2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

1.（4分）下列各数中，是无理数的是（）

3.（4分）满足下列条件中的△A8C,不是直角三角形的是（）

A./=/-c2B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=3：4：5D.a：h：c=7：24：25

4.（4分）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2>/3-V3=2c.V2xV3=V6D.\fl24-3=2

5.（4分）己知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（）

A.k>0,b>0B.k>0,h<0C.k<0,b>0D.k<0,h<0

6.（4分）己知二元一次方程组则的值为（）

1x+3y=l

A.2B.6C.-2D.-6

7.（4分）若点Pi（a-1,2）和P2（3,b-1）关于x轴对称，则（a+8）2°24的值为（）

2024

A.-32024B.1C.32024D.5

8.（4分）如图，在△ABC中，NBAC和NABC的平分线交于点。，连接OC,若

BC^Wcm,△A8O的面积为18c7/,则△BOC的面积为（）

2C.21cm2D.30cm2

9.（4分）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案,

已知A（-3,9）,则点8的坐标为（

B

A.（-10,6）B.（-10,7）C.（-9,6）D.（-9,5）

10.（4分）一次函数/i：y=-2x+4,b：y=kx-k（k>0）,点M（a,b）是h,及与x轴

围成的三角形内一点（含边界），令S=a+b,S的最大值为反，则上的值为（）

2

A.AB.1C.3D.2

22

二、填空题（共6小题，每小题4分,满分24分.填空题请直接填写答案.）

11.（4分）9的算术平方根是.

12.（4分）甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为9.5米，方差分别为

S咨=0.2,S好0.031则成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）•

13.（4分）如图，直线y=-x+3与y=/wx+〃交点的横坐标为1,则关于x、y的二元一次方

程组Jy=mxtn的解为_______________________

ly=-x+3

14.（4分）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,线段A3的垂直平分线分别交

15.（4分）如图，在一个长方形草坪ABC。上，放着一根长方体的木块.已知40=6米，

A8=5米，该木块的较长边与A。平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A

爬过木块到达C处需要走的最短路程是米.

16.（4分）如图，等腰Rtz^48C,ZB=90°,A8=6,点。为边AB上一点，80=2,点

E为边AC上一点，连结。E,将QE绕点。逆时针旋转90°得到OF,连结AF,BF,

则AF+BF的最小值为.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17.（8分）计算：

（1）V27-VT2W16；

（2）国平心xV8.

V3

18.（6分）用适当的方法解二元一次方程组：

（2x-y=3

1x+y=6

19.（6分）已知：如图，ZA=ZD=90°,AC=BD.求证：OB=OC.

20.（6分）在平面直角坐标系中，AABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位

长度的正方形）.

（1）将AABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△AiBiG，画出平

移后得到的△48iCi；

（2）将aABC绕着点A顺时针旋转90°,旋转后得到的AAB2c2，则点«2的坐标

为；点C2的坐标为

yjk

21.（8分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着

一代又一代中国人.今年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心

捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表,

根据统计表回答下面的问题：

学生捐款金额条形统计图学生捐款金额扇形统计图

（1）本次共抽取了名学生的捐款；

（2）补全条形统计图；

（3）本次抽取样本学生捐款的众数是元，中位数是元；

（4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额.

22.（8分）某教育科技公司销售A,B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示:

AB

进价（万元/套）32.4

售价（万元/套）3.32.8

（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技

公司计划购进A,8两种多媒体各多少套？

（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体机套（10W

机W20),当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利

润，最大利润是多少万元?

23.(10分)现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(min)之间的

函数关系如图所示，A品牌收费为yi，B品牌收费为”.

(1)直接写出4品牌收费方式对应的函数关系式为;

(2)求8品牌在当10时间段内，y与x之间的函数关系式；

(3)当x>10时，求出两种收费相差0.5元时x的值.

24.(10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.数学兴趣小组的同学们在

老师的带领下开展了对垂美四边形的研究.

(1)【概念理解】如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD

(填“是”或“不是”)垂美四边形.

(2)【性质探究】如图1,四边形A8C。的对角线AC、BO交于点O,AC_LBD小莹利

用勾股定理的知识探索出四边形ABCD的四条边具有以下数量关系：AB2+CD2=

ADKBC2,请判断小莹的结论是否正确，并说明理由.

