抛物线的简单几何性质讲义-高二上学期数学人教A版选择性

课题：抛物线的简单几何性质知识点一：抛物线的几何性质及其应用1．抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率焦半径焦点弦公式2．抛物线的几何性质：（1）范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．（3）顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．（4）焦点弦：抛物线的焦点弦，，，则．弦长|AB|=x1+x2+p，当x1=x2时，通径最短为2p．典例强化例1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）A．10B．8C．6D．4例2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（）A．（2，4）B．（2，±4）C．（1，）D．（1，±）例3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是__________．例4．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程例5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程举一反三1．已知为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．63．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（）A．B．C．D．3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为．4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程知识点二：抛物线焦点弦的有关问题1．焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则（1）x0+，（2），－p2．（3）弦长，，即当x1=x2时，通径最短为2p．（4）若AB的倾斜角为θ，则=（5）+=．2．弦长公式．3．点P（x0，y0）和抛物线的位置关系：（1）点P（x0，y0）在抛物线内y<2px0;（2）点P（x0，y0）在抛物线上y=2px0;（3）点P（x0，y0）在抛物线外y>2px04．直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．（1）直线与抛物线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．（2）直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．（3）这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线，圆锥曲线由消去y（或消去x）得：．①相交；②相离；③相切．当a=0时，直线与抛物线对称轴平行（重合），有一个公共点，是相交．要点诠释1．直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．2．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法：直线：抛物线，（1）联立方程法：；设交点坐标为，，则有，以及，还可进一步求出，．在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如：①相交弦AB的弦长：或②中点，，．（2）点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得；将两式相减，可得：．①在涉及斜率问题时，；②在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有【注意能用这个公式的条件：直线与抛物线有两个不同的交点，直线的斜率存在，且不等于零】典例强化例1．若直线过抛物线的焦点，并且与轴垂直，则直线被抛物线截得的线段长为．例2．设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于（）A．B．C．D．例3．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于A，B两点，若线段的长分别为，则等于（）A．B．C．D．例4．过抛物线焦点的一条直线交抛物线于P、Q两点，求证：过P、Q两点的切线互相垂直．举一反三1．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段的长分别为，则等于（）A．B．C．D．2．过圆锥曲线的一个焦点的直线交于两点，且以为直径的圆与相对应的准线相交，则曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都有可能3．过抛物线的焦点作倾角为的直线交抛物线于两点，使，过点作与轴垂直的直线交抛物线于点，则的面积是（）A．B．C．D．4．设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴．证明：直线经过原点．随堂基础巩固1．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （）A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=4x或y2=36x3．过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）A．2a B． C．4a D．5．抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．6．动直线y=a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．课时跟踪训练1．已知点P（6，y）在抛物线y2＝2px（p>0）上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于（）A．2B．1C．4D．82．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2eq\r(3)B．4C．6D．4eq\r(3)3．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－24．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝（）A．eq\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)5．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．7．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P（－1，0）且