2023-2024学年九年级上开学考试数学试卷（附答案）

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.V12B.C.V03

2.某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛,

在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是98分,甲的成绩的方差是0.2,乙的成

绩的方差是0.8.根据以上数据，下列说法正确的是（)

A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定

C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

3.下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（)

A.2,V5B.3,4,5

C.0.6,0.8,1D.130,120,50

4.一次函数>=-％-2的图象不经过（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.某超市销售A,B,C,。四种矿泉水,它们的单价依次是5元、4元、3元、2元.某天

的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（)

2.85元C.3.157CD.3.55元

6.平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可以是)

A.8cm和14cmB.10cm和14cm

C.18cm和20cmD.10cm和34cm

7.如图，函数y=2x和y=〃x+4的图象相交于点A（m,3）,则不等式2x>〃x+4的解集为

()

y

33

A.尤V]B.x<3C.x>|D.x>3

8.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AQ_LBC于。，E为A。上任一点，贝UCE?-BE?

C.4D.5

9.如图，矩形ABC。中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB,CD交于点、E,F,连

接2尸交AC于点M,连接DE,B0.若NCO8=60°,FO=FC,则下列结论：

®FB±OC,OM^CM-,②AEOB会4CMB；

③四边形即如是菱形；④MB：OE=3：2.

C.3D.4

10.如图，折叠矩形ABC。的一边AD,使点。落在2C边上的点P处，折痕为AE,若BC

=5cm,AB=3cm,则EC的长（）

C.1.3cmD.1.5cm

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.如果最简二次根式，2024-2023m与，2023-2024m能够合并为一项,那么m的值

为_________

「2021%—4042>0

12.已知一组数据2,9,6,10,尤的众数是x,其中x又是不等式组的

（14-2（%-3）>0

整数解，则这组数据的中位数是.

13.若方程组片?丁的解是匕=；\则直线y=-2x+b与直线的交点坐标

是.

14.四边形A3C。中，AD//BC,AB//CD,要使四边形是矩形，还需满足的条件可

以为（只需填一个你认为合适的条件即可）.

15.如图.正方形ABCD的边长为6.点E,尸分别在AB,AD上.若CE=34，MZECF

=45°,则CF的长为.

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

16.（10分）（1）计算：（V5+1）（V3-1）+遥+企.

（2）先化简’再求值：（^一号！）一岩’其中2.

17.(8分)张老师为了从班里数学比较优秀的甲、乙两位同学中选拔一人参加“全国初中

数学联赛”，对他们两人进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学的测验

成绩(单位：分)记录如下：

表1

第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

甲688078928177848379

乙807583757779808085

利用表中提供的数据，解答下列问题.

(1)填写完成表格:

表2

平均成绩中位数众数

甲8079.5

乙8080

(2)张老师从测验成绩记录中，求得甲同学10次测验成绩的方差5备=332请你帮助

张老师计算乙同学次测验成绩的方差

10S乙)

(3)请根据上面的信息，运用所学的统计知识帮助张老师做出选择，并简要说明理由.

18.(8分)已知平面直角坐标系内有两点尸1(xi,yi),Pi(12,>2).

(1)若|尸1尸2|表示这两点间的距离，求证：|尸1尸2|=—％2)2+(%-丫2)2.

(2)试判断点A(4,-4),8(-1,5),C(2,1)是否构成直角三角形.

19.（8分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔

袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔

袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格.

20.（8分）如图，在四边形A8CZ）中，AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,

D4的中点，求成；2+万日2的值.

21.（9分）在平面直角坐标系中，菱形A3。的位置如图所示，点A的坐标为（-2,0）,

点2的坐标为（2,0）,点。在y轴上，ZDAB=60°.

（1）求点C和点。的坐标.

（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标.

22.（12分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在汉江堤坡种植白杨树，现甲、乙

两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下:

甲林场

购树苗数量销售单价

不超过1000棵时4元/棵

超过1000棵的部分3.8元/棵

乙林场

购树苗数量销售单价

不超过2000棵时4元/棵

超过2000棵的部分3.6元/棵

设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）.

（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为元，若

都在乙林场购买所需费用为元；

（2）当x>2000时，分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；

（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？

23.（12分）如图，在正方形4BC。中，E是对角线8。上一动点，连接AE,将。E绕点。

逆时针旋转90°至IJDP,连接BR交。C于点G.

(1)当E是对角线8。的中点时，连接EF求证：四边形AOFE是平行四边形.

