第29讲圆锥曲线参数的范围问题(原卷版+解析)

第29讲圆锥曲线参数的范围问题方法总结：解决此类问题的策略：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可（3）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（4）利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；（5）利用基本不等式求出参数的取值范围；（6）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．典型例题：例1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M､N为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.例2．（2023·北京八中高三开学考试）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.例3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.（1）求向量与的数量积；（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.过关练习：1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程﹔(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.3．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆过，两点，为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.5．（2023·全国·高三专题练习）如图，点，分别是椭圆的左､右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B.(1)求椭圆C的离心率；(2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围.6．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆左、右焦点分别为，.给出下列条件：①椭圆过点，且离心率；②椭圆过点，且；③焦距为2，且离心率.(1)在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)在（1）的条件下，若直线与椭圆交于点，，且，求的取值范围.7．（2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．8．（2023·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.(1)求直线的斜率的取值范围；(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.9．（2023·安徽阜阳·高三期末（文））已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.(1)求C的方程；(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.10．（2023·河南·高三期末（理））已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．(1)若，求l的方程；(2)设点Q（n，0）（）是x轴上的定点，若l变化时，M总在以QF为直径的圆外，求n的取值范围．11．（2023·吉林吉林·高三期末（理））已知抛物线上一点到焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)若点、为抛物线位于轴上方不同的两点，直线、的斜率分别为、，且满足，求证：直线过定点，并求出直线斜率的取值范围．12．（2023·广东茂名·一模）已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.(1)求椭圆C的方程；(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和M、N两点，求的取值范围.13．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．14．（2023·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的取值范围.15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第二象限，直线被圆截得的线段的长为．(1)求直线的斜率；(2)当时，①求该椭圆的方程；②设动点在椭圆上，若直线的斜率小于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．第29讲圆锥曲线参数的范围问题方法总结：解决此类问题的策略：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可（3）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（4）利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；（5）利用基本不等式求出参数的取值范围；（6）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．典型例题：例1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M､N为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由椭圆的离心率公式和，，的关系，以及点是椭圆C上一点，可得，，，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线AM的斜率为，由对称性可得直线AN的斜率为，求得直线AM的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得M的横坐标，将其中的换为，可得N的横坐标，求得MN的斜率和方程，联立椭圆方程，由判别式大于0，结合M，N的位置，解不等式可得所求范围.(1)∵，，∴①又在椭圆C上，∴②由①②解得，，所以所求椭圆标准方程为(2)由（1）知，∴轴，设直线的斜率为k，因为，关于直线对称，所以直线的斜率为，又，所以直线的方程是，设，，，所以，将上式中的k换成得，，所以，所以直线的方程是，代入椭圆方程得，所以，解得，又由题意知点M，N在A点两侧，而直线中，当时，，故.例2．（2023·北京八中高三开学考试）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.答案:(1)动点的轨迹的方程为；(2)的取值范围.解析：分析：(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.(1)由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；(2)故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故例3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；答案:（1）；（2）．