2025版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲义理含解析

PAGEPAGE10第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，驾驭过两点的直线斜率的计算公式，并能依据两条直线的斜率推断这两条直线的平行或垂直关系．(重点)2.驾驭直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预料2024年高考对本讲内容的考查：①考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即eq\o(□,\s\up3(01))k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．(2)斜率公式给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为eq\o(□,\s\up3(02))k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式1．概念辨析(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(2)斜率相等的两直线的倾斜角不肯定相等．()(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过随意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)已知直线l过点(0,0)和(3,1)，则直线l的斜率为()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－3答案B解析直线l的斜率为k＝eq\f(1－0,3－0)＝eq\f(1,3).(2)在平面直角坐标系中，直线eq\r(3)x＋y－3＝0的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)答案D解析直线eq\r(3)x＋y－3＝0的斜率为－eq\r(3)，所以倾斜角为eq\f(2π,3).(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－eq\f(3,4)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案A解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－eq\f(3,4)[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.(4)已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则直线l的方程为()A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0答案D解析由题意得，直线l的截距式方程为eq\f(x,k)＋eq\f(y,2k)＝1，又因为直线l过(k,0)，(0,2k)两点，所以eq\f(2k－0,0－k)＝k，解得k＝－2，所以直线l的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－4)＝1，即2x＋y＋4＝0.题型eq\a\vs4\al(一)直线的倾斜角与斜率1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A．[0，π) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ＜π.2．(2024·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．1±eq\r(2)或0 B．eq\f(2－\r(5),2)或0C.eq\f(2±\r(5),2) D．eq\f(2＋\r(5),2)或0答案A解析若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即eq\f(a2－－a,2－1)＝eq\f(a3－－a,3－1)，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．答案(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系斜率kk＝tanα>0k＝0k＝tanα<0不存在倾斜角α锐角0°钝角90°2．倾斜角改变时斜率的改变规律依据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：(1)当α取值在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))时，k由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))内，由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.3．三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．1．设直线l的倾斜角为α，且eq\f(π,4)≤α≤eq\f(5π,6)，则直线l的斜率k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)解析当eq\f(π,4)≤α<eq\f(π,2)时，k＝tanα∈[1，＋∞)；当eq\f(π,2)<α≤eq\f(5π,6)时，k＝tanα∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，所以斜率k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)．2．(2024·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)答案B解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－3，))从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).题型eq\a\vs4\al(二)直线方程的求法1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．答案x＋13y＋5＝0解析BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC边上中线所在直线方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.2．(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq\f(1,2)，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－eq\f(2,5)，所以直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.条件探究把举例说明2(1)中所求直线绕点A(1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．解设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α，则由举例说明2(1)解析知tanα＝－eq\f(4,3)，所以90°<α<180°，此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°，斜率k′＝tan(α－45°)＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(4,3)－1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝7，点斜式方程为y－3＝7(x－1)，整理得7x－y－4＝0.给定条件求直线方程的思路(1)求直线方程常用的两种方法①干脆法：依据已知条件，干脆写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则干脆利用斜截式即可．②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要留意分类探讨，如举例说明2(2)中不要忽视过原点的状况，否则会造成漏解．(2)设直线方程的常用技巧①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案D解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满意下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为eq\f(1,6).解(1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴、y轴上的截距分别为－eq\f(4,k)－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6，解得k1＝－eq\f(2,3)或k2＝－eq\f(8,3).故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq\f(1,6)x＋b，则它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.题型eq\a\vs4\al(三)直线方程的综合应用角度1由直线方程求参数问题1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)答案C解析令x＝0，得y＝eq\f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq\f(1,4)b2，且b≠0，因为eq\f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．角度2与直线方程有关的最值问题2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．(2)求参数值或范围．留意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满意的条件是