2021届重庆市高三年级下册3月联考数学试题（解析版）

2021届重庆市高三下学期3月联考数学试题

、单选题

1.A={X|1<X<7),B={X|X2-4J:-5<0},Ary^B

A.(5,7)B.(1,5)C.(-U)D.(-1,1)55,7)

【答案】A

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合8,再利用集合的交补运算求解即可.

【详解】因为3={x|-啜k5},

又4=卜|1<%<7},

所以Ac(9)={x|5<x<7}.

故选：A.

2.已知复数A0=4-%a力eR,贝！|。+8=()

i

A.2B.-2C.4D.6

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算可得；

【详解】解：因为¥^=4-此所以2+切=(4-助i,所以2+切=6+4，，所以］

所以a+b=6.

故选：D

3.B^|j2sin(^-cr)=3sin^^-+cir^,则sin?a—；sin2。-cos?a=()

5151

A.—B.--C.——D.—

13131313

【答案】B

【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.

、713

【详解】由2sin(»-。)=3sin(—+戊)，得2sina=3cosa,所以tana=—,

22

“K.21.c2sin2cr-sincrcoscr-cos2atan2a-tana-11

/Anusma——sin2a-cosa=-----------------------------------=---------------------=------

2sina+cosatana+113

故选：B

4.函数〃x)=-的部分图象大致是()

cosx-1

【答案】D

【分析】通过函数的定义域判断选项C,通过函数的奇偶性判断选项B,当时,

通过函数的正负判断选项A,即可得出结果.

【详解】因为COSX-IHO,

所以/(x)的定义域为{x|x/2版•，左eZ},

则xwO,故排除C；

而f(t)=—=——=_/(x),

cos(-x)-1cosx-1

所以/(X)为奇函数，

其图象关于原点对称，故排除B；

当时，cosx-l<0,/(x)=---------<0,所以排除A.

<2Jcosx-1

故选：D.

5.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极

响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三

(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明

该项教育越好).下列说法正确的是()

A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5

B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分

C.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高

D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大

【答案】C

【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.

【详解】对于A,高三⑵班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,

所以极差为9.5-8.5=1,A错误；

对于B,两班的德育分相等，B错误；

对于C,图二（1）班的平均数为-------------------=9.35,

（2）班的平均数为";=9.1,故C正确；

对于D,两班的体育分相差9.5-9=0.5,

而两班的劳育得分相差9.25-8.5=0.75,D错误，

故选：C.

6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为尸，尸为C在第一象限上一点，若歹尸的中点到y轴

的距离为3,则直线尸尸的斜率为（）

A.y/2B.2&C.2D.4

【答案】B

【分析】由所的中点到y轴的距离为3可求得乙=4,得出点尸坐标，即可求出斜率.

【详解】PF的中点到y轴的距离为3,

,弋0司=3,即三―=3,解得/=4,

代入抛物线方程可得尸（4,46）,

因为尸点的坐标为（2,0）,所以直线尸尸的斜率为逑二2=

4-2

故选：B.

7.设不区是双曲线c：二-X=l的两个焦点，O为坐标原点，点尸在C的左支上，且

48

彳OF瑞.np^+与FP方OP=26r-，则△尸居区的面积为（）

A.8B.8A/3C.4D.4遭

【答案】A

【分析】根据已知条件可以求出|。耳=26，由双曲线的忸用=48可得点尸在以耳工

为直径的圆上，利用鸟时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出

|^||PK|,再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】由生包+心”==上"=|。尸|=2技

\OP\\0P\\OP\\OP\11

不妨设月上2后,0）,玛（2君,0）,

所以1。口=；山工所以点尸在以月耳为直径的圆上，

即△尸片6是以尸为直角顶点的直角三角形，

故附『+忸研=由用1即附『+|尸囚'=48.

又附-附|=2。=4,

所以16=（|/£|一|%|）2=|尸耳『+|尸阊2—2忸制时|=48—2忸剧时|,

解得:|「耳||段|=16,

所以5小］附||尸周=8.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件分析出△尸耳乃是直角三角形,

再利用勾股定理和双曲线的定义求出「制尸阊的值.

8.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分

类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”,

其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同

学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并

要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的

排课方式的种数为（）

A.960B.1024C.1296D.2021

【答案】C

【分析】排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，（2）“丝”不被选中，结合分类计数

原理，即可求解.

【详解】由题意，排课可分为以下两大类：

（1）“丝”被选中,不同的方法总数为M=C：悬琢寸-Cj$魅4=720种;

(2)“丝”不被选中，不同的方法总数为M=C；尺*尺=576种.

故共有N=720+576=1296种.

