人教版初中数学八年级下册《第17章 勾股定理》单元测试卷

人教新版八年级下学期《第17章勾股定理》

单元测试卷

一.解答题（共50小题）

1.已知：如图，有一块凹四边形土地ABC。，ZADC=90Q,AD=4in,CD=3m,42=13〃?,

BC=12m,求这块四边形土地的面积.

2.如图，在四边形ABC力中，ZB=ZD=90o,AB=BC=2,CD=\,求AD的长.

3.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,/A=90°,NCBD=30°,ZC=45",如果A8

=后，求CD的长.

4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点3、E分别是BC、4c上的点，且。E=3,AD

=4,AE=5.若/BA£>=73°,NC=35°,求的度数.

5.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,点E在4B上，AD=],AE=2,BC=3,

BE=1.5.求证：ZD£C=90°.

6.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AZ)平分NC4B,交.BC于点D,CD=2,AC=2«.

(1)求NB的度数；

7.如图，在四边形ACBO中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AD^12,80=13.连接A8,

求证：AD.LAB.

8.如图，四边形4BC£>中，ZB=90°,NACB=30°,AB=2,CD=3,A£>=5.

(1)求证：AC_LC£>；

(2)求四边形ABC。的面积.

9.题目：如图，在△ABC中，点。是BC边上一点，连结A£>,若AB=10,4c=17,BD

=6,AD=8,解答下列问题:

(1)求NAOB的度数;

(2)求BC的长.

小强做第（1）题的步骤如下：•••"2=3炉+A£>2

...△ABD是直角三角形，ZADB=90°.

（1）小强解答第（1）题的过程是否完整，如果不完整，请写出第（1）题完整的解答过程

（2）完成第（2）题.

10.如图，已知RtZXABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=3cm,AB=6〃z,点尸在线段

AC上以的速度由点C向点A运动，同时，点。在线段AB上以2e〃/s的速度由点

A向点3运动，设运动时间为f（s）.

（1）当1=1时，判断△APQ的形状，并说明理由；

11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,ZVIBC的三个顶点都在格点上

（1）直接写出边AB、AC.BC的长.

12.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问

折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍

恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.

CKB

13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,ZXABC的三个顶点分别在正方形

网格的格点上.

(1)计算边AB、BC、AC的长.

(2)判断AABC的形状，并说明理由.

A

14.如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的

绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接

触地面，求旗杆的高度.(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)

15.已知△ABC中，BC=m-n(w>«>0),AC=24^,AB=m+n.

(I)求证：ZVIBC是直角三角形；

(2)当NA=30°时，求机，〃满足的关系式.

16.如图，/4。8=90°,Q4=9C7〃，0B^3cm,一机器人在点B处看见一个小球从点4

出发沿着A0方向匀速滚向点。，机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球，

恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人

行走的路程BC是多少？

B

A

17.方格纸中小正方形的顶点叫格点.点4和点B是格点，位置如图.

(1)在图1中确定格点C使4ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；

(2)在图2中确定格点。使△AB。为等腰三角形，画出一个这样的△AB。；

条件的格点。有.个•

图2

18.图1是围墙的一部分,上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2,请你根据图

2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCZ)至少需要不锈钢管多少米(焊接

部分忽略不计).

B

图2

19.某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/

B=90°,A8=3mBC=4，"，CD^Um,AO=13，%若每平方米草皮需要200元，问学

校需要投入多少资金买草皮？

20.如图1,RtAABCACICB,AC=15,AB=25,点。为斜边上动点.

(1)如图2,过点。作OE_LAB交CB于点E,连接AE,当AE平分NC4B时，求CE；

(2)如图3,在点。的运动过程中，连接C。，若△ACO为等腰三角形，求A。.

ccc

22.如图，ZVLBC中，NACB=90°,AB=lOcm,BC=6cm,若点P从点A出发，以每秒

1。"的速度沿折线A-C-8-A运动，设运动时间为/秒(Z>0).

(1)当点尸在AC上，且满足B4=PB时，求出此时r的值；

(2)当点尸在A8上，求出f为何值时，△BC尸为等腰三角形.

23.如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端

落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米.