(2)探究：当E不是对角线8。的中点时，连接EF,四边形AOFE是平行四边形吗?

写出探究过程.

(3)若。C=2,连接C尸，直接写出线段CP和CG的长的范围.

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.V12B.J|C.V03D.V7

解：A、V12=2/,不是最简二次根式，故本选项错误；

B、J|=|V6,不是最简二次根式，故本选项错误；

C、Vo3=^V3O,不是最简二次根式，故本选项错误；

D、行是最简二次根式，故本选项正确；

故选：D.

2.某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛,

在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是98分，甲的成绩的方差是0.2,乙的成

绩的方差是0.8.根据以上数据，下列说法正确的是（）

A.甲的成绩比乙的成绩稳定

B.乙的成绩比甲的成绩稳定

C.甲、乙两人的成绩一样稳定

D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

解：•甲的成绩的方差是0.2,乙的成绩的方差是0.8,0.2<0.8,

甲的成绩比乙的成绩稳定.

故选：A.

3.下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（）

A.V3,2,V5B.3,4,5

C.0.6,0.8,1D.130,120,50

解：V（V3）2+2V（V5）2,.•.不能构成直角三角形，符合题意；

8、：32+42=52,.•.能构成直角三角形，不符合题意；

C、,.,0.62+0.82=12,.•.能构成直角三角形，不符合题意；

。、：5。2+12。2=1302,.•.能构成直角三角形，不符合题意.

故选：A.

4.一次函数y=-x-2的图象不经过（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：：一次函数y=-x-2,k=-KO,b=-2<0,

.•.该函数图象不经过第一象限，

故选：A.

5.某超市销售A,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元.某天

的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A.2.8元B.2.85元C.3.15元D.3.55元

解：5X10%+4X15%+3X55%+2X20%=3.15（元），

故选：C.

6.平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可以是（）

A.8cm和14cmB.10cm和14cm

C.18cm和20cmD.10cm34cm

解：：四边形ABC。是平行四边形，

:.AO^CO=|AC,BO=DO=^BD,

A、AO=4cm,BO—1cm,

'：AB=ncm,

・•・在△A03中，AO+BO<AB,不符合三角形三边关系定理，故本选项错误;

B、AO=5cm,BO=7cm,

u：AB=12cm,

・••在△A05中，AO^BO=AB,不符合三角形三边关系定理，故本选项错误;

C、AO=9cm,BO=lOcm,

\9AB=12cm,

・••在△A05中，AO+BO>AB,AB+AO>BO,OB+AB>AO,符合三角形三边关系定理,

故本选项正确；

D、A0=5cmfBO=17cmf

9：AB=ncm,

・••在aAOB中，AO+AB=BO,不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；

故选：C.

7.如图，函数y=2x和y=ox+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x>〃%+4的解集为

三

3

A.xV)B.x<3C.x>^D.x>3

解：把A(m,3)代入y=2x,得：2nl=3,解得：m——•

根据图象可得：不等式2x>〃%+4的解集是：x>|.

故选：C.

8.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AZ)_LBC于O,E为AZ)上任一点，则CE2-5E2

=()

A

/X

BDC

A.1B.2C.4D.5

解：在RtaAB。和RtZVIOC中，

BD1=AB1-AD1,CD2^AC2-AD1,

在RtABDE和RtACDE中，

BE1=BD2+ED2=AB2-ADr+ED1,EC1=CD1+ED1=AC1-AD2+ED2,

:.Ed1-金=(xc2-AD2+ED2)-(AB2-AD2+ED2)

=AC2-AB2

=32-22

—5.

故选：D.

9.如图，矩形ABC。中，。为AC中点，过点。的直线分别与48,CD交于点、E,F,连

接8尸交AC于点M,连接DE,B0.若NCO8=60°,FO=FC,则下列结论：

①尸3_L0C,OM^CM；

②4EOB%ACMB；

③四边形是菱形；

@MB：。£=3：2.

解：连接8。，

:四边形ABC。是矩形，

：.AC=BD,AC、8。互相平分，

：。为AC中点，

也过。点，

：.OB=OC,

'：ZCOB=60°,OB=OC,

...△08C是等边三角形，

OB=BC=OC,ZOBC=60°,

在AOBF与ACBF中

FO=FC

BF=BF

OB=BC

:.AOBF名ACBF(SSS),

AOBF与ACBF关于直线BF对称,

：.FB±OC,OM=CM；

・••①正确，

VZ(?BC=60°,

AZABO=30°,

VAOBF^ACBF,

：.ZOBM=ZCBM=30°,

NABO=NOBF,

\9AB//CD,

：.ZOCF=ZOAE,

*：OA=OC,

易证AAOE之△COR

：・OE=OF,

：.OB±EFf

・・・四边形胡正。是菱形，

・••③正确，

AEOB名AFOB名AFCB,

：.AEOB^ACMB错误.