故选：C

2

9.函数于(x)=2百sinxcosx-2sinx+1的图象向右平移三个单位长度后得到函数

g(x)的图象，对于函数g(x),下列说法不正确的是()

A.g(%)的最小正周期为〃B.g(x)的图象关于直线1=三对称

24

JTIT(137r、

c.g。)在区间上上单调递增D.g。)的图象关于点卜刀,。)对称

【答案】C

【分析】将函数转化为/(X)=2sin12x+f,再由平移变换得到g(x)=2sin(2x+^1),

然后逐项判断.

【详解】因为/(x)=2括sinxcosx-2sin2x+l=2sin[2x+・).其图象向右平移盘个

单位长度后得到函数g(x)=2sin?=25由卜+曰的图象.所以g(x)的

最小正周期为"，故A正确；

当x=?S%时，2尤+号TC=7Tg,所以g(x)的图象关于直线》=需S冗对称，故B正确；

1.4乙NT*

jrTTTTITC7LTC

当xe时，2x+-e,所以g(x)在间上不单调，故C错误;

■"i"X乙JL乙J,乙»a

当天=-等时，2x+?F,所以函数g(x)的图象关于点、詈,o]对称，故D正确.

故选：C

二、多选题

10.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有

圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑,

园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱

锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30。，若取6=30。，

侧棱长为衣■米，则()

A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米

C.正四棱锥的侧面积为24g平方米D.正四棱锥的侧面积为126平方米

【答案】AC

【分析】利用已知条件画出图像，设。为正方形ABCD的中心，”为A3的中点，设底

面边长为2“，利用线面角的定义得出NSHO=30。，根据已知条件得到各边的长，进而

求出正四棱锥的侧面积即可.

如图，在正四棱锥S-钻CD中，

。为正方形ABCD的中心，以为A3的中点，

贝I]SH±AB,

设底面边长为2a.

因为NSHO=30。，

所以OH=AH=a,OS=是a,SH=^~a.

33

<QY

在Rf中，a2+工2a=21,

I3J

所以a=3,底面边长为6米，

S=!x6x2A4=246平方米.

2

故选：AC.

11.新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放.该校学

生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测.甲说:

小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食.乙说：小华选的不是烹制中式面食,

选的是烹制西式点心.丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝.已

知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此

推断小华选择的内容（）

A.可能是家常菜青椒土豆丝B.可能是川菜干烧大虾

C.可能是烹制西式点心D.可能是烹制中式面食

【答案】BD

【分析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可

得出选项.

【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，

则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；

若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；

若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；

若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件.

故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，

所以选：BD.

12.已知函数〃X)=[『+2'：2<E,若关于x的方程/(力=相恰有两个不同解

IInx—1,

xl,x2(xl<x2),则-石)/(%)的取值可能是()

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】BC

【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到不=干,超=6"用,m代入

(%-石)〃*2)，令g(x)=xe*"-；x2+x,xe(-l,0],求导，利用导函数的单调性分析原

函数的单调性，即可求出取值范围.

【详解】因为F(X)=机的两根为%,%(%<%)，

所以爸=与2,无2=e"l根e(T,O],

从而(电一%)/(%)=-m22]加=me"*'-^-+m.

令g(无)=xex+l-^x2+x,xe(-1,0],

则g'(x)=(x+l)e*M-x+l,%e(-l,0].

因为xe(-l,0],

所以x+l>0,"+i>e°=l,r+l>0,

所以g'(x)>0在(-1,0]上恒成立,

从而g(x)在(-1,0]上单调递增.

又g(0)=0,g(T)=-g，

所以g(x)e,|>°,

即(马-王)"(々)的取值范围是，

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数

g(x)=xex+l-^x2+x,xe(-1,0],利用导数求取值范围是解决本题的关键.

三、填空题

111

13.已知平面向量“=(3,4),非零向量8满足则6=.(答案不唯一,

写出满足条件的一个向量坐标即可)

【答案】(4,-3)

【分析】设6=(x,y),根据代入公式，即可求得满足题意的答案.

【详解】设b=(x,y),因为,_1_］所以3x+4y=0,可取6=(4,-3).

故答案为：(4,-3)

—49

14.已知〃>0力>0,。+4/?=4,贝!|—F7的最小值为________.

ab

【答案】16

【分析】根据题意由3+3=：(。+46)[3+展开利用基本不等式可求解.

ab4\ab)

【详解】因为3；=:(。+43「+；)=140+.+知

=16,

ab4b)4\ab)

当且仅当图=孚，即。=1,6=1时等号成立，

ab4

所以？4+J9的最小值为16.

ab

故答案为：16.