24.如图，在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=3,动点尸从点C出发，沿着CB运动，速

度为每秒1个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为f秒，请解答下列问题：

(1)求BC上的高；

(2)当f为何值时，△ACP为等腰三角形？

A

25.(1)已知RtZ\ABC中，ZC=90°,若”=12,h=5,则c=；

(2)已知RtZkABC中，ZC=90°,若c=10c〃?，b=6cm,则a=；

(3)已知RtAABC中，/C=90°,若a：b=3：4,c=20,则,法=.

26.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离

BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子

斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A'。为2米，求小巷的宽度.

27.已知RtZ^ABC中，ZC=90°,若a+/?=14a”，c=\0cm,求RtZ\ABC的面积.

28.如图，一块三角形草坪A8C,测得AC=6〃z,BC=8"?,AB=i0m,准备从顶点C处出

发修一条小路CD通往A8,设小路与AB交于点D.

(1)请给出设计方案使得小路CD最短，并求出此时小路C。的长；

(2)若有一动点P,从A出发沿着△A8C的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为3m/h,

设时间为f小时，？为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？

29.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,

以便计算产量.小明找了一卷米尺，测得A8=3米，4。=4米，CD=13米，BC=12米,

又已知NA=90°,求这块四边形A8CD土地的面积.

30.如图，方格纸中小正方形的边长为1,4ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求:

(1)边AC、AB.8c的长；

(2)求△4BC的面枳；

(3)点C到AB边的距离.

31.如图，有两根长杆隔河相对，一杆高3%,另一杆高2〃?，两杆相距5%.两根长杆都与

地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小

鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小

鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)

32.如图(1)：已知在△ABC中，AB=AC,P是底边BC上一点，作「于。，PEL

AC于E,BFLACTF,求证：PD+PE=BF.

【思路梳理】：如图(2)：连接AP,必有SA”B+SAAPC=SA4BC，因为△ABP、AACP和4

A8C的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE=BF.

【变式应用】：如图(3)：已知在△ABC中，AB=AC,P是底边BC的反向延长线上一点,

作PD1.AB于。，PEA.ACTE,BFJ_4C于尸，求证：PE-PD=BF.

【类比引申】：如图(4)：已知P是边长为4aM等边△ABC内部一点，作P。，8c于。，

PEA.AB于E,PFLAC于F,那么PD+PE+PF=

【联想拓展］己知某三角形的三条边分别是5a〃、120如13cm,在平面上有一点P,它到

此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于.

33.如图所示的一块地，ZADC=90°,AD=\2m,CD=9in,AB=25m,BC=20m,求这

34.阅读下面材料：

勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a,b,c,满足拼法=3那么这个三

角形是直角三角形.

能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.例如：32+42=52,3、4、5是一组勾

股数.

古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，。=2加，匕=.2-1,。="2+1,

那么a,b,c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出

一组勾股数.

35.A,B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE=200米，BF=70米，它

们的水平距离£F=390米.现欲在公路旁建一个超市P,使超市到两居民楼的距离相等，

36.如图，在△4BC中，CE平分NACB,Cf1平分NAC。，且E尸〃BC交AC于若CM

=5,则Cf^+C产等于多少？

A

37.在等腰△ABC中，已知AB=AC,BO_L4C于O.

(1)若NA=48°,求NC8O的度数；

(2)若BC=15,80=12,求AB的长.

38.如图，台风中心位于点A,并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，

受影响区域的半径为130千米，3市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米

处.

（1）说明本次台风会影响B市；

（2）求这次台风影响B市的时间.

北个

39.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑

筋的小明这样设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测

得此时绳子末端距旗杆底端1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5,“处，测得此时绳子

末端距离地面高度为如果设旗杆的高度为x米（滑轮上方的部分忽略不计），求x

的值.

40.已知：如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点3出

发沿射线BC以2cmis的速度运动，设运动的时间为f秒，

(1)当△ABP为直角三角形时，求r的值：

(2)当△ABP为等腰三角形时，求/的值.

(本题可根据需要，自己画图并解答)

41.正方形网格中的每个小正方形边长都是1,

(1)请在图中画出等腰△ABC,使AB=AC=y后,BC=®,

(2)在△ABC中，AB边上的高为.