(3)【问题解决】如图3,分别以Rt^ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角

三角形ACE和等腰直角三角形A8。，使得/BAD=/CAE=90°,AB=A£>,AC=AE,

连接CD,BE,DE,已知BC=3,AC=4,请直接写出DE的值.

轴交于C,。两点，C(-2,0),两直线交于点E；

(1)求的值及E点坐标；

(2)点P在直线CD上，连结OE,若S&POE=SABOE，求出点尸坐标；

(3)点M在坐标轴上，点N在直线。上，若线段MN被直线AB垂直平分，请直接写

出N点坐标.

(备用图)

26.(12分)数学课上，老师提出一个问题：如图1,已知等腰直角△ABC,AB=AC,等腰

直角△(：£>£：,DC=DE,连结BE,F为BE中点、,连结AF,DF,请探究线段4凡DF之

间的关系.

小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用.请帮助他完成：

(1)如图1,延长4F至A，，使得AF=A'F,连结A'E,则线段A3与线段A'E的数

量关系为，位置关系为;

(2)如图2,延长交BA延长线于点G,连结AO,A'。.小明的思路是先证明△

ACD^AA,ED,进而得出AO与A'。的关系，再继续探究.请判断线段AF,OF之间

的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程.

(3)方法运用：如图3,等边△ABC与等边△OEC,点。，E在△ABC外部.AB=4,

DE=2«，连结8D，点尸为8。中点，连结4凡BE,若A尸=3,请直接写出BE的值.

图1图2图3

2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

1.（4分）下列各数中，是无理数的是（）

A.yB.3.14C.0D.—

2

【解答】解：a=2,0是整数，3.14是小数，它们都不是无理数；

也是无理数；

2

故选：D.

2.（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

B.图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；

C.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故。不符合题意.

故选：B.

3.（4分）满足下列条件中的△A8C,不是直角三角形的是（）

A.c^—tr-c2B.ZA-ZB—ZC

C.ZA：ZB：NC=3：4：5D.a：b：c=7：24：25

【解答】解：A、〃2+‘2=廿，能构成直角三角形，故正确；

B、根据三角形内角和定理可求出NA为90度，能构成直角三角形，故正确；

C、根据内角和定理求出三个角分别为：45°,60°,75°,不能构成直角三角形，故错

误；

D、有“2+房=’2,能构成直角三角形，故正确.

故选：C.

4.（4分）下列计算正确的是（）

A.V2-h/3=V5B.273-73=2C.&/D.氏+3=2

【解答】解：&与依无法合并，则A不符合题意；

2百-通=通，则8不符合题意；

加X百川2乂3=五，则C符合题意；

任+3=返_=2近，则。不符合题意；

33

故选：C.

5.（4分）已知一次函数y="+b的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（）

A.k>0,h>0B.k>0,h<0C.k<0,h>0D.k<0,b<0

【解答】解：,••一次函数>=丘+6的图象经过第二，三，四象限，

：.k<0,b<0,

故选：D.

6.（4分）已知二元一次方程组（^^咤，贝Ux-y的值为（）

（x+3y=l

A.2B.6C.-2D.-6

【解答】解:俨刊=52

lx+3y=l②

①-②得：2x-2y=4,

贝ijx-y—2,

故选：A.

7.（4分）若点Pi（a-1,2）和P2（3,b-l）关于x轴对称，则（〃+〃）？°24的值为（）

A.-32024B.1C.32024D.52024

【解答】解：•.•点P（4-1,2）和P2（3,b-l）关于x轴对称，

••a-1=3,/?-1=-2,

解得：〃=4,b=-1,

则（a+b）2024=32024.

故选：C.

8.（4分）如图，在△ABC中，NBAC和NA8C的平分线交于点O,连接OC,若AB=6cm,

BC=10cm,/XAB。的面积为18a〃2,则△BOC的面积为（）

A

2C.21cm1D.30C/H2

【解答】解：过。点作于。点，OELBC于E点,如图,

・・・。5平分NA5C,

：.OD=OE,

**•S^BOC-SAABO=BC：AB,

9：AB=6cm,BC=10cm,ZVIBO的面积为18cm2,

S/\BOC'18=10：6,

S&BOC-30(cm2).

