第1章 集合与逻辑（知识清单）-2021-2022学年高一上学期数学期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）

第1章集合与逻辑知识清单集合的意义定义 定义 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.集合所含的各个对象叫做这个集合的元素. 集合常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示.如果是集合的元素，记作“”，读作“属于”；如果不是集合的元素，记作“”，读作“不属于”.例如，由2，3，5，7，11，13，17，19，23，29组成的集合为，那么，.对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的.即任何一个对象，要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一.譬如，至少有一组对边平行的四边形的全体组成集合，则三角形不是集合的元素，而正方形则是集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.相等集合：如果组成两个相等集合：如果组成两个集合与的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作.2.集合的分类（1）按照集合中元素的数量分类有限集：元素个数为有限的集合称为有限集；有限集：元素个数为有限的集合称为有限集；无限集：元素个数为无限的集合称为无限集；空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作.所有的空集都是相等的.例如，方程的实数解所组成的集合是空集.又如当两条直线平行时，他们没有公共点，就可以说这两条直线的公共点组成的集合是空集.（2）按元素类型分类元素的类型有数，点，平面图形（例如三角形），动物，植物等等，甚至一个集合本身也可以成为另一个集合的元素.数学上，常用到数的集合和点的集合.数集：数的集合简称数集.数集：数的集合简称数集.点集：点的集合简称点集.常用数集的符号：数集符号自然数集整数集正整数集有理数集实数集点集示例：平面直角坐标系中一三象限所有点的集合.3.集合的表示除了用自然的语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表示集合.（1）列举法与描述法列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在一对大括号内.列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在一对大括号内.例如，方程的解组成的集合可以表示成，或者也可以.描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即满足性质.（2）区间法与图示法数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合.为了方便起见，我们引入区间的概念，当且时，规定：（1（1）满足不等式的全部实数所组成的集合称为闭区间，记为；（2）满足不等式的全部实数所组成的集合称为开区间，记为；（3）满足不等式或的全部实数所组成的集合称为半开半闭区间，分别记为与.这里的实数统称为这些区间的端点.区间在数轴上的表示如下：此外，满足不等式或的全部实数所组成的集合可分别用区间符号表示为，，与.实数集可用区间表示为.（符号“”读作无穷）图示法：数学上还可以用图像来直观的表示集合，根据不同的场景可以选用不同的图像.例如：图示法：数学上还可以用图像来直观的表示集合，根据不同的场景可以选用不同的图像.例如：（1）数轴：常用来表示区间，如上所示；（2）平面直角坐标系：用直角坐标系中的区域来表示点集；例如圆心在原点，半径为1的圆内的点组成的集合；（3）文氏图（也叫韦恩图，Venn图）：基本想法就是用一个简单的、通常以圆、椭圆或矩形等为边界的平面图形来表示一个集合.在后面要学习到的集合之间的关系和集合的运算中会经常用到.4.集合之间的关系在现实生活和数学中，我们常常会遇到集合之间的如下关系：（1）是本班所有女生组成的集合，是本班所有学生组成的集合；（2）是一平面上所有矩形组成的集合，是该平面上所有四边形组成的集合；（3）；（4），是奇数容易发现，在上述每组集合中，集合中的每个元素都属于集合.但第（1）（2）组和第（3）（4）组不同：第（1）（2）组，中有些元素不属于；第（3）（4）组，集合中的每个元素也都属于集合.即与的元素是完全相同的，所以.这些集合之间的关系是非常的常见的.定义定义对于两个集合与，如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）定义定义对于两个集合与，如果，且集合中至少有一个元素不属于集合（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）我们常用文氏图来直观表示集合以及集合之间的关系.如下图，是的文氏图.对于集合之间的包含关系，有以下结论：（对于集合之间的包含关系，有以下结论：（1）；（2）传递性：若且，则；（3）若，则或思考：常用数集之间有没有包含关系？思考：常用数集之间有没有包含关系？解：5.子集的数量思考：集合的子集一共有多少个？思考：集合的子集一共有多少个？集合的子集为：，共1个；集合的子集为：，，共2个；集合的子集为：，，，，共4个；集合的子集为：，，，，，，，，共8个；那么集合呢？定理 定理 若集合中有个元素（），则有个子集，个非空子集，个真子集，非空集合有个非空真子集.证明：集合，则对于集合的任一子集，每个元素都有两种可能：属于或不属于这个子集，乘法原理得到：共种可能，即个子集，进而个非空子集，个真子集.6.交集、并集、补集（1）交集首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个新的集合.定义 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集，记作（读作“A交B”），即.文氏图反应三种不同情况：（1）集合与既有公共元素，又有非公共元素，阴影部分同时是集合与的真子集；（2）集合A是集合B的子集，此时；（3）集合与没有公共元素，此时；归纳交集运算的性质：，归纳交集运算的性质：，，；（2）并集我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合.定义 定义 由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“并”，即文氏图直观反映的三种不同情况如下所示：（1）集合与既有公共元素，又有非公共元素，此时集合与都是的真子集；（2）集合是集合的子集，此时；（3）集合与没有公共元素，此时和（1）类似，集合与都是的真子集；归纳并集运算性质：，归纳并集运算性质：，，（3）补集定义 定义 当我们研究某个领域的问题时，通常把该领域内的全体对象组成特定的集合叫做全集，常用符号表示，全集含有该领域内各个集合的全部元素.若集合是全集的一个子集，那么属于而不属于的元素构成的集合，又是一种怎样的运算呢，他与数的哪一种运算具有相似性呢？这就是我们将要继续研究的“补集”：定义 定义 设全集为，是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“”，读作“补”.即.有些资料中，也用符号表示集合在全集中的补集用文氏图表示集合在全集中的