42.如图，等腰AABC的底边BC=16a〃，腰AC=10cm,A。是底边BC上的高，一动点P

从点8出发，沿BC方向以2tros的速度向终点C运动，设运动时间为fs(f>0)

(1)求AD的长；

(2)当△%C是等腰三角形时，求f的值.

43.如图，ZVIBC中，AD1BC,垂足为O.如果AO=6,BD=9,CD=4,那么NBAC是

直角吗？证明你的结论.

44.用一条长为20c%的细绳围成一个等腰三角形

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少

（2）能围成有长是4。"的等腰三角形吗？为什么？

45.如图1A村和8村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离AC、BZ）分别为1千米和

4千米，又知道的长为4千米.

（1）现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选.

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再至U8村（即AC+A8）.（如图2）

方案2：作4点关于直线C。的对称点4',连接4'B交C。于M点，水厂建在M点处,

分别向两村修管道AM和BM.（即AM+BM）（如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工.请利用已有条件分别进

行计算，判断哪种方案更合适.

（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，当快艇。与C£＞中点G相距多远时，AAB。为等腰

三角形？直接写出答案，不要说明理由.

46.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”,

（I）如图△ABC中，BC=2,求证：△48C是''美丽三角形”；

（2）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2。若△ABC是“美丽三角形”，求的长.

47.如图，等边△ABC的边长为10a”，点。是边AC的中点，动点P从点C出发，沿BC

的延长线以2c,〃/s的速度做匀速运动，设点P的运动时间为f（秒），若△BDP是等腰三

角形，求f的值.

49.如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米

（1）若梯子底端离墙角的距离0B为0.7米，求这个梯子的顶端4距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.4米到点4',那么梯子的底端8在水平

方向滑动的距离B8'为多少米？

50.如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的

距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时,

顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度.

人教新版八年级下学期《第17章勾股定理》2019年单

元测试卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.已知：如图，有一块凹四边形土地A8CD,/AOC=90°,AD=4m,CD=3w,AB=l3m,

BC^nm,求这块四边形土地的面积.

【分析】连接AC,根据解直角△ADC求AC,求证△ABC为直角三角形，根据四边形ABC。

的面积=/\48。面积-△AC。面积即可计算.

【解答】解：连接AC,

VZADC=90°,AD=4m,CD=3m,

/MC"VCD2+AD2=5W-

"：BC=n,AB=\3,

.,.AC^+B^^AB2.

.♦.△ABC为直角三角形且/ACB=90°,

22

SAABC=-X5X12=30(/W),SAACD=—X3X4=6(w)

22

•••这块四边形土地的面积30-6=24(谓).

【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了根据勾股定理判定直角三角形,

本题中求证aABC是直角三角形是解题的关键.

2.如图，在四边形488中，NB=ND=90°,AB=8C=2,CD=1,求AO的长.

【分析】连接AC,首先由勾股定理求得AC?的值；然后在直角△AC。中，再次利用勾股定

理来求AD的长度即可.

【解答】解：连接AC,

,/ZB=90°

:.AC1=AB2+BC2.

；A8=BC=2

.,.AC2=8.

：/。=90°

：.AD1=AC2-CD1.

'：CD=b

：.A£T=1.

AD=VT.

【点评】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜

边长的平方.

3.如图，在四边形A2CD中，AB=AD,NA=90°,/C8£)=30°,/C=45°,如果A8

=&,求C£)的长.

Ap―____D

BC

【分析】过点D作DELBC于E,根据等腰直角三角形的性质求出AD.8。，再根据直角

三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE,利用是等腰直角三角形，

即可求出CQ的长.

【解答】解：如图，过点。作8c于E,

U

：AB=AD9ZBAD=90°,

:,AD=AB=\[^,

••由勾股定理可得BD=rAB2+AD2=2,

u：ZCBD=30°,

：.DE=^BD=^-X2=\,

22

又•.•为△«)£：中，NDEC=90°,ZC=45",

由勾股定理可得cz)=G藉强=血.

A

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，

以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把△8CQ分成两个直角三角形是解题的关

键，也是本题的难点.

4.己知：如图，在△ABC中，AB=AC,点。、E分别是BC、4c上的点，且。E=3,AD

=4,AE=5.若NBAD=73°,NC=35°,求NAED的度数.