故选：D.

9.（4分）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案,

【解答】解：设每个长方形纸片的宽为x,长为y,

由题意得：1y-x=3,

I2x+y=9

解得：fx=2,

1y=5

・••点8的横坐标为：-2y=-2X5=-10,纵坐标为：x+y=2+5=7,

即点B的坐标为（-10,7）,

故选:B.

10.（4分）一次函数/1：y—-2x+4,fe：y—kx-k（%>0）,点M（a,b）是h，，2与X轴

围成的三角形内一点（含边界），令S=a+b,S的最大值为则女的值为（)

2

A.AB.1C.3D.2

22

【解答】解：由一次函数A：y=-2x+4可知与x轴的交点为（2,0）,由力：y=kx-k

（k>0）可知与x轴的交点为（1,0）,

；.lWaW2,

由题意可知点M（a,b）在交点P处时，S的值最大，

:・b=~2〃+4,

.,.S—a-2a+4=—,

2

解得。=3,

2

交点坐标为（3,1）,

2

代入得，l=Wk-k,

2

解得k=2,

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）

11.（4分）9的算术平方根是3.

【解答】解：V32=9,

；.9的算术平方根是3,

故答案为：3.

12.（4分）甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为9.5米，方差分别为

S咨=0.2,S好0.03,则成绩比较稳定的是乙（填''甲"或"乙”）.

【解答】解：S咨=0.2,S”0.03,

甲2>5乙2,

二成绩比较稳定的是乙，

故答案为：乙.

13.（4分）如图，直线y=-x+3与y=/nx+〃交点的横坐标为1,则关于x、y的二元一次方

程组卜=皿k的解为（x=l_

[y=-x+3Iy=2

【解答】解：•••直线>=-x+3与y=〃?x+〃交点的横坐标为1,

.♦.纵坐标为y=-1+3=2,

.•.两直线交点坐标（1,2）,

二关于x,y的方程组产1nx切的解为fx=l,

|y=-x+31y=2

故答案为：[x=l.

Iy=2

14.（4分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,N4=30°,线段48的垂直平分线分别交

AC,AB于点D,E,连接BD.若C£>=4,则AD的长为8.

：.AD=BD,

：.NA=NABD,

VZA=3O°,

AZABD=30°,

：.ZBDC=ZA+ZABD=30°+30°=60°,

VZC=90°,

.../C8O=30°,

"：CD=4,

：.BD=2CD=S,

：.AD=S.

故答案为：8.

15.（4分）如图，在一个长方形草坪ABC。上，放着一根长方体的木块.已知40=6米，

AB=5米，该木块的较长边与AO平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A

爬过木块到达C处需要走的最短路程是一米.

【解答】解：由题意可知，将木块展开,

相当于是AB-2+3个正方形的宽，

长为5-2+3X2=9米：宽为6米.

于是最短路径为：«2+62=3岳米.

故答案为：3丁石.

16.（4分）如图，等腰内△ABC,ZB=90°,A8=6,点。为边AB上一点，8。=2,点

E为边AC上一点，连结。E,将QE绕点。逆时针旋转90°得到。F,连结AF,BF,

则AF+BF的最小值为_2V17_.

B

2

A^E----------------、c

【解答】解：过点。作A。的垂线，交AC于点M,连接并延长，

•••△ABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC=45°,

又：0M_LAB,

是等腰直角三角形，

：.AD=DM,ZDMA=45°,

XVDEXDF,

:.NEDM+NFDM=NADE+NEDM=90°,

NAOE=NMDF.

又,：DE=DF,

:.MADE9XMDF(SAS),

/.ZFMD=ZDAE=45°,

...NAMF=45°+45°=90°.

则点F在过点M与AC垂直的射线上运动.

过点A作例户的对称点A',连接BA'与射线M尸交于点尸'，

根据两点之间，线段最短可知，当点F在尸'位置时，AF+BF取得最小值.

过点2作AC的垂线，垂足为M

；AB=6,

:.AN=BN=3^2.

XVAD=6-2=4,

.'.AM=4&，

AA4,=8点，

/.A,N=AA'_AN=5近.

在RtZ\A'BN中，

A，B=Q（5&产+（3加）2=2^.

