第12讲 幂函数-人教A版高中数学必修一练习（解析版）

第十二讲幂函数一、选择题1．下列关于幂函数的结论，正确的是（）.A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象不经过第四象限C．幂函数为奇函数或偶函数 D．幂函数在其定义域内都有反函数解析：幂函数不过点，则A错误；当时，，则幂函数的图象不经过第四象限，则B正确；的定义域为，不关于原点或轴对称，则C错误；在内无反函数，则D错误；答案B2．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内()A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值解析：幂函数的图象经过点，，解得，，在递减，在递增，有最小值，无最大值。答案C3．设α∈{－2，－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，eq\f(1,3)，1,3.又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.答案A4．函数y＝x的图象大致是()解析：由于eq\f(5,3)>1，故可排除选项A，D.根据幂函数的性质可知，当α>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C，只有选项B正确．答案B5．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则()．A．B．m＝3C．m＝3或6D．m不存在解析：由幂函数的形式特征可知，m2－9m＋19＝1，即m2－9m＋18＝0，解得m＝3或m＝6.当m＝3时，y＝x－1的图像不过原点；当m＝6时，y＝x5的图像经过原点，所以m＝3.答案B6．有下列函数：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函数的有()．A．①B．①③C．①②D．②④解析：函数y＝x2－3|x|＋2的定义域R关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＋2＝x2－3|x|＋2＝f(x)，所以此函数是偶函数；函数y＝x2，x∈(－2,2]的定义域(－2,2]不关于原点对称，所以此函数不是偶函数；函数y＝x3的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝(－x)3＝－x3≠f(x)，所以此函数不是偶函数；函数y＝x－1的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝－x－1≠f(x)，所以此函数不是偶函数．答案A7．设,若,则（）A．2 B．4 C．6 D．8解析：由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.答案C8．函数fx=xa+b，不论a为何值fA．-1 B．1 C．2 D．3解析：因为不论a为何值幂函数y=xa的图象均过点不论a为何值fx的图象均过点1,1+b又因为不论a为何值fx的图象均过点m,0所以m=1且1+b=0，即b=−1，故选A.答案A9．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，则mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定解析：由题，，，所以，，，，，.答案A10．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．答案A11．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0 B．1C．2 D．3解析：∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．∴m＝1,故选B.答案B二、填空题12．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，则y＝x.由x＝3，得x＝9.答案913．已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.解析：依题意得，解得或．当时，，其图像经过原点，不符合题意；当时，，其图像不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3．答案314．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______。解析：当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，不满足题意，当时，幂函数和直线重合，不满足题意，当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，综上，。答案三、解答题15．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝eq\r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围.解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图象，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R.又g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．答案（1）（2）16．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.解析：因为.列表如下：x…-3-2-1123……11…描点，连线.图象如图所示.定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.证明如下：设任意的，且.则..，即，在上是增函数.设任意的，且，则.，，即.在上是减函数.，是偶函数.答案图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析17．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.解析：（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.又，因而或1或2