BDC

【分析】根据等腰三角形的性质得到/8=35°,根据勾股定理的逆定理得到/ADE=90°,

根据三角形的内角和得到/4。8=72°,进而根据平角的定义得到NEQC=18°,再根

据三角形外角的性质得到/AEQ的度数.

【解答】解：'：AB=AC,/C=35°,

NB=/C=35°,

VDE=3,40=4,AE=5,

.,.£)E2+AD2=3+4=25,AF=5=25,

D^+AD1=AE1,

...△ADE是直角三角形，ZADE=90°;

又•.,NBA£>+/8+NAQB=180°,ZBAD=73°,

，NAQB=180°-73°-35°=72°；

又：ZADB+ZADE+ZEDC^\SO°,

AZEDC=180°-72°-90°=18°；

...NAEC=NE£)C+NC=18°+35°=53°.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟

练应用等腰三角形的性质是解题的关键.

5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB_LBC,点E在AB上，AD=],AE=2,BC=3,

【分析】根据平行线的性质得到N4=/B=90°,根据相似三角形的判定定理得到△AOE

sABEC,根据相似三角形的性质得到N3=N2,于是得到结论.

【解答】证明：,：AB±BC,

ze=90".

：AD//BC,

NA=NB=90°,

：AD=\,AE=2,BC=3,BE=\.5,

.2

,AD_AE

'BF^BC,

\&ADEs丛BEC,

/3=/2,

VZ1+Z3=9O"，

AZl+Z2=90°,

【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定

和性质是解题的关键.

6.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,A。平分NCA3,交BC于点D,CD=2,AC=2«.

(1)求NB的度数;

【分析】(I)根据正切的概念求出NC4D,根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算即

可;

(2)根据直角三角形的性质求出48,根据勾股定理求出8c

【解答】解：(1):在RtZ\AC。中，ZC=90°,CD=2,AC=2^

•・MO"詈嘉哼,

NCW=30°，

：A£)平分NCAB,

.,.NC43=2/C4Z)=60°,

VZC=90°,

・・・N8=90°-60°=30°；

(2).在RtAABC中,ZC=90°,ZB=30",

AB=2,AC=A,\f^9

"BC=VAB2-AC2=6,

【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别

是4,b,斜边长为C,那么/+d=。2.

7.如图，在四边形ACBO中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AO=12,80=13.连接A8,

求证：ADLAB.

【分析】利用勾股定理的逆定理证明即可.

【解答】证明：在RtaABC中，根据勾股定理，得A4nAd+BdusZ+dZuZS.

在△ABZ）中，；4片+4£>2=25+122=169,fiD2=132=169,

.".AEP+AD^^BD2.

.二△AB力为直角三角形，且/54。=90°,

：.ADLAB.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

8.如图，四边形A8CZ）中，ZB=90°,NACB=30°,AB=2,C£）=3,AO=5.

（1）求证：ACLCD；

（2）求四边形A8CD的面积.

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到4C=2AB=4,根据跟勾股定理的逆定理即可得到

结论；

（2）根据勾股定理得到BC=^42_22=273-根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：在RtZVIBC中，NB=90°,ZACB=30°,A8=2,

.\AC=2AB=4f

在△ACO中，AC=4,CD=3,AD=5,

V42+32=52,BPAC^+CI^^AD2,

：.ZACD=90°,

J.ACLCD-,

(2)解：在RtZkABC中，ZB=90°,AB=2,AC=4,

•••尤=值7=2e，

Rt/XABC的面积为/b=2«,

又•.•氐△48的面积为LAC・C£>=LX4X3=6,

22

四边形ABC£)的面积为：2虫+6.

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆

定理是解题的关键.

9.题目：如图，在△ABC中，点。是BC边上一点，连结AO,若AB=10,AC=\1,BD

=6,AD=S,解答下列问题：

(1)求乙的度数；

(2)求BC的长.

小强做第(1)题的步骤如下：•••AB2=BQ2+AQ2

.♦.△AB。是直角三角形，ZA£)B=90°.

(1)小强解答第(1)题的过程是否完整，如果不完整，请写出第(1)题完整的解答过程

(2)完成第(2)题.

【分析】(1)根据AB=10,BD=6,AD=8,利用勾股定理的逆定理求证△48。是直角三

角形；

(2)利用勾股定理求出C。的长，即可得出答案.

