《高等数学上册 第2版》 课件 D6-3物理应用

第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的压力定积分在物理上的应用第六章机动

目录上页下页返回结束利用元素法求总量U的步骤：第二步在[a,b]内任取一个典型小区间[x,x+dx]，U的元素（微元）第三步的近似值第一步选取积分变量（如x），确定积分区间（如[a,b]）“以常代变”计算相应于[x,x+dx]上部分量机动

目录上页下页返回结束一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间

上所作的功为机动

目录上页下页返回结束例1.一端固定，的力，解:（1）从100cm长压缩为90cm长求外力各做多少功。压缩另一端，设有一弹簧，原长100cm。今欲将弹簧（2）从70cm长压缩为60cm长由虎克定律，弹性力为（l为压缩量，k为倔强系数）由题目条件：弹性力：如果每压缩1cm需要0.05牛顿机动

目录上页下页返回结束（1）建立如图所示坐标系压缩方向0.10.1取x

为积分变量，则积分区间为[0,0.1]任取力：距离：功的元素：（焦耳）如果取弹簧上固定端为坐标原点机动

目录上页下页返回结束又解将坐标原点取在固定端处建立坐标系压缩方向取x

为积分变量，则积分区间为任取力：距离：功的元素：（焦耳）注意：随着坐标系建立的不同，微元的形式也不同，但结果是相同的，恰当地建立坐标系机动

目录上页下页返回结束（2）建立如图所示坐标系压缩方向0.3取x

为积分变量，则积分区间为[0.3,0.4]任取力：距离：功的元素：（焦耳）两种情况下同样是压缩10cm，0.40.30.4，导致所做的功是7倍的关系但由于力的大小不同机动

目录上页下页返回结束解决变力做功问题的分析方法：选取x

为积分变量，确定积分区间（2）在所考虑的区间内任取x

位置下的力移动的距离功的微元（1）建立坐标系，，在原题的背景下找出（3）将功的微元作积分机动

目录上页下页返回结束例2.定量的气体,求移动过程中气体压力所作的功。解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),建立坐标系如图.压强p

与体积V

成反比,即作用在活塞上的力：所求功为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一活塞移动的距离：机动

目录上页下页返回结束例3.（2）要把容器中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐标系如图重力一容器是由抛物线y=x2绕其轴旋转一周而成，（1）容器的容积0.4（1）（2）任取，针对一薄层水力：距离：已知容器深为0.4m，求机动

目录上页下页返回结束面积为A的平板二、液体的压力设液体密度为

深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••求压力的关键是：求深度和面积机动

目录上页下页返回结束例4.密度为

的液体,

解:

建立坐标系如图.所论半圆的压力元素：方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶求桶的一个端面所受的压力.任取，考虑小块受的压力液面下的深度：面积：R0机动

目录上页下页返回结束解决压力问题的分析方法：（x

轴正向向下，y

轴的确定积分区间（2）在所考虑的区间内任取x

位置在液面下的深度小块薄片的面积压力的微元（1）建立坐标系，在原题的背景下找出（3）将压力的微元作积分选取x

为积分变量，选取使原点在图形的对称中心），机动

目录上页下页返回结束例5.如例4，当桶内充满液体时,奇函数求桶的一个端面所受的压力.解:

建立坐标系如图.圆的方程为任取液面下的深度：面积：RR机动

目录上页下页返回结束例6.一块高为b，底为

a的三角形薄片垂直沉没在密度为求薄片一侧所受的压力。

解:

建立坐标系如图.任取液面下的深度：面积：的液体中，已知顶在下，底与液面平行且相距h

，设小矩形一边长为k，则由相似三角形关系，所以b0b0机动

目录上页下页返回结束思考与练习提示:

作x轴如图.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x

提升dx

所作的功为

米重50N,机动

目录上页下页返回结束提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,

污泥以