知O为坐标原点，F,F分别是双曲线C:2ab0)的左、右焦点，P是双曲线C上一1ab3的倾斜角分别为和）PF和tan，且，则双曲线C的离心率为（点，若直线147A.3B.5C.2D.5【答案】B【解析】3247PFtan，直线P(x,y)，设，由【分析】由已知计算可得所以直线的斜率为的斜率为14y3y24,xc4x7c24cx,y，解得，代入双曲线方程计算即可求得结果.72525322tan42472a【详解】由题意得1tan22，314324PFtan，直线所以直线P(x,y)的斜率为的斜率为，147y3y247c24c,x,y设，则有，解得，xc4x72525227c24c代入双曲线方程，得2525，1a2b2227c2524c25c2aaac2a又b2c2a2，所以2222，2725cc2a2c2a0，e4，4化简可得：a27255(e1,舍).e2e210，解得e5或e4所以7故选：Babababab8.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：，．若平面向量a,b满足222abbn4ab0|nZ,0n4，且ab和ab都在集合中，则abab（）3275A.1B.C.1或D.1或44【答案】D第4页/共20页【解析】2ab02b2aba【分析】根据，得到，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到1212abab，，再结合条件，即可求出结果.n4113424|nZ,0n4,,【详解】因为，2设向量a和b的夹角为，因为ab0，所以a2b2ab，abcosabcosabcosab2=得到，22ab222ababcos1π，所以又，22n4cos11214|nZ,0n4ab，得到又ab在集合中，所以，即，24abab1a3baab又因为，所以或1，222b4bb54所以abab1或，故选：D.､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.sinx(M0,fxπ)fx的部分图像如图所示，A，为的图B0,09.已知函数图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，fx2）x像与轴的交点，C为3A.f02第5页/共20页136x图像的一条对称轴fxB.直线是1676的单调递减区间为2kkZfx2k,C.D.51的单调递增区间为2πkZfx2π,66【答案】BC【解析】3π3【分析】由图可得fxsinx，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.22π【详解】对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以2，即fxπ，33fxsinx，易得M，所以2231A,02312B,0C,，因为，所以，，362πππ3π，即，所以fx由五点作图法可得：sinx，362323f0所以，故A不正确；413313π3对于B，由于f()sin(+)，为最大值，62632136x图象的一条对称轴，故B正确；fx所以直线是ππ3π172+x2+，解得；，kZ2kx2kkZ对于C，令2326616762k,2kkZ，故C正确；所以单调递减区间为πππ512πx2+，解得；，kZ2kx2kkZ对于D，令2326651所以的单调递增区间为，故D不正确，2kkZfx2k,66故选：BC，第6页/共20页10.设拋物线交于点C,AFBF10的直线与抛物线相交于点E:x22py(p0)的焦点为F，过点P0,3E,Bx，与轴相，则（）y=2pA.E的准线方程为AB42B.D.的值为2C.△BFC的面积与△的面积之比为9【答案】BD【解析】AB的方程为计算，从而判定各选项.y3，Ax,y,Bx,y1122【详解】设直线AB的方程为y3，Ax,y,Bx,y，1122y3x2pkx6p0，2联立所以因为，可得2x2pyxx2pkxx6p，，1212x2x214p2x2236p222py，所以yyy9，x，故124p22pppAFBF10y21y，2因为，由抛物线定义可得，，22pp22109，解得，p2或p22则2py20p2，则E的准线方程为y=1，故B正确，A错误；因为，所以12pp又E的方程为x24y，11，y21092，22y1124y24141x224y236，x可得x，把代入A2,1,B6,9不妨设，则AB82，故C错误；设F到直线AB的距离为d，112△BFC的面积SBFCBCd，△的面积SACd，2SBFCSAFCBCACy219，故D正确.则△BFC的面积与△的面积之比故选：BD.第7页/共20页的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，fxfxf2x32,111.已知函数R，且，则（）f2xf2x4xf00的图像关于点对称fxfxfx4A.C.B.50f(i)2499f10262D.i1【答案】ACD【解析】fxf2x2和【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合，化简得到，可判定不正确；令fx2x，f2xf2x4xfxfx48gxBgxgx4得到，得到函数gxgx和是以为周期的周期函数，结合4g1026g2f22f1f22f35，f48，可判定C正确；结合，，得到50，结合是以为周期的周期函数，进而求得g1g2g3g44gxfx2xfi)4i1的值，即可求解.yfx的图象关于【详解】对于A中，设函数(a,b)对称，a3yfx3关于(ab)yf2x3关于(,b)对称，则对称，可得2a3因为函数f2x3的图像关于点对称，可得2,1，解得ab1，b12yfx的图象关于对称，所以A正确；所以函数yfx的图象关于，fxf