【解答】解：(1)不完整，

BD2+AD2=62+82=102=AB2,

△ABQ是直角三角形，

，乙4。8=90°；

(2)在RtAAC。中，CDf小m2=15,

：.BC=BD+CD=6+15=21,

答：8c的长是21.

【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键

是利用勾股定理的逆定理求证△AB。是直角三角形.

10.如图，已知RtZXABC中，ZC=90°,NA=60°,AC=3cm,AB=6,",点尸在线段

AC上以lc〃?/s的速度由点C向点A运动，同时，点。在线段4B上以2““/s的速度由点

A向点B运动，设运动时间为f仆).

(1)当f=l时，判断△APQ的形状，并说明理由；

【分析】(1)分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；

(2)根据全等的条件和已知分别求出AP.CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推

出即可；

【解答】解：(1)ZVIP。是等边三角形，

理由是：；f=l,

：.AP=3-1X1=2,AQ=2X1=2,

：.AP=AQ,

VZA=60°,

•••△AP。是等边三角形；

(2)存在f,使△APQ和△CPQ全等.当f=1.5s时，△APQ和△CPQ全等.

理由如下：I•在RtZvlCB中，AB=(y,AC=3,

：.ZB=30°,ZA=60°,

当E.5,此时AP=PC时,

：.AP=CP=\.5cmf

AQ=3c〃?，

：.AQ=AC.

又・・・/A=60°,

，44?。是等边三角形，

：.AQ=CQ,

在△AP。和△CP。中，

'AQ=CQ

<AP=CP，

PQ=PQ

A/XAPQ^ACPQCSSS）；

即存在时间r,使和△CP。全等，时间f=1.5；

【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△A8C的三个顶点都在格点上

（1）直接写出边48、AC、BC的长.

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论.

【解答】解：（1）AB=yj]2+22=AC=yj22+]2=BC=yj]2+32=/10；

（2）△ABC是等腰宜角三角形,

'：AB\AC2^5+5^10^BC2,

'：AB=AC,

.二△ABC是等腰直角三角形.

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

12.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问

折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍

恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）

尺，利用勾股定理解题即可.

【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺,

根据勾股定理得：x+（T=（10-x）2.

解得：x=3.2

答：折断处离地面的高度是3.2尺.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运

用勾股定理解题.

13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,AABC的三个顶点分别在正方形

网格的格点上.

（1）计算边AB、BC、AC的长.

（2）判断△ABC的形状，并说明理由.

【分析】（1）先利用勾股定理分别计算三边的长即可;

（2）利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，且A8=BC,所以△ABC是等腰直

角三角形.

【解答】解：（1）•••每个小正方形的边长都是1,

'AB=q22+32=VT§,2^+AC=d]2+52=<y^；

（2）ZVIBC是等腰直角三角形，

理由是：'：AB2+BC2=}3+\3=26,

A（?=26,

：.AB1+BC2=AC2,

；AB=3C=后，

...△ABC是等腰直角三角形.

【点评】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

14.如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的

绳子拉直垂到了地面还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接

触地面，求旗杆的高度.（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计）

A

【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度

为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.

【解答】解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，

在RtZXABC中，根据勾股定理可得：?+52=（x+1）2,

解得，x=12.

答：旗杆的高度为12米.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，很简单，只要熟知勾股定理即可解答.

15.已知AABC中，BC=m-n（机>〃>0）,AC=2-J-^,AB=m+n.

（1）求证：ZSABC是直角三角形；

（2）当/A=30°时，求皿，〃满足的关系式.

【分析】（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可；

(2)根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1);BC=m-n(m>n>0),AC=2A/^,AB=m+n,

.'.AC1+CB1=(m-n)~+^tnn=m'+n'-2mn+4mn=m~+n2+2mn=(m+n)~=AB2.

：.ZC=90°.

△ABC是为直角三角形；

(2)VZA=30°,

,BC一nm=1

ABm+n2

••加=3〃.

【点评】题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长m4c满足/+/=/,

那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

16.如图，NAOB=90°,OA=9cm,OB3cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A

出发沿着A。方向匀速滚向点。，机器人立即从点8出发，沿8c方向匀速前进拦截小球，

恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人

【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出BC=CA.设

4C为x,则。C=9-x,根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：••,小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，

：.BC=CA.

