中考数学复习专题09 因动点产生的相似三角形问题（解析版）

专题09因动点产生的相似三角形问题(解析版)知识剖析知识剖析通用的解题思路：经典例题经典例题第工类：设点法 (2)∵4=-m²-3m+4,解得m=-3或0,∴抛物线与直线BC的交点为(-3,4)(0,4),交BC于点G,∴P(m,-m²-3m+4),G(m,4),∴PG=-m²-3m+4-4=-m²-3m,∵DOI/BC,∴∵GH=4,∴BG=GH=-m,HE=DE=4+m,∵以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似且∠PGB=∠DEH=90°,∴△PGB∽△DEH,∴∴GB=PG,∴-m=-m²-3m,∴m=-2或m=0(舍),即：m=-2,C.且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.对称，∴点B的坐标为(1,0).2=-4a:,:.过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,又∵抛物线过点C(0,2),3.(雅礼)已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧).(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化?若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦(3)当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标.:.抛物线的解析式为.(2)MN的长不发生变化.理由：如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H,连接BC、CN.设点C的坐标为.∵CH⊥MN,∴MH=HN.∵HN²=CN²-CH²=CB²-CH²,(3)如图2所示：①当点C与点A重合时.∵MN经过点C,∴MN为圆C的直径.∴MC=2.∵点C(2,0),∴M(0,0)·AABM∽△ANB,∴即AB²=AM·AN.如图4所示：(1)求∠OCD的度数；(2)当m=3,1<x<3时，存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标；【解答】解：(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,解得∴y=-x+m+1,令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),令y=0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),;∵△OPM∽△OCP,∴:·:·,CP=√Z,(舍弃),,CP=√z,:(3)不存在.理由如下：①当1<x<5时，如图1中，00的解析式为y=5x,∴1△<0,∴没有实数根.②当x·1时，如图2中，③当x开时，如图3中，抛物线的解析式是联立方程经,解得(不符合题意，舍),a(40.∴△PGA∽△ACB,∴9(1)求抛物线的解析式；(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P,B两点作直线1交y轴于点D,交直线AC于点E.是否存在这样的直线l:以C,D,E为顶点的三角形与△BOD相似?若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由.(3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA=∠CBC',求M点的横坐标.:·:·图1?图2?过B(3,0),C(0.3)(2)存在直线l使得以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似，当l⊥AC时，以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似，∴∠ACD=∠EBO,∴△ACO=△DBO(ASA),∴A(-1,0),∴D(O,1),由B(3,0),D(O,1)的坐标得，直线BD的解析式为：(3)连接BM,CC',作C'H⊥BC交BC于H,∵抛物线对称轴为直线：∴CH=CH=√2,∵OB=OC=3,∴BC=3√2,∴BH=3√2-√2=2√2,∴由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：解得：或3(舍去),∴M的横坐标,如图：或。(2)如图1,若点B的坐标为(6,1),在x轴上是否存在点P,使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2,将直线AB平移到直线EF,其中点E为(0,1),点F在x轴上，连接AE,若AE⊥EF且AB=2EF,求k的值.【解答】解：(1)对由题意可得OD=b,OC=2b,∴图2令x=0,则y=b,令y=0,则x=2b,∴C(2b,0),D(0,b),(2)存在，∵B(6,1)在和上，.,k=1×6=6,解得b=4,∴OD=4,OC=8,:直线AB的解析式为反比例函数的解析式为99即P(2,0);即P(2,0);:·:·;9(3)由题意可得平移后的直线EF解析式为,∴F(2,0),∵E(0.1),∴EF=√2²+2²=√5,过点F作FG⊥AB于G,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BH⊥AM于点H,如图，,,HB=2,AH=4,,(2)求直线BD的函数解析式；【解答】解：(1)∵BO=3AO=3,∴点B(3,0),点A(-1,0);:抛物线解析式为：·;(2)如图1,过点D作DE⊥AB于E,∴CO//DE,∴:.直线BD的函数解析式为与y轴交于点C,与y轴交于点C,8如图2,过点A作AK⊥BD于K,∴DK=√AD²-AK²=√8-4=2,∴DK=AK,∴∠ADB=45°,当ABAD∽△BPQ,∴:当ADAB∽△BPQ,∴:9.如图，已知抛物线y=ax²+3ax-4a与x轴负半轴相交于点A,与y轴正半轴相交于点B,OB=OA,直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴正半轴交于点F,设点D的横坐标为x,四边形FAEB的面积为S,请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理(2)∵点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,4),∴直线AB的解析式为y=x+4∴DE=-x²-3x+4-(x+4)=-x²-4x(如图1).①当∠DBE=90°时，∵OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠BDE=∠ADC=45°,②当∠BED=90°时，点E的纵坐标为4,∴-m²-3m+4=4,10.如图，已知抛物线为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?备用图【解答】解：(1)抛物线令y=0,解得x=-2或x=4,∴A(-2,0),B(4,0).∴抛物线的函数表达式为：(2)由抛物线解析式，令x=0,得y=-k,∴C(0,-k),OC=k.以∠ABP为钝角.因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2-1所示.设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,因为点P在第一象限内的抛物线上，所tan∠BAC=tan∠PAB,即：代入抛物线解析式解得：x=8或x=-2(与点A重合，舍去),∴P(8,5k).∵△ABC∽△APB,即解得：②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如答图2-2所示.设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,,代入抛物线解析式····解得：x=6或x=-2(与点A重合，舍去),,解得k=±√2(3)如答图3,由(1)知：D(-5,3√3),如答图2-2,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3√3,ON=5,BN=4+5=9,过点D作DK//x轴，则∠KDF=∠DBA=30°.过点F作FG⊥DK于点G,则由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.∵A点横坐标为-2,直线BD解析式为：为直径的OM交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,|x₁-x₂=8.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连接AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似(除去全等这一情况)?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；【解答】解：(1)圆的半径如答图1,连接ME,∵·NE是切线，∴ME⊥NE.答图199:抛物线的解析式为：(2)如答图2,由抛物线的对称性可知：AD=BD,∠DAB=∠DBA.若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P,使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD.设AP交抛物线的对称轴于D点，显然:∴直线AP的解析式为