第04讲 充分条件与必要条件 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第04讲充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3.能通过充分性、必要性解决简单的问题；4.能对充分条件进行证明.1命题的定义(1)命题的定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.(2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.2充分条件与必要条件(1)一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)一般地，”若p，则q”为假命题，是指以p为已知条件不能通过推理可以得出q.这时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.3充要条件(1)充要条件的定义如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.

【题型一】判断充分条件与必要条件相关知识点讲解概念一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.【例】帅哥是男人的____________条件.③从集合的角度理解－－小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合A、B，若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p不是q的充分条件.注若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.【例】帅哥是男人的____________条件.(2)结论①若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；②若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；③若p是q的充分条件，则A⊆B；④若p是q的必要条件，则B⊆A.【典题1】(多选)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是(

)A．对角线相等的菱形B．邻边相等的矩形C．对角线相等的平行四边形D．有一个角是直角的菱形【典题2】(2024·天津·二模)已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的(

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典题3】设x∈R，则“x2−5x<0”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式练习1.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(

)A．若x=1，则xB．若ac=bc，则a=bC．若mn为无理数，则m,n为无理数D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形2.“a+1>b”是“a3>bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.设a,b∈R，则“a>b>0”是“a2>A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4.“x=1”是“x4−5xA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5.有限集合M中元素的个数记作cardM，若A,B都为有限集合,则“A∩B=A”是“cardA≤A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.“(x+y)2<x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设x∈R，则“x<1”是“x2<1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8.|x−1|≤1是xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【题型二】根据充分、必要条件求参数范围【典题1】(2024高三·全国·专题练习)若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是(

)A．a≤1B．a<1C．a>3 D．a≥3【典题2】已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2(1)当x∈R时q成立，求实数(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．变式练习1.集合M=x−2<x<4，N=x−3<x<a，若x∈N的充分条件是x∈M，则实数A．−2,4 B．4,+∞ C．−3,4 D．2.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是(A．m<12 B．m≤14 C．3.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充分条件，则n的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．44.(多选)已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>45.已知p:−3≤x≤1，q:x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是.6.在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合A=x1≤x≤5，非空集合B=x1−m≤x≤1+2m.是否存在实数m，使得7.已知集合A=x14(1)若m=3，求A∩B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.【题型三】充要条件相关知识点讲解(1)充要条件的定义如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均为真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是p是q等价.(4)命题p、q对应集合A、B，若p是q的充要条件，则A=B.【典题1】若a，b是正整数，则a+b>ab充要条件是()A．a=b=1C．a=b=2【典题2】求证：a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里变式练习1.关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是(A．a>2或a<−2 B．a≥2或a≤−2C．a<1 D．a>22.已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁UBA．B⊆∁UA B．A⊆B C．B⊆A3.ba>1的一个充要条件是(A．ab−a>0 C．a>1，b>1 D．a>0，b>04.求证：等式a1x2+b5.已知a，b是实数，求证：a4−b6.设集合M=t∣t=(1)证明：属于M的两个整数，其积也属于M；(2)判断32,33,34是否属于M，并说明理由；(3)写出“偶数2k(k∈Z)属于M”的一个充要条件并证明．【A组基础题】1.已知a,b∈R，若α:a2+b2=0,β:ab=0A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要2.已知x,y∈R，则“xy=0”是“x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.“−1<x<1”是“x2<1”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4.(多选)下列说法正确的是(

)A．“1a>1B．A∩B=∅是A=∅的必要不充分条件C．若a，b，c∈R，则“ab2D．若a，b∈R，则“a2+5.在下列所示电路图中，下列说法正确的是.(填序号).(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A闭合是奵泡B亮的必要不充分条件.6.若“−1⩽x⩽1”是“不等式|x−m|⩽2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是．7.已知集合A=x−3<2x+1<7，B=xx<−4或(1)求A∩∁(2)若“p:x∈∁RA∪B”是“q:x∈C8.设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0【B组提高题】1.条件p：关于x的不等式a−4x2+2a−4条件q：0<a<4，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充