15.已知函数/⑺=加+lnx满足lim，⑴一个一2©)=2,则曲线y=〃尤)在点

处的切线斜率为

【答案】3

【分析】根据极限形式和求导公式得-⑴=2。+1=3,进而得“=1,计算-得解

川)-〃1-2Ax)可得lim“匕2')一川)

【详解】由lim=2,=3.

3AxAxf0一A2x

因为/'(X)=2ox+—,所以/z(l)=2tz+l=3,BP(2=1,则f(x)=x2+\nx,

x

所以/(尤)=2x+1,d'=3.

故答案为：3.

16.在正四棱锥尸-ABCD中，y/2PA=y[5AB,若四棱锥P-ABCD的体积为一，则

该四棱锥外接球的体积为

・小田、500%

【答案]:一

【分析】首先作PH，平面ABCD，垂足为H.连接BD,AB=2m得到PB=PA=Mm，

BH=y[im,从而尸8=2万72,根据四棱锥P-ABCD的体积为亍，得到帆=2应，再

设出外接球的球心，得至U方程&=42+(8-尺)2,解方程再求外接球体积即可.

【详解】如图所示:

作尸平面ABCD,垂足为/L连接30,则〃为BO的中点.

设凡8=2祖，则==BH=En，从而PH=2叵找，故四棱锥尸―ABCD

的体积为1X(2/n)2X2扃i=逑厘=—,解得m=242.

333

由题意可知正四棱锥P-ASCD外接球的球心。在PH上，连接08.

设正四棱锥尸-ABCD外接球的半径为R,

则7?2=囱/2+0〃2,BPZ?2=42+（8-7?）2

解得R=5,故该四棱锥外接球的体积为1万氏3=等

辽研生、r500万

故答案为：:一

四、解答题

17.已知各项均为正数的等差数列｛4,｝的公差为4,其前"项和为S”,且2%为邑,S3的

等比中项

(1)求｛%｝的通项公式；

4

(2)设4=——，求数列也｝的前〃项和1

anan+\

n

【答案】(1)«„=4/7-2；(2)

2〃+1

【分析】法一：(1)将。2，邑和S3都表示成6和d的形式，代入等比中项，求出生,

进而求出通项公式册；(2)代入数列｛%｝的通项公式则％=工二-1三，裂项相消

求7“即可.法二：(1)利用前〃项和的性质，可得$3=3%,代入等比中项可得4d=$2,

化简，再代入可和〃，计算可得生,从而求得通项公式；(2)同法一.

【详解】解：(1)因为数列｛%｝是公差为4的等差数列，

3x2

以％=q+4,$2=2(q+2),S3=3%H———x4—3(6+4).

又=S2S3,所以4(4+4)2=6(q+2)(4+4),即(6+4)(4-2)=。，

解得q=2或。=-4(舍去)，

所以4=2+4(〃-1)=4〃一2.

44_1

(2)因为2=

(4〃-2)(4〃+2)4n-24〃+2

所以，=4+打++%+2

11111111

---------1-----------FH----------------------1---------------------

266104/1-64/1-24n-24〃+2

_j____1

-2-4n+2

n

2〃+l•

法二：(1)因为数列｛q｝是公差为4的等差数列，且2出为S2,S3的等比中项,

所以=S2s3,从而4a；=S2-3a2.

因为4〉0,所以4〃2=3$2，即4(%+4)=3(2%+4),

解得4=2,

所以=2+4(〃-1)=4〃一2.

(2)第二问解法同上.

【点睛】易错点睛：本题考查裂项相消求和，要注意裂项时配凑的系数和消项时保留的

项数.

,,3

18.设ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且满足〃cosB-Z7cosA=1c

/、_rutanA,.

⑴求言的值;

(2)若点。为边AB的中点，AB=10,CD=5,求BC的值.

【答案】(1)4；(2)4省.

3Q

【分析】（1）由〃cos3"cosA=不，带入余弦定理整理可得廿=/2,所以

a1+c2-b2

tanA_sinAcosBa2aca2+c2-b23

带入82=（，即可得解;

tan5cosAsinBb2+c2-a2b2+c2-a2

----------------b7

2bc

CFCF〜tanABE

(2)作A5边上的IWJCE,垂足为E,因为tanA=—,tanB=----所----=——

AEBEtanBAE

又黑=4,所以*4的因为点。为边，的中点且AB=1。,所以

BD=5,AE=2,DE=3,再根据勾股定理即可得解.

3

【详解】(1)因为QCOSB-0cosA=《c,

c2+a2-Z?2b2+c2-a23

所以人-b-—c

2ca2bc5

即a2-b2=-c2.

5

a2+c2-b1

a•

「tanAsinAcosB

又----=---------2ac

tan3cosAsinB

2bc

匚UmtanAa2+c?—/8c25

所以----=75一n一7=一x：=4.

tanBb2+c2-a252c2

（2）如图，作AB边上的高CE,垂足为E,

CFCFtanABE

因为tanA=----,tanB=,所以

AEBEtanBAE

tanA，〜…

又嬴万=4,所以郎=4他.