・••②错误，

*：ZOMB=ZBOF=9Q°,NOB/=30°,

:.MB=*OF=噂,

V3V3

T~2

•：OE=OF,

：.MB：OE=3：2,

・••④正确；

故选：C.

10.如图，折叠矩形ABC。的一边A。，使点。落在边上的点尸处，折痕为AE,若BC

=5cm,AB=3cm,则EC的长()

AD

E

BFC

54

A.—cmB.-cmC.1.3cmD.1.5cm

43

解：由折叠的性质可知，AF=AD=BC=5cmf

在RtAABF中，BF=yjAF2-AB2=V52-32=4(cm),

：.FC=BC-BF=5-4=1(cm),

设EF=xcm,则/=xon,CE=(3-x)cm,

在Rt/XCEF中，EF2^CE2+FC2,

即/=(3-无)2+l2,

5

-

，

3

54

-

一--

3-33(cm).

故选：B.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.如果最简二次根式，2024-2023m与V2023-2024僧能够合并为一项,那么根的值为

-1.

解：由题意得：2024-2023m=2023-2024m,

解得：m--1,

故答案为：-1.

12已知一组数据2'%67°'x的众数是X,其中'又是不等式组L-2。一刃〉。的

整数解，则这组数据的中位数是6或9

AR（2021%-4042>0

解：，

114-2（%-3）>0

解不等式2021尤-4042x>0,得x>2,

解不等式14-2（x-3）>0,得x<10,

不等式组的解集为2<x<10,

不等式组的整数解是3、4、5、6,7、8、9,

:一组数据2,9,6,10,x的众数是x,

；.x=6或9,

这组数据的中位数是6或9.

故答案为：6或9.

13.若方程组二°的解是后1-1,则直线y=-2x+b与直线y=x-a的交点坐标是

（-1,3）.

解：因为方程组产?丁的解是

（x—y=a（y=3

所以直线y=-2r+b与直线y=x-a的交点坐标是（-1,3）,

故答案为：（-1,3）,

14.四边形ABC。中，AD//BC,AB//CD,要使四边形A8CZ）是矩形，还需满足的条件可

以为NA=90°（答案不唯一）.（只需填一个你认为合适的条件即可）.

解：'：AD//BC,AB//CD,

四边形ABCD为平行四边形，

要使四边形ABC。为矩形，

如果根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，还需满足的条件为/A=90°；

如果根据对角线相等的平行四边形是矩形，还需满足的条件为AC=BD.

还需满足的条件为/A=90°或AC=BD

故答案为：ZA=90°（答案不唯一）.

15.如图.正方形ABC。的边长为6.点E,尸分别在AB,AD1..若CE=3有，S.ZECF

=45°,则CF的长为2同.

解：如图，延长尸。到G,使OG=5E；

连接CG、EF；

・・•四边形A3CD为正方形,

CB=CD

在△BCE与△DCG中，jzCBE=^CDG,

BE=DG

・••△BCEQADCG(SAS),

:.CG=CE,/DCG=NBCE,

：.ZGCF=45°,

在△GC尸与△EC尸中，

GC=EC

乙GCF=乙ECF,

CF=CF

.'.△GCF^AECF(SAS),

：.GF=EF,

,:CE=3痘,CB=6,

：.BE=yJCE2-CB2=J(3V5)2-62=3,

：.AE=3,

设AF=x,则ZZF=6-x,GF=3+(6-x)=9-x,

EF=y/AE2+x2=V9+x2,

(9-x)2=9+/,

；・x=4,

即AF=4,

：.GF=5,

：.DF=2f

：.CF=y/CD2+DF2=V62+22=2V10,

故答案为：2V10.

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

16.(10分)(1)计算：(遮+1)(V3-1)+V6-V2.

（2）先化简’再求值：3一七+岩’其中户a-2.

解：（1）原式=3-1+V3

=2+V3；

x+l-x+1(x+l)(x-l)

（2）原式=

(x+l)(x-l)x+2

_2____•-(--x--+--l--)-(--x----l--)

一(x+l)(x—1)x+2

_2

=x+2f

当》=我一2时’原式=万条=专=企.