即A'F'+BF'=2A/17.

所以AF+BF的最小值为Wi?

故答案为：2A.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17.（8分）计算：

（1）V27-VI2+V16；

（2）后尸心XV8-

V3

【解答】解：（1）原式=3日-2代+4

=我+4;

（2）原式=427+3+412+3-42X8

=3+2-4

=1.

18.（6分）用适当的方法解二元一次方程组：

（2x-y=3

Ix+y=6

【解答】解：俨于叱

x+y=6②

①+②，得3%=9,

解得尸3,

把x=3代入②，得y=3,

故原方程组的解为fx=3.

1y=3

19.（6分）己知：如图，NA=NO=90°,AC=BD.求证：OB=OC.

AD

O

B

【解答】证明：VZA=ZD=90°,AC=BD,BC=BC,

ARtABAC^RtACDB(HL)

NACB=ZDBC.

：.NOCB=NOBC.

：.OB=OC（等角对等边）.

20.（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位

长度的正方形）.

（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到画出平

移后得到的△AiBCi；

（2）将AABC绕着点4顺时针旋转90°,旋转后得到的AAB2c2,则点比的坐标为（4,

（2）由旋转可知，点B2的坐标为（4,-2）,点C2的坐标为（1,-3）.

故答案为：（4,-2）；（1,-3）.

21.（8分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着

一代又一代中国人.今年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心

捐款活动”,活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表,

根据统计表回答下面的问题：

学生捐款金额条形统计图学生捐款金额扇形统计图

人数

图1

(1)本次共抽取了50

(2)补全条形统计图；

(3)本次抽取样本学生捐款的众数是10元,中位数是15元:

(4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额.

【解答】解：⑴44-8%=50(名)，

即本次共抽取了50名学生的捐款；

故答案为：50；

(2)捐“15元”的人数为：50-4-16-10-8=12(人)，

补全条形统计图如下：

学生捐款金额条形统计图学生捐款金额扇形统计图

(3)由统计图可知，本次抽取样本学生捐款的众数是10元，中位数是15元.

故答案为：10,15；

(4)-Lx(5X4+10X16+15X12+20X10+30X8)

50

=J_X8OO

50

=16（元），

答：本次抽取样本学生捐款的平均金额为16元.

22.（8分）某教育科技公司销售4,3两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示:

AB

进价（万元/套）32.4

售价（万元/套）3.32.8

（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技

公司计划购进A,8两种多媒体各多少套？

（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进4种多媒体机套（10W

%W20）,当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利

润，最大利润是多少万元？

【解答】解：（1）设购进A种多媒体。套，B种多媒体人套，

由题意可得：［a+b=50,

l3a+2.4b=132

解得"20,

lb=30

答：购进A种多媒体20套，2种多媒体30套；

（2）设利润为w元，

由题意可得：卬=（3.3-3）m+（2.8-2.4）X（50-w）=-0.1/n+20,

Avv随m的增大而减小，

•.T0W，〃W20,

...当m=10时，w取得最大值，此时w=19,

答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元.

23.（10分）现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（/而〃）之间的

函数关系如图所示，A品牌收费为yi，8品牌收费为”.

（1）直接写出A品牌收费方式对应的函数关系式为v=Ar;

（2）求8品牌在当尤>10时间段内，y与x之间的函数关系式;

（3）当x>10时，求出两种收费相差0.5元时x的值.

.•.20公=4,解得心=工，

5

5

故答案为：y=L.

5

（2）当x>10时，设

二•当x=10时，y=3；当x=20时，y=4,

1

10k2+b=3，解得!k2-1o，

20k2+b=4

b=2

；.y=_l^v+2(x>10).

10

（3）根据题意，得|L-（工+2）1=0.5,

510

经整理，得工-2=工或2

102102

解得x=25或15.

24.（10分）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.数学兴趣小组的同学们在

老师的带领下开展了对垂美四边形的研究.

（1）【概念理解】如图2,在四边形ABCQ中，AB=AD,CB=CD,则四边形ABC。

（填“是”或“不是”）垂美四边形.

（2）【性质探究】如图1,四边形A8c。的对角线AC、BD交于点0,ACJ_8O.小莹利

用勾股定理的知识探索出四边形ABCD的四条边具有以下数量关系：AB1+CD1=

AD2+BC2,请判断小莹的结论是否正确，并说明理由.

