排列组合资料

直观定义

——事件A出现的可能性大小.统计定义

——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？先给大家举几个例子

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.1.2.1

概率的公理化定义非负性公理：P(A)0;正则性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,…,An

…互不相容，则定义1.2.1设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件定义在F上的一个实值函数P（A）满足则称P（A）为事件A的概率，称三元素为概率空间从n

个元素中任取r

个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.1.2.2

排列与组合公式求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n

类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n

步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.（1）排列：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列总数记为（2）重复排列：从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种排列总数共有（3）组合：从n个不同元素中任取r（r≤n）个并成一组（不考虑元素先后出现次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为（4）重复组合：从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为重复组合，此种重复组合总数为组合组合：重复组合：一、频率的定义1.2.3

确定概率的频率方法试验者抛币次数n“正面向上”次数频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性.定义随机试验可大量重复进行.1.2.3

确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.频率稳定于概率与通常的极限不同，随着试验次数n的增大，频率与概率之间出现较大偏差只是越来越罕见，但绝对不是不可能出现。频率方法提供了概率的一个可供想像的具体值，在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，即频率是概率的估计值。三、小结频率的定义概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型1.2.4

确定概率的古典方法一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果

假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej

,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…，eN

,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN

试验结果

你认为哪个结果出现的可能性大？23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615称这种试验为等可能随机试验或古典概型.

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

定义1二、古典概型中事件概率的计算记

A={摸到2号球}

P(A)=?

P(A)=1/10记

B={摸到红球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456这里实际上是从“比例”转化为“概率”记B={摸到红球},P(B)=6/10静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.23479108615

古典方法设

为样本空间，若

①

只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4

确定概率的古典方法抛一枚硬币三次

抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意例1.2.3(抽样模型）

一批产品共有N个产品，其中M个是不合格品、N

M个是合格品.从中随机地取出n个.试求Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。注意抽取的方式。这里是不放回抽样。解：先计算样本空间的样本点总数，为A0=“取出的n个产品中有0个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（A0）=N个产品分为两类:合格品N-M个,不合格品M个.Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（Am）=m=0,1,2,…,r,r=min(n,M)这里应有m≤min(n,M)A1=“取出的n个产品中有1个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（A1）=例1.2.4(放回抽样）

放回抽样是抽取一个后放回，然后再抽取下一个……如此重复直至抽出n个为止。现对上例“一批产品共有N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.从中随机地取出n个.”在有放回抽样情况下，讨论事件Bm=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。解：先计算样本空间的样本点总数，为B0=“取出的n个产品中有0个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（B0）=B1=“取出的n个产品中有1个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（B1）=Bm=“取出的n个产品中有m个不合格品”，该事件所含样本点的个数为故P（Bm）=m=0,1,…,n购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.

彩票问题——幸运35选7中奖规则

1)7个基本号码

2)6个基本号码+1个特殊号码

3)6个基本号码

4)5个基本号码+1个特殊号码

5)5个基本号码

6)4个基本号码+1个特殊号码

7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码

中奖概率中所含样本点个数：将35个号分成三类:7个基本号码、

1个特殊号码、27个无用号码记pi

为中i等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率如下：不中奖的概率为：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7例1.2.6——

盒子模型n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求(1)指定的n盒子中各有一球的概率(n

N)

（2）恰有n个盒子中各有一球的概率(n

N)

解生日问题求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1

P(生日全不相同)1-p20=0.4058,1-p30=0.6963,1-p50=0.9651,1-p60=0.9922

用盒子模型得：n个人中生日全不相同的概率为至少两人生日相同的概率为：n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n

1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n

2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n

2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.31.2.5

确定概率的几何方法

若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S

；

②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关

(等可能的).

则事件A的概率为:P(A)=SA/S

例1.2.8(会面问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人20min，过时即可离去，求两人能会面的概率设事件A=“两人能会面”，该事件相当于即或的所有可能取值为边长约会地点的时间，为60的正方形，即解：两人到达的时间是0—24小时内任何一个时间点，因此可设分别为甲、乙两人到达或x2020206060yx-y=20y-x=200例1.2.3

蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.事件A=“针与平行线相交”充要条件是x