解析：分析：（1）把代入椭圆方程得，进而可得，再由以及求出的值即可求解；（2）设，，由角平分线以及正弦定理可得，再根据，即可得的取值范围.【详解】（1）把代入椭圆方程得，解得，因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1，所以，又，联立得，解得，所以椭圆的方程为；（2）如图所示，设，，在中，由正弦定理可得在中，由正弦定理可得，因为，，两式相除可得，又，消去得到，化为，因为，即，也即，解得：，所以的取值范围为．【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.（1）求向量与的数量积；（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.答案:（1）；（2）.解析：分析：（1）设A，B坐标为，再设直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理与向量的数量积坐标公式计算即可；（2）由（1），利用韦达定理表达出和的关系以及在轴上截距关于的表达式，再根据得出的取值范围，进而求得截距范围即可【详解】（1）设A，B坐标为，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线方程为：.联立得，，由韦达定理得..向量的数量积为.（2）由（1）知，代入得.在为增函数在y轴上截距的取值范围为过关练习：1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程﹔(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）由题设有且求参数a，进而写出椭圆方程.（2）讨论的斜率，当斜率存在时设、，联立椭圆方程结合韦达定理求关于的表达式，再由，应用数量积的坐标表示列方程求参数m，进而求线段中垂线的方程及的范围，即可确定的取值范围.(1)由已知条件得：，令，得，由题意知：，解得，∴椭圆的标准方程为，(2)①当直线的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线斜率存在时，设，当时，此时关于y轴对称，令，∴且，则，又，∴，解得或(舍)，则符合题设.∴此时有；当时，则，得，，设，则，得，，且，由，即，∴，整理得，解得（舍去），代入得：，∴为，得：，则线段的中垂线为，∴在轴上截距，而，∴且，综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论直线斜率，设直线方程及交点坐标，联立椭圆方程并应用韦达定理求交点坐标与所设直线参数的表达式，再根据向量垂直的坐标表示求参数，进而确定中垂线方程及参数范围.2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.答案:(1)(2)或解析：分析：（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可.(1)易知点是抛物线的焦点，，依题意，所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，设该椭圆的方程为，则，，故点的轨迹的方程为.(2)易知直线1的斜率存在，设直线1：，由得：，，即①又，故，将，代，得：，将②代入①，得：，即，即，即，且，即的取值范围为或.3．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆过，两点，为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．答案:(1)(2)存在，，解析：分析：（1）根据椭圆E：（）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.(1)将，的坐标代入椭圆的方程得，解得，．所以椭圆的方程为．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①将其代入椭圆的方程并整理得，由韦达定理得，，②因为，所以，③将①代入③并整理得，联立②得，④因为直线和圆相切，因此，由④得，所以存在圆满足题意．当切线的斜率不存在时，易得，由椭圆方程得，显然，综上所述，存在圆满足题意．当切线的斜率存在时，由①②④得，由，得，即．当切线的斜率不存在时，易得，所以．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且．4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根据直线与的斜率之积列方程，化简求得动点的轨迹的方程.（2）利用向量的坐标运算，由得到，联立直线与椭圆：，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于的不等式，并由此求得的取值范围.(1)设，则，所以可得动点P的轨迹C的方程为.(2)设又，由得，联立可得，即，且，又，则，，代入得，，解得.的取值范围是5．（2023·全国·高三专题练习）如图，点，分别是椭圆的左､右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B.(1)求椭圆C的离心率；(2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：(1)结合已知条件，分别求出、与的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出的坐标，然后利用数量积公式表示出，最后利用二次函数的性质求解即可.(1)在中，∵，∴，，由椭圆的定义，，，∴椭圆离心率.(2)的周长为，则，∵，∴，，∴椭圆C的标准方程为，可得，设，则，，∵，∴，∵，所以由二次函数性质可知，当时，的最大值为；当时，的最小值为，所以的取值范围是.6．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆左、右焦点分别为，.给出下列条件：①椭圆过点，且离心率；②椭圆过点，且；③焦距为2，且离心率.(1)在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)在（1）的条件下，若直线与椭圆交于点，，且，求的取值范围.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）利用已知条件，结合椭圆中求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，由判别式得到的取值范围，设，，利用韦达定理求出，的表达式，再利用斜率之和等于0，即可求出的取值范围.(1)选①，∵椭圆过点，∴，∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴椭圆的方程为；选②，∵椭圆过点，且，∴，.∵，∴，∴，∴，∴椭圆的方程为；选③，∵，∴.∵，∴，∴，，∴椭圆的方程为.(2)联立得，由，得.设，，则有，.∵，且，∴，∴.当时，等式成立；当时，，整理得，得.可知上式恒成立，故直线的斜率的取值范围是.【点睛】综合性考查落实，本题以椭圆为背景，考查椭圆的几何性质、椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系，考查数学运算、数据分析和逻辑推理核心素养.7．