设AC为x,则OC=9-x,

由勾股定理得：O/OC^BC2,

又•.3=9,OB=3,

A32+(9-x)2=/,

解方程得出x=5.

,机器人行走的路程BC是5cm.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的

结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准

确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

17.方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点，位置如图.

（1）在图1中确定格点C使△A8C为直角三角形，画出一个这样的△ABC；

（2）在图2中确定格点。使△AB。为等腰三角形，画出一个这样的△48。；

【分析】（1）A所在的水平线与8所在的竖直线的交点就是满足条件的点；

（2）根据勾股定理可求得AB=5,则到A的距离是5的点就是所求；

（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解.

（3）在图2中满足题（2）条件的格点。有4个.

故答案是：4.

【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键.

18.图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2,请你根据图

2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框8CZ）至少需要不锈钢管多少米（焊接

部分忽略不计）.

1.6冽D

T

0.6冽

w

B

图2

【分析】首先根据等腰三角形的性质可得。0=工C£>=0.8〃2,再在RtZ\3QO中利用勾股定

2

理计算出8。的长，即可算出答案.

【解答】解：由题意得：BO±CD,

•••△88是等腰三角形，

.•.CO=J-C£）=0.8"7,

2

在RtABDO中，

BCT^DCT+BCT,

:.BD=d0.[2+0.$2=1（米），

：.BC=\米，

等腰三角形栅栏外框BCO至少需要不锈钢管：1+1+1.6=3.6（米）.

B

图2

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是利用勾股定理计算出8。的长.

19.某中学有一块四边形的空地4BCO,如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量N

8=90°,AB=3m,BC=4m,C£>=12〃]，A£>=13〃].若每平方米草皮需要200元，问学

校需要投入多少资金买草皮？

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出N4C£>=90°,再利用直角三角形的性质得出答案.

【解答】解：连接AC

VZB=90°,AB=3w,BC=4，〃，BC=\2m,

AC2=/lB2+AD2=32+42=25,AC=5m,

：.AC^+CD2=25+144=169=132

又•；AQ2=132,

.,.Ad+CD^CZ)2

ZACD=9Q°,

...△AC。是直角三角形，

四边形ABC。的面积=6+30=36（渥），

学校要投入资金为：200X36=7200（元）；

答：学校需要投入7200元买草皮.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△AC。是直角三角形

是解题关键.

20.如图1,Rt/\ABCAC±CB,AC=15,AB=25,点。为斜边上动点.

（1）如图2,过点。作。E_LAB交CB于点E,连接AE,当AE平分/C48时，求CE；

（2）如图3,在点。的运动过程中，连接CD,若△ACD为等腰三角形，求AO.

【分析】（1）^/\ACE^/\AED（A4S）,推出CE=DE,AC=AD=15,设CE=x,则BE

=20-x,80=25-15=10,在中根据勾股定理即可解决问题；

（2）分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：（1）'：AC±CB,AC=15,AB=25

：.BC=20,

平分/C4B,

NEAC=ZEAD,

'：AC±CB,DEI.AB,

：.ZEDA=ZECA=1）0o,

"：AE=AE,

：./\ACE^/\AED(A4S),

：.CE=DE,AC=AD=\5,

设CE=x,则BE=20-x,BD=25-15=10

在RtABFD中

.,.7+102=(20-x)2,

••7.5,

：.CE=1.5.

(2)①当AO=AC时，△AC。为等腰三角形

VAC=15,

.•・A£)=AC=15.

②当时，△AC。为等腰三角形

,:CD=AD,

：.ZDCA=ZCAD9

VZCAB+ZB=90°,

NOCA+N3co=90°,

：.ZB=ZBCDf

:・BD=CD,

：.CD=BD=DA=12.5,

③当CO=AC时，△AC。为等腰三角形,

如图1中，作CH_L84于点H,

图1

则2・A8・C”=L・AC・BC,

22

VAC=15,BC=20,AB=25f

:・CH=\2,

在Rt/XAC”中，A“=JAC：2YH2=%

VCD=AC,CHLBA,

：.DH=HA=9,

：.AD=\S.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题

的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

21.如图，在△A8C中，AO_L8C于点。，AB=10,AC=BD=8.求△ABC的面积.

