八年级下册 第一章第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)（解析版）

第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一共顶点的等边三角形】 1【类型二共顶点的等腰直角三角形】 10【类型三共顶点的一般等腰三角形】 18【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点．(1)求证：(2)连接，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明，即可得证；（2）由（1）可得，继而得到，证明，得，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵与为等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；∴；（2）为等边三角形．理由：∵，，∴，∵，即，在和中，，∴∴，∵，∴是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中．(1)求证：；(2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；(3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由“”可证，可得；（3）如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）证明：和是等边三角形，，，，，在和中，，，；（2）证明：，，点在线段上，，，在和中，，，；（3）解：如图3，过点作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分；(3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，理由见解析．【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可；（）过点分别作，，垂足为点，，由得到，从而，故有，根据角平分线判定即可求证；（）在上截取一点，使得，证明是等边三角形，即可证明，从而得证．【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴（2）如图，过点分别作，，垂足为点，，由（）知：，，∴，∴，∴，∴点在的平分线上，即平分；（3），理由：如图，在上截取一点，使得，由（）知：，∴，∴，在中，，∴由（）得：平分，∴，∴是等边三角形，又是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解答的关键．3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知是等边三角形，为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．(1)如图1，当点在边上时，连接，此时，，之间的数量关系为______，______；(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点在射线上运动时，取的中点，连接，当的值最小时，请直接写出的度数．【答案】(1)；(2)不成立，，证明见解析(3)【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，可得，，即可得到，，之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明，可得，，之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，取的中点，连接，根据，证明，则可得，当时，取最小值，则此时也去最小值，即可求得此时的值，见手拉手模型则考虑证全等，将转换到中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：是等边三角形，是等边三角形，，，，，即，在与中，，，，，，即，故答案为：；；（2）不成立，，证明如下：证明：是等边三角形，是等边三角形，，，，，即，在与中，，，，，即；（3）解：如图，连接，取的中点，连接，根据（1）中原理，可得，，，点是的中点，点是的中点，，在与中，，，，当时，取最小值，此时也取得最小值，此时，故当的值最小时，的度数为．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)，(2)，，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵点D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延长，分别交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1），；（2），；理由见解析【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题；（2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O，∵和均为等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案为：，．（2），；理由如下：如图2中，∵和均为等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，为斜边上的高，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．

【答案】（1）见解析；（2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由见解析；（3）；，理由见解析【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得BC=BD+CD=CE+CD成立；（2）同样证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得成立，故BC=CE+CD不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可作出结论：；．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴

∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∴BC=BD+CD=CE+CD（2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：又∵AB=AC，AD=AE（3）；；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，即，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解答的关键．3．（2023春·全国·七年级期中）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得结论．（3）如图3中，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图中，，，，在和中，，≌，，，，，，；（2）如图中，过点作于．同理可得：≌，，，，，，在和中，，≌，，，，，；（3）如图中，结论：．理由：如图过点作交的延长线于，，，，，同理：≌，，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC上的高AH叫做的“余高”．(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是．①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：．(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．【答案】(1)是(2)见详解(3)5【分析】（1）根据题意可得，，四边形内角和为，求出即可证明．（2）①用直尺和圆规作出，如图；②过点A作，证明即可证明结论．（3）过点A作，根据（2）可知，再根据勾股定理可得．【详解】（1）∵与互为“底余等腰三角形”，∴，，∴，∵四边形内角和是，∴，∴，∴与互为“底余等腰三角形”；故答案为：是．（2）①用直尺和圆规作出，如图，②过点A作，∵，，∴，又∵，，∴∴又∵∴（3）过点A作，根据等腰三角形的性质可得：∴根据（2）可知，根据勾股定理可得．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形全等，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和三角形全等的判定．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵、是等边三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE与△DAC中，∵，∴．∴．（2）①当，时，成立．理由：如图，∵，，，

∴，∴；②当，时，不成立．理由：如图，∵，

∴，，∴与不全等，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．【答案】(1)，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数；（3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立．【详解】（1）．理由：因为和是“同源三角形”，所以，所以．在和中，所以．所以．（2）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案为：45；

（3）由（