（2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程；（2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解．(1)设双曲线的半焦距为，∵，∴．又，，解得，，∴双曲线的方程为．(2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，联立得，联立得，∴．联立得，设，，则，，由即，∴，∴．又，∴，∴，∴的取值范围为．【点睛】本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题.8．（2023·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.(1)求直线的斜率的取值范围；(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.答案:(1)；(2)为定值2.解析：分析：(1)通过抛物线经过的点，求解，得到抛物线方程，设出直线方程联立直线与抛物线方程，然后求解的范围．(2)设点，，设，，，，利用韦达定理，结合直线方程求解，的纵坐标，转化求解为定值2．(1)因点在抛物线上，则，解得，∴抛物线C的方程为.令直线的斜率为k，则直线方程为：，由消去y并整理得：，因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，又直线PA，PB与相交，而点(1，－2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，－2)，否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，综上得：，且，∴直线的斜率的取值范围.(2)设点，，，而，则，同理，设，由(2)知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得，∴为定值2.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．9．（2023·安徽阜阳·高三期末（文））已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.(1)求C的方程；(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由题设及椭圆性质，得，，求出的值，即可得到答案；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率不存在时；当斜率存在时，再利用基本不等式求解，即可得到答案；(1)由题设及椭圆性质，得，，得，故C的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，A，B为椭圆的短轴端点，；当直线的斜率存在时，设直线：，联立得，得，则（当时，等号成立），所以.综上，的取值范围为.10．（2023·河南·高三期末（理））已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．(1)若，求l的方程；(2)设点Q（n，0）（）是x轴上的定点，若l变化时，M总在以QF为直径的圆外，求n的取值范围．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为，，，将直线方程与抛物线的方程联立，消去，利用根与系数的关系，由可得，结合前面的式子可求出的值，从而可求得的值，进而可求得直线l的方程，（2）以QF为直径的圆的圆心为，半径为，由点M（x，y）在该圆外，可得对任意恒成立，令，然后分和两种情况求解可得结果(1)由题意得F（1，0），设直线l的方程为，，，联立方程得消去x可得，由根与系数的关系得，．因为，所以，有，结合，解得，，所以，l的方程为．(2)以QF为直径的圆的圆心为，半径为，因为点M（x，y）在该圆外，所以，即对任意恒成立．令．则①，解得；②解得，又，故．综上所述，n的取值范围是．11．（2023·吉林吉林·高三期末（理））已知抛物线上一点到焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)若点、为抛物线位于轴上方不同的两点，直线、的斜率分别为、，且满足，求证：直线过定点，并求出直线斜率的取值范围．答案:(1)；(2)证明见解析，直线斜率的取值范围是.解析：分析：（1）利用抛物线的定义可求得的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）分析可知直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，设点、，其中，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据题中斜率关系结合韦达定理，可得出、所满足的关系式，即可得出直线所过定点的坐标，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出直线的斜率的取值范围.(1)解：因为抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，抛物线的标准方程为.(2)证明：设、，其中，，则，，若直线轴，则直线与抛物线至多一个交点，不合乎题意，若直线轴，则直线与抛物线不可能在轴上方有两个交点，不合乎题意，设直线的方程为，直线的斜率，联立方程得，因为且，则，，，，则，即，所以，即，则直线的方程为，直线过定点，由题意，即，解得，所以，.所以直线的斜率取值范围是.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.12．（2023·广东茂名·一模）已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.(1)求椭圆C的方程；(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和M、N两点，求的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：（1）由题意可得，，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得到答案；（2）对直线的斜率分两种情况讨论，即当垂直轴，与不垂直轴，结合弦长公式、基本不等式，即可得到答案；(1)由题意可得，.又由所以椭圆的方程为；(2)当垂直轴时，，，所以.同理：当垂直轴时，当、均不垂直轴时，设的方程为，由，因为与互相垂直，由，当且仅当时，等号成立，所以.综上，的取值范围为13．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由所给等式建立a，c的关系式，再利用即可得解；（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立得B点坐标，再利用BF⊥HF，数量积为0，得H得坐标，从而得MH的方程，由MH与l得交点M的坐标，最后利用|，建立不等式可解．(1)设，由得，，可得，又，可得，，椭圆方程为：；(2)设直线的方程为，，，，由方程组得，，解得，或，由题意可知，进而得，由（1）知，，设，则，，由题意得，，解得，直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的横坐标，在中，由，得，得，，解得，或，故直线的斜率的取值范围为：．14．（2023·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，