【分析】根据垂直的定义得到/AOB=NADC=90°,根据勾股定理得到4£>=伍汇于

=6,CD-^AC2_AD2=277,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：于点Q,

ZADB=ZADC=90°,

：AB=10,BD=8,

；.BC=BD+DC=8+2折,

.,.△ABC的面积=/8C・AO=*X(8+2V7)X6=24+6V7.

【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是。，从斜边长为c,

那么/+匕2=。2是解题的关键.

22.如图，△ABC中，NACB=90°,AB=\Ocm,BC=6cnt,若点P从点A出发，以每秒

\cm的速度沿折线4-C-B-A运动，设运动时间为t秒(r>0).

(1)当点P在AC上，且满足%=PB时，求出此时，的值；

(2)当点P在A8上，求出r为何值时，△BCP为等腰三角形.

A.

R

【分析】(1)设存在点P,使得必=P8,此时B4=PB=4f,PC=8-4f,根据勾股定理列

方程即可得到f的值；

(2)若点尸在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角

形，作于。，根据等腰三角形的性质得BO=C£),则可判断PC为△ABC的中

位线，贝UAP=LAB=5,易得，的值；当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得/

2

的值.

【解答】解：(1):△ABC中，ZACB=90°,AB=Wcm,BC=6cm,

：.由勾股定理得AC=J1Q2_62=8,

如图，连接BP,

当必=PB时，PA=PB=4t,PC=8-4/,

在RtZXPCB中，PC1+CB2=PB2,

即(8-4f)2+62=(4z)2,

解得：f=空，

16

.•.当t=丝时，PA=PB-.

16

(3)①如图3,当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，

AC+CB+BP=8+6+6=20,

.1=20+4=5(s)；

②如图4,若点P在AB上，CP=CB=6,作CD_LAB于O,则根据面积法求得CD=4.8,

在RtZ\8C£)中，由勾股定理得，BD=3.6,

28=280=7.2,

CA+CB+BP=8+6+72=21.2,

此时-21.2+4=5.3(s)；

③如图5,当PC=PB时，△8CP为等腰三角形，作PD_LBC于。，则。为8C的中点，

为△A8C的中位线，

：.AP=BP=—AB^5,

2

，AC+CB+BP=8+6+5=19,

.1=19+4=2(s)；

4

综上所述，5.3s或5s或业■5时，ABCP为等腰三角形.

4

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、熟练掌握等腰

三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键.解题时需要作辅助线构造直角

三角形以及等腰三角形.

23.如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端

落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米.

【分析】设此时树的顶端离树的底部有x米，再由勾股定理即可得出结论.

222

【解答】解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得：/=(8-3)-3=4

解得：x=4,x=-4(舍去)

答：此时树的顶端离树的底部有4米.

【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决.

24.如图，在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=3,动点尸从点C出发，沿着CB运动,速

度为每秒1个单位，到达点8时运动停止，设运动时间为/秒，请解答下列问题:

（1）求BC上的高；

（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出aABC是直角三角形，进而利用三角形面积得

出答案；

（2）分别利用①当AP=AC时，②当AC=C"尸'时，③当AP"=CP"时，结合锐角三角

函数关系得出答案.

【解答】解：（1）V32+42=52,

，AABC是直角三角形，

设8C上的高为x,则LxABX4C=LxBCXx,

22

.•.LX3X4=LX5X,

22

解得：x=2.4,

故BC边上高为2.4；

(2)①当4P=AC时，过A作则CD=OP,

?.CD=ACcosC=3义^=旦,

55

.,.CP=2C£>=—,

5

的速度为每秒1个单位，

.,-18

・・f-------;

5

②当AC=CP时，

VAC=3,

:・CP'=3,

：.t=3；

③当AP"=CP"时，

过P"作P"E1AC,

：AC=3,AP"=CP",

：.EC=\.5,

••Qp"—EC一1•5_

cosC_3_

5

则t=2.5.

综上所述：/=四5或3s或2.5s.

5

【点评】此题主要考查了勾股定定理以及逆定理、锐角三角函数关系，正确利用分类讨论求

解是解题关键.

25.(1)已知RtZ\ABC中，ZC=90°,若。=12,h=5,则c=13；

(2)已知RtZ\ABC