（3）【问题解决】如图3,分别以RCABC的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角

三角形ACE和等腰直角三角形AB£>,使得NB4Z）=/CAE=90°,A8=A£>,AC=AE,

连接CD,BE,DE,已知8C=3,AC=4,请直接写出DE的值.

【解答】解：（1）连接AC,BD,

图2

"：AB=AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上，

'：CB=CD,

...点C在线段BD的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

J.ACLBD,即四边形ABCO是垂美四边形，

故答案为：是；

（2）结论正确，理由如下：

'：AC±BD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90Q,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB^CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

r.AD1+BC2=AB2+CD2；

（3）如图，设48与CO的交点为M,

图3

'：ZBAD=ZCAE=90a,AB=AD,AC=AE,

：.ZCAE+ZBAC=NBAD+NBAC,即ZEAB=ZCAD,

在△E48和△CA。中，

，AE=AC

<ZEAB=ZCAD>

AB=AD

：./\EAB^ACAD（SAS）,

NABE=NADC,

VZADC+ZAMD^90°,

AZABE+ZAMD=90<:,

ZAMD=NBMC,

：.ZABE+ZBMC=90°,

即CDLBE,

四边形BCED是垂美四边形，

由（2）得，CE1+BD2=CB2+DE1,

•.♦BC=3,AC=4,

-'-AB=>/BC2+AC2=V9+16=5,

AAEC和△AOB都是等腰直角三角形，

；.CE=&AC=4&,BD=®AB=5®,

32+50=9+£>研，

：.DE=y/73.

25.（12分）如图，一次函数y=-x+4分别与坐标轴交于A,2两点，y=fcv+l分别与坐标

轴交于C,。两点，C(-2,0),两直线交于点E；

(1)求上的值及E点坐标；

(2)点P在直线C。上，连结OE,若SAPOE=SABOE，求出点P坐标;

(3)点M在坐标轴上，点N在直线C。上，若线段MN被直线AB垂直平分，请直接写

出N点坐标.

【解答】解：(1)将C(-2,0)代入y=h+l得-2A+l=0,

解得k=工，

2

直线CD的解析式为尸L+1,

2

y=-x+4(

联立产-x+4得|1，解得XT,

y至x+1Iy=2

点坐标为(2,2)；

(2)；一次函数y=-x+4分别与坐标轴交于4,B两点，

(4,0),B(0,4),

点坐标为(2,2),

SABOE=—X4X2=4,

2

设p(p,L+1)，

2

分两种情况：

①点P在直线AB上方，

y

图1

•*SAPOE=SABOE，

/.S^POE-S&POC-S^COE——X2(—p+1)JLX2X2=4,

222

."=10,

...点尸的坐标为（10,6）；

②点P在直线AB下方，

图2

**SAPOE=SABOE,

S^POE=S^POC+S^COE=^X2（--ly7-1）+AX2X2=4,

2

:・p=-6,

...点尸的坐标为（-6,-2）；

综上，点P的坐标为（10,6）或（-6,-2)；

（3）分两种情况：

①当点M在x轴上时，连接NA,

y

图3

VA(4,0),B(0,4),

：.OA=OB,

・・・NOA8=45°,

•・♦线段MN被直线AB垂直平分，

：.ABLMN,AM=4M

・・・/AMN=45°,ZAMN=/ANM,

：.ZAMN=ZANM=45°,

・・・NM4N=90°,

・・•点N在直线。：y=L+l上，

2

・・・N点坐标为(4,3)；

②当点M在y轴上时，连接NB,

图4

VA(4,0),B(0,4),

：・OA=OB,

：.ZOBA=45°,

・・•线段MN被直线AB垂直平分，

・・.43_LMMBM=BN,

:./BNM=45°,/BMN=/BNM,

・・.NBMN=N8NM=45°,

:・/MBN=90°,

•・,点N在直线CD：y=L+l上，

2

・・・N点坐标为（6,4）；

综上，N点坐标为（4,3）或（6,4）.

26.（12分）数学课上，老师提出一个问题：如图1,已知等腰直角△ABC,AB=AC,等腰

直角ACDE,DC=DE,连结BE,F