高中数学暑假初高衔接讲义 对数

遍历山河，人间值得。第第页练习主题对数已知1个细胞经过x次分裂后，相应的细胞个数为y=.由此，若知道了分裂的次数x，就能求出分裂后相应的细胞数y.反过来，若知道了分裂后相应的细胞数y，怎样求出分裂的次数x呢?知识点一：对数的概念如果=N（a＞0，a≠1），那么就称b是以a为底N的对数，记作=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.由对数的定义可知，=N与b=两个等式所表示的是a、b、N这3个量之间的同一个关系，例如：32=9=2，==2例1、将下列指数式改写成对数式：（1）24=16；（2）3-3=；（3）5a=20；（4）=0.45例2、将下列对数式改写成指数式：（1）=3；（2）=-2；（3）=-1.699例3、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）通常将以10为底的对数称为常用对数，如，等.为了方便起见，对数简记为，如，等.在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数.e=2.71828…是一个无理数.正数N的自然对数一般简记为，如,分别记为，等.对应练习：1、将下列指数式改写成对数式：（1）35=243；（2）2-8=；（3）2x=10；（4）=122、将下列对数式改写成指数式：（1）=-4；（2）=4；（3）=0.4771；（4）=b3、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）为什么规定a＞0，a≠1呢?1、若a＜0,则当N为某些值时，b的值不存在.如b=不存在.2、若a=0，则（1）当N≠0时，b的值不存在.如(可理解为0的多少次幂是3)不存在.（2）当N=0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即有无数个值.3、若a=1，则（1）当N≠1时，b的值不存在.如不存在；（2）当N=1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值.因此规定a＞0，a≠1.例4、在对数式b=中，实数a的取值范围是.巩固练习：1、=a（b＞0，b≠1，N＞0）对应的指数式是（）A.ab=NB.ba=NC.=bD.=a2、若=1，则（）A.x=1B.a=1C.x=aD.x=103、若=25，则x的值等于（）A.10B.13C.100D.±1004、（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（）A.=1与=0B.=2与=3C.=与=D.=1与=75、若=m，=n，则=.6、已知=2，=a，则x=.7、计算：=.8、使式子有意义的x的取值范围是.知识点二：对数的运算我们知道，指数幂运算有下列性质：，=，根据对数的定义，有：=b=N（a＞0，a≠1，N＞0）那么，对数运算也有相应的性质吗？设：M=，N=，于是MN=由对数的定义得：=s，=t，=s+t，因此：=+一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：=+，=-=n其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R.例1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）+；（4）-（5）+；（6）+·；例2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数）（1）；（2）；（3）对应练习：1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数）（1）；（2）；（3）；（4）.3、设=a，=b，试着用a、b表示下列各对数：（1）；（2）知识点三：换底公式，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1.特别提醒（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明.（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数.几个常用的推论：（1）·=1，次公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数；（2）··=1；（3）=，次公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍.例1、求下列各式的值：（1）×；（2）··对应练习：1、×=.2、计算：=.3、若··=2，则x=.巩固练习：1、（多选）以下运算错误的是（）A.×=B.=C.+=D.-=2、已知a＞0且a≠1，则=（）A.0B.C.1D.23、化简-的结果为（）A.B.C.D.4、（多选）下列运算错误的是（）A.+=2B.··=C.+=10