2x2对于B中，由函数对称，可得f2xf2x4x，可得因为fxfx24x2，fx2fx44(x2)24x10则，第8页/共20页fxfx48两式相减得fxfx4，所以不正确；8，即Bgxfx2x，对于C中，令gx4fx42(x4)fx42x8，可得fxfx48，所以因为，gxgx4所以函数是以4为周期的周期函数，gxgxfx2x由gxfx2g1026f10262，，可得，所以因为函数是以4为周期的周期函数，则gx是以4为周期的周期函数，gx所以g1026g2f22，f2xf2x4x由f2x1f2x(4，，可得即，可得f2f2，所以f2xf2x4，令x04f22，所以f1026f2f(2)22，所以，所以C正确；g20对于D中，因为f00关于fx，且函数对称，可得f1f22，f2xf2x4xx1，可得f3f1又因为，所以，4f35，令f4f08f48再令x2，可得，所以，gxfx2x由g1g3g40，g2，可得可得gg2g3g44gxfx2x又由函数fxgx2x，是以4为周期的周期函数，且50fi)f1f2f50g1g2g50250)所以i112g1g2g3g4g1g2250)50)12(4)1222499，所以D正确.2故选：ACD.【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论yfx，若其图象关于直线xa时，fx（1）对于函数对称（a0第9页/共20页则①faxfax；②fxf2axfx；③.f2ax（2）对于函数，若其图象关于点a,0对称（a0时，yfxfx则①faxfax；②fxf2axfx；③.f2axyfx，若其图象关于点a,b对称，（3）对于函数则①faxfaxb；②fxbf2axfxb；③.f2ax､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.把答案填在答题卡中的横线上a4bxa___________，b___________．12.已知b0，函数fx是奇函数，则2x【答案】【解析】①.1②.1【分析】由f0a10fx22bx2x，结合奇函数可求b，可求，由．a4bx1【详解】由f0a1022bx2，1，所以fxx，解得a2x又因为函数为奇函数，所以fx，fxf(x)所以22bx2x(22bx2x)，222b1xx2b1xx22b1x2x，所以22·2所以(22bxx2bx2)0，x所以22bxx10或22bx2x0，所以2b11或故答案为：①-1；②1．13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以b11，解得bb0(舍去．),B,C,D,ECAD，则cos3为顶点的多边形为正边边形，设________，cos2________．第10页/共20页1【答案】【解析】①.0②.##0.06251636，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【分析】由正五角星的性质，求得CAD【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和540180521803540108，正五边形的内角和；每个角为5三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180oo72o，三角形内角和为，那么三角形顶角，即五角星尖角18072236，36.即CADcoscos36cos72cos36cos721807218036cos36cos72cos72cos360;2cos36cos72cos36cos72sin1444sin362sin36cos36cos72sin72cos7214因为3672,2sin362sin361cos所以.161故答案为：0；14.在长方体.16ABCD//1ABB平面，则截四面体114中，，平面1111ACD1B所得截面面积的最大值为________．1【答案】10【解析】第11页/共20页T1TRTMVNVS，则有【分析】结合题意画出对应图形后，设，则有TWTUVUVWS平行四边形NSRMS平行四边形2SNVS2SSWR，借助表示出面积，结合二次函数的性质即可得.【详解】平面截四面体的截面如图所示，ACD1B1T1TRTMVNVS设，则，所以四边形NSRM为平行四边形，TWTUVUVW/,//TV且，4,VWTM,51，TR4,RW41在矩形中，，SS平行四边形2SNVS2SSWR则平行四边形NSRM211112220202120202202010，当且仅当时，等号成立.222故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解.､四解答题：本题共小题，共577.､分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥P的底面是正方形，设平面PAD与平面相交于直线l.（1）证明：l//.（2）若平面平面ABCD,PAPB5,AB2，求直线与平面PAD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；第12页/共20页4515（2）【解析】1）利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明；（2平面ABCD.【小问1详解】P//，因为四棱锥的底面是正方形，所以BC，AD平面，又平面AD//PAD所以平面，PBCl平面，因为AD平面，平面所以l//；【小问2详解】，因为，取AB的中点O，连接PO，则平面ABCD，因为平面平面ABCD，平面则平面ABCD，所以以O坐标原点建立如图坐标系，因为PAPB5,AB2，ABCD是正方形，所以PO2，则，，C2,0，D2,0,P0,0,2A1,0,0AD2,0PC1,2,2，1,0,2，，nx,y,z，设平面PAD的法向量为则nx2z0，n2y0，0,1，y0z1，即取x2，，nPAD所成角为，设直线与平面PCn2245sinPC,n则，PCn3515第13页/共20页4515PAD所成角的正弦值为.