第13讲 函数与方程-人教A版高中数学必修一练习（解析版）

第十三讲函数与方程一、选择题1．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)解析：易知函数f(x)＝x＋lgx－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，f(2)＝2＋lg2－3＜0，f(3)＝3＋lg3－3＞0，故函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.答案C2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是()①y＝3x2－2x＋5；②;③y＝eq\f(2,x)＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝eq\f(1,2)x2＋4x＋8.A．①②③ B．⑤C．①⑤ D．①④解析：⑤中y＝eq\f(1,2)x2＋4x＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.答案B3．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A．B． C． D．解析：设，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.由于一元二次方程的两根均大于，则，解得，因此，实数的取值范围是.答案C4．已知函数f（x）=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：x121.51.751.6251.6875f（x）-5.004.00-1.630.86-0.460.18则方程x3+2x-8=0的近似解可取为（精确度0.1）（）A．1.50 B．1.66 C．1.70 D．1.75解析：∵∴近似解可取为1.66，选B.答案B5．若函数的零点为，且，，则的值为（）.A． B． C． D．解析：因为函数在单调递增，因为，，，所以，所以.答案C6．若是方程的解，则属于区间()A． B．C． D．解析：令，则结合图象可得。答案C7．设函数，用二分法求的一个近似解时，第步确定了一个区间为，到第步时，求得的近似解所在的区间应该是（）A． B． C． D．解析：，，，第步所得零点所在区间为；取区间的中点，，因此，第步求得的近似解所在的区间应该是.答案C8．已知是函数的一个零点，若，则（）A．, B．,C．, D．,解析：因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当时,在下方,即；当时,在上方,即,答案B9．已知，若关于的方程有6个不等的实数根，则的值是（）.A．0 B．1 C．6 D．2解析：函数的图象如图所示，令，由题意可知：方程有两个不同的实数根，或，，由于，故，，令，所以.答案D10．已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．解析：令可得，作出函数与函数的图象如下图所示：由上图可知，当时，函数与函数的图象有个交点，此时，函数有个零点.因此，实数的取值范围是.答案D11．对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使函数在和上与x轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列函数中，不存在“界点”的是（）A． B．C． D．解析：A项中，，其对应二次方程的判别式，因此与轴有两个不同的交点，故有“界点”；B项中，，令，解得或，故有“界点”；C项中，，，则在上单调递增，因此与轴不可能有两个交点，故没有“界点”；D项中，，则2和4均为函数的零点，故有“界点”.答案C12．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由题意，作出函数的图像如下，由图像可得，，关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，有两个根，不妨设为；且，，又，。答案B13．已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（）A． B． C． D．解析：因为，可作函数图象如下所示：依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令，则，，即，所以，则，所以，，因为，在上单调递增，所以，即，答案B二、填空题14．若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.解析：令，得，由题意可知函数与的图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知，.答案15．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1.答案(1，＋∞)16．关于x的一元二次方程在区间上有实数解则实数m的取值范围为______.解析：关于的二次方程在区间，上有实根，，且，即，故函数的图象和直线在区间，上有交点．当时，在区间，上函数取得最小值为2，函数无最大值，，．答案三、解答题17．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．解析：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．答案（1）（2）18．已知二次函数时，求函数的最小值若函数有两个零点，在区间上只有一个零点，求实数取值范围解析：（1）函数对称轴为,当时，在单调递增，故时，在先减后增，故时，在单调递减，故。（2）函数，在区间上只有一个零点，∴，得.考虑边界情况：由，得，，或，满足，由，得，∴或，，综上，得。答案(1)(2)19．已知定义在上的函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2