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文档简介
第04讲充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的概念,理解充要条件的意义;2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系;3.能通过充分性、必要性解决简单的问题;4.能对充分条件进行证明.1命题的定义(1)命题的定义:一般地,我们用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.(2)命题的表示:命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.2充分条件与必要条件(1)一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)一般地,”若p,则q”为假命题,是指以p为已知条件不能通过推理可以得出q.这时,p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.3充要条件(1)充要条件的定义如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均为真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时p即是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件,则q也是p的充要条件,虽然本质上是一样的,但在说法上还是不同的,因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成是p是q等价.
【题型一】判断充分条件与必要条件相关知识点讲解概念一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p”均是真命题,②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型,可思考从左到右,若p⇒q则充分,若p⇏q则不充分;从右到左,若q⇒p则必要,若q⇏p则不必要.【例】帅哥是男人的____________条件.③从集合的角度理解--小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合A、B,若A⊆B,则p⇒q,即p是q的充分条件;若A⊈B,则p⇏q,即p不是q的充分条件.注若A⊆B,则称A为小范围,B为大范围.【例】帅哥是男人的____________条件.(2)结论①若p是q的充分不必要条件,则A⊊B;②若p是q的必要不充分条件,则B⊊A;③若p是q的充分条件,则A⊆B;④若p是q的必要条件,则B⊆A.【典题1】(多选)下列命题中,哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是(
)A.对角线相等的菱形B.邻边相等的矩形C.对角线相等的平行四边形D.有一个角是直角的菱形【典题2】(2024·天津·二模)已知a,b∈R,则“a=b=0”是“a+b=0”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【典题3】设x∈R,则“x2−5x<0”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式练习1.下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的是(
)A.若x=1,则xB.若ac=bc,则a=bC.若mn为无理数,则m,n为无理数D.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形2.“a+1>b”是“a3>bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设a,b∈R,则“a>b>0”是“a2>A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.“x=1”是“x4−5xA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.有限集合M中元素的个数记作cardM,若A,B都为有限集合,则“A∩B=A”是“cardA≤A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.“(x+y)2<x2+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设x∈R,则“x<1”是“x2<1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.|x−1|≤1是xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【题型二】根据充分、必要条件求参数范围【典题1】(2024高三·全国·专题练习)若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是(
)A.a≤1B.a<1C.a>3 D.a≥3【典题2】已知p:(x+1)(2−x)≥0,q:关于x的不等式x2(1)当x∈R时q成立,求实数(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.变式练习1.集合M=x−2<x<4,N=x−3<x<a,若x∈N的充分条件是x∈M,则实数A.−2,4 B.4,+∞ C.−3,4 D.2.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是(A.m<12 B.m≤14 C.3.条件p:|x−m|≤2,条件q:−1≤x≤n,若p是q的充分条件,则n的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.44.(多选)已知集合A=xx≤3,集合B=xx≤m+1,能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(A.m>0 B.m>1 C.m>3 D.m>45.已知p:−3≤x≤1,q:x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是.6.在①充分而不必要,②必要而不充分,③充要,这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中,若问题中的实数m存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.问题:已知集合A=x1≤x≤5,非空集合B=x1−m≤x≤1+2m.是否存在实数m,使得7.已知集合A=x14(1)若m=3,求A∩B;(2)若存在正实数m,使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.【题型三】充要条件相关知识点讲解(1)充要条件的定义如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均为真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时p即是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)充要条件的含义若p是q的充要条件,则q也是p的充要条件,虽然本质上是一样的,但在说法上还是不同的,因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成是p是q等价.(4)命题p、q对应集合A、B,若p是q的充要条件,则A=B.【典题1】若a,b是正整数,则a+b>ab充要条件是()A.a=b=1C.a=b=2【典题2】求证:a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里变式练习1.关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是(A.a>2或a<−2 B.a≥2或a≤−2C.a<1 D.a>22.已知U为全集,集合A,B为U的两个子集,则“A⊆∁UBA.B⊆∁UA B.A⊆B C.B⊆A3.ba>1的一个充要条件是(A.ab−a>0 C.a>1,b>1 D.a>0,b>04.求证:等式a1x2+b5.已知a,b是实数,求证:a4−b6.设集合M=t∣t=(1)证明:属于M的两个整数,其积也属于M;(2)判断32,33,34是否属于M,并说明理由;(3)写出“偶数2k(k∈Z)属于M”的一个充要条件并证明.【A组基础题】1.已知a,b∈R,若α:a2+b2=0,β:ab=0A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分也非必要2.已知x,y∈R,则“xy=0”是“x2+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.“−1<x<1”是“x2<1”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(多选)下列说法正确的是(
)A.“1a>1B.A∩B=∅是A=∅的必要不充分条件C.若a,b,c∈R,则“ab2D.若a,b∈R,则“a2+5.在下列所示电路图中,下列说法正确的是.(填序号).(1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件;(2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件;(3)如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;(4)如图④所示,开关A闭合是奵泡B亮的必要不充分条件.6.若“−1⩽x⩽1”是“不等式|x−m|⩽2”成立的充分条件,则实数m的取值范围是.7.已知集合A=x−3<2x+1<7,B=xx<−4或(1)求A∩∁(2)若“p:x∈∁RA∪B”是“q:x∈C8.设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0【B组提高题】1.条件p:关于x的不等式a−4x2+2a−4条件q:0<a<4,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充
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