所以直线与平面的前项和为3，且anSna2，Sn1Sn1．16.已知正项数列n（1）求的通项公式；an4Snbnbn（2）若，求数列的前项和n．anan1na2n1n【答案】（1）nTnn（2）2n1【解析】1）首先求出a11Sn2，可证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，得到Sn，利用naSS的通项公式；a得到nnn1n4Sn4n2111bnb1n（21nn1(2nn22n12n1及裂项相消即可求出数列的前项和bnnT.n【小问1详解】当n1时，由SSSaa2aa1，，解得：1，即211121Sn1SS1所以所以，则数列S为首项为，公差为的等差数列；11n1nSnnSn2，则，n当n2时，当n1时，aSSn2(n2n1，2nnn1a21111满足条件，所以的通项公式为a2n1(nnan【小问2详解】4Sn4n2bn由（1）知，，nn1(2nn4n211111bn111所以，4n214n21(2nn22n12n1第14页/共20页1Tn1131315111n11nn故即，n2n122n12n122n1nTnn2n1117.假设某同学每次投篮命中的概率均为．2（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.nnN,n33个球，若这n（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球都投进，则训练结束，否则额外再投100n个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？n3【答案】（1）；8（2）n5.【解析】1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得.（2）该同学投篮的次数为X，求出X的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得.【小问1详解】1138pC42()2)2依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率【小问2详解】.22设该同学投篮的次数为X，则X的可能值为,nn2n，nN,n33，11P(Xn),P(X1002n)1n于是，2n211n100E(X)n2n))2n100，数学期望2n2n2nn100n97f(n)2nnNf(n2n98，令，则2n2n1n2103n2f(nf(n)，显然数列n2n2}是递减的，n12n4时，103n2n20f(nf(n)，n5时，103n2n20f(nf(n)，，当，当即有ff(2)ff(4)ff(6)f(7)，因此f最大，所以当n5时，该同学投篮次数的期望值最大.318.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、轴，且过yM2,0,N两点．2（1）求C的方程．第15页/共20页,B是C上两个动点，D为CAB（2）的上顶点，是否存在以D为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．x2y12【答案】（1）4（2）存在，个3【解析】4m11）设椭圆C的方程为2ny2mnmn)，根据条件得到3，即可求mn14出结果；1（2）设直线DA为y1，直线DB为yx1，当k1时，由椭圆的对称性知满足题意；当kk21时，联立直线与椭圆方程，求出,B的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线直经过点D42，从而将问题转化成方程k7k10解的个数，即可解决问题.【小问1详解】由题设椭圆C的方程为2ny2mnmn)，3M2,0,N因为椭圆过两点，24m114x2m,n1，所以椭圆C2y1.3所以，得到的方程为mn144【小问2详解】D,的斜率均存在且不为0，由（1）知，易知直线11kk(k0)kDAy1，直线DB为yx1，直线为，不妨设，kk由椭圆的对称性知，当k1时，显然有DADB，满足题意，y11当k21时，由x2y，消得到(k2)x220，y21448k14k8k214k14k228k14k22xAyA1(所以，，即,)，2214k214k14k第16页/共20页8kk224)，所以同理可得B(,k24k4kk22414k22(k(k24)14k224k2)k12414kkAB，8k28k22k4)8k4k5kk414k28k14k8k12k(k2设AB中点坐标为(x,y)，则02k24，002(k4k)2214k14k22kk224415k2，y02(k4k)2215k25k12k(k4k)2y(x)所以AB中垂线方程为，(k24k2)k21AB(k22AB为底边的等腰直角三角形，则直要使ADB为(，15k25k112k(k2所以1(0)，整理得到k7k10，42(k24k2)k2(k24k)2t，所以有两根t,t，且tt27tt10，即12令t7t10有两个正根，2值，满足kk2，则t27t10，4940121t2故有2个不同的所以由椭圆的对称性知，当k综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.k47k210，21时，还存在2个符合题意的三角形，【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA1y1，直线DB为yx1，联立椭圆方程求出,B坐标