因为点。为边A3的中点，AB=W,所以9=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CDE中，CD=5,所以CE=j52-32=4.

在直角三角形BCE中，BE=8,所以8c="^=4石.

19.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某

市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、

锦、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚

清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图

样8个数

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在

轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；

（2）规定：轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从

（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X,求X的数学期望.

【答案】（1）从轻度污染的行政村中抽取3个，从中度污染的行政村中抽取2个，从重

度污染的行政村中抽取1个；（2）5.

【分析】（1）根据题意，轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共9+6+3=18个，

再根据分层抽样分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数即可；

（2）X的所有可能取值为3,4,5,6,7,写出每算出一个数据的概率，得出分布列，

再根据期望公式即可得解.

【详解】（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共9+6+3=18个，

所以从轻度污染的行政村中抽取上义9=3个，从中度污染的行政村中抽取£x6=2个，

lolo

从重度污染的行政村中抽取2*3=1个.

18

（2）X的所有可能取值为3,4,5,6,7.

P(X=4)=%C2cFl=23

C：10

P(X=5)=

1

P(X=6)=*^C=±3,

或10

2

P(X=7)=4c=上1

或20

所以X的分布列为

X34567

13331

P

2010101020

13331

J5(flU£,(X)=3x—+4x—+5x—+6x—+7x—=5.

2010101020

20.如图，在直三棱柱4BC-AB|G中，底面ABC是等边三角形，。是AC的中点.

(1)证明：AB//平面8CQ.

(2)若44,=248,求二面角片-AC-G的余弦值

【答案】(1)证明见解析；(2)生便.

19

【分析】(1)BtCBQ=E,连接DE,由三角形的中位线可得DE//ABt,进而可得\Bj/

平面BCQ.

(2)故以。为原点，分别以。氏OC,。尸的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系。-孙z.平面明C的法向量为〃=(x,y,z),平面ACG的一个法向量

为7"=(1,0.0)，进而可得结果.

【详解】(1)记用。BCt=E,连接DE.

由直棱柱的性质可知四边形BCGM是矩形，则E为BC的中点.

因为。是AC的中点，所以DE//AA.

因为仁平面BCQ,OEu平面BCQ,所以AB//平面BCQ.

(2)因为底面ABC是等边三角形，。是AC的中点，所以5OLAC,

由直棱柱的性质可知平面ABC_L平面ACGA,则B£)J_平面ACGA.

取4G的中点R连接。尸，则。氏DC。歹两两垂直，故以D为原点，分别以DB,DC,DF

的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

设AB=2,则A(0,-L0),C(0,L0)，4(6,0,4),从而配=(0,2,0),福=(百,1,4).

设平面ABtC的法向量为〃=(x,y,z),

ri-AC=2y=0,l

则令尤=4,得〃=(4,0,—6).

n-AB{=A/3x+y+4z=0,

平面AC£的一个法向量为=(1,0,0),

E/、m・ri44M

cos<m,n)=­：——

Im||n|晒一19

设二面角与-AC-C]为。，由图可知。为锐角，贝!Jcos6=|cos〈wi,w〉|=⑸.

21.已知椭圆C:[+g=l(a>b>())的左、右焦点分别为百,工，离心率为乎，且点

在C上.

(I)求椭圆c的标准方程;

(2)设过用的直线/与C交于4,5两点，若|A修=^\AB\.

【答案】(1)—+y2=l；(2)|4切=逑.

23

2

【分析】（1）由题得，号4+表]=1，又r%=。1，解方程可得“I，从而得椭圆的方程;

（2）当直线/的斜率不存在时，恒居|=忸刃=[=¥，所以|A司JM|=910_

,直

23

线/的斜率存在时，设其为/:，=依彳-1）,联立方程并由韦达定理求出玉+%,再%的式

子得，求得加用=涝，同理得出忸凰=为会，求出公=1,即可得|AB|.

’2君_叵

【详解】解：（I）因为椭圆c过点

33J

41

所以豆+/=1.①

又椭圆c的离心率为Y2,「21

所以茄=5'

2

故巴"

a（a2--2②

A+X=1

3a23b2'°；j故椭圆C的标准方程为—+y2=l.

联立①②得解得

b11b=1,2

一2'

（2）当直线/的斜率不存在时，|A引=忸用=/=孝,

所以

|A£|,忸片1=（2夜一日）2=，

故直线I的斜率存在，设直线/:y=-x—1）,4（下,%）,3（%,%）.

y=k（x-l）,

联立£+y2T消去y并整理得（2