17.（8分）张老师为了从班里数学比较优秀的甲、乙两位同学中选拔一人参加“全国初中

数学联赛”，对他们两人进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学的测验

成绩（单位：分）记录如下：

表1

第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

甲688078928177848379

乙807583757779808085

利用表中提供的数据，解答下列问题.

（1）填写完成表格：

表2

平均成绩中位数众数

甲8079.5

乙8080

(2)张老师从测验成绩记录中，求得甲同学10次测验成绩的方差S*=332请你帮助

张老师计算乙同学10次测验成绩的方差S，

(3)请根据上面的信息，运用所学的统计知识帮助张老师做出选择，并简要说明理由.

解：(1)乙第1次测验成绩：80X10-(80+75+83+85+77+79+80+80+75)=86,

甲中78出现的次数最多，故众数为78；

乙中数据从小到大排列，第5、6位都是80,故中位数为80；

(2)S乙2=忐(86-80)2+2*(75-80)2+3X(80-80)2+(83-80)2+(85-80)

2+(77-80)2+(79-80)2]

1

=y^X130

=13；

(3)甲、乙的平均成绩、中位数和众数都很接近，因为S乙2<s用2,所以乙的成绩比较

稳定，应该选拔乙.

18.(8分)己知平面直角坐标系内有两点尸1(XI,>1),Pl(X2,>2).

(1)若IP1P2I表示这两点间的距离，求证：|21尸2|=-盯)2+(为一%)2.

(2)试判断点A(4,-4),8(-1,5),C(2,1)是否构成直角三角形.

(1)证明：如图所示，构造直角三角形P1P2。，则--泗,PiQ=\xi-%2|,

22X-X2-2

由勾股定理可得：P1P1-y/P2Q+P1Q-7(12)+(71Y2)-

\AB\=7(-1-4)2+(-4-5)2=V106，\BC\=7(-1-2)2+(5-l)2=V25,\AC\二

V(4-2)2+(-4-l)2=V29,

:.BC2+AC2^AB2,

它们不能构成直角三角形.

19.（8分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔

袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔

袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格.

解：设每个笔记本的价格为x元，则每个笔袋的价格为（尤+3）元，

一200350

由题忌得，---=----，

xx+3

解得尤=4,

经检验，x=4是分式方程的解，

所以，x+3=4+3=7,

答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元.

20.（8分）如图，在四边形ABC。中，AC=BD=6,E,F,G,X分别是48,BC,CD,

D4的中点，求成;2+万日2的值.

解：如图，连接ERFG,GH,EH,

■:E、H分别是A3、的中点,

:.EH是AABD的中位线,

：.EH=尹。=3,

同理可得ERFG,GH分别是△ABC,ABCD,△AC。的中位线,

11

EF=GH=加C=3,FG=~BD=3,

EH=EF=GH=FG=3,

.•.四边形灰GX为菱形,

C.EGLHF,且垂足为O,

：.EG=2OE,FH=2OH,

在RtZiOEH中，根据勾股定理得：oF+o序=石好2=9,

等式两边同时乘以4得：4O£2+4O//2=9X4=36,

(2OE)2+(20//)2=36,

即E(fi+F)=36.

21.（9分）在平面直角坐标系中，菱形ABC。的位置如图所示，点A的坐标为（-2,0）,

点B的坐标为（2,0）,点。在y轴上，ZDAB=60°.

（1）求点C和点。的坐标.

（2）点尸是对角线AC上一个动点，当OP+8P最短时，求点尸的坐标.

解：(1):点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(2,0),

：.AB=4,

•.•四边形ABC。是菱形，

.•.AB=AD=CD=BC=4,CD//AB,

在中，OO=AZ>sin60°=2百，

：.D(0,2V3),C(4,2V3).

(2)•••四边形ABC。是菱形，

:.B、。关于直线AC对称，设。。交AC于尸，此时。尸+PB的值最小,

:P'O+P'B=P'D+P'O>OD,

即P'0+P'B=P'D+P'O>OP+PB.

1

在RtZXAO尸中，VZB4O=^ZZ)AB=30°,

・,・0尸=O4・tan30°=寺

22.（12分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在汉江堤坡种植白杨树，现甲、乙

两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：

甲林场

购树苗数量销售单价

不超过1000棵时4元/棵

超过1000棵的部分3.8元/棵

乙林场

购树苗数量销售单价

不超过2000棵时4元/棵