2024年上海市春考高考数学试卷答案解析版

2024上海春考数学试卷答案解析

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第『6题每题4分，第7-12题每题5

分)

1.10g2%的定义域.

【考点】函数定义域

【答案】(0,+8)

2.直线x-y+l=。的倾斜角.

【考点】直线的倾斜角

【答案】£

【解析】k=tana=1

3.已知二=I,则2=

1+1

【考点】夏数

【答案】—1—i

4.(%—1)6展开式中X4的系数为.

【考点】二项式展开

【答案】15

【解析】x(-1)2=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴,B=巴,则.

34

【考点】解三角形

【答案】鸯亚

【解析】在三角形中4+B+C=7T,C=||

1

由正弦定理BCAB,解得ZB=若至

sinAsinC

6.已矢口ab=1,4a2+9b2的最小值为

【考点】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4a2+9b2>2-2a-3b=12当且仅当2a=3b,

即a=',b=曰或a=S,b-—1时取最小值12.

7.数列｛%｝,即=n+c,S7<0,c的取值范围为.

【考点】等差数列

【答案1(―8,—4)

【解析】由%=九+心知数列｛4｝为等差数歹1KS7=&詈2=弩=7a4V

4

0,a4=+c<0,c<-4.故c的取值范围为(一-4).

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双

曲线的离心率为.

【考点】双曲线的定义、离心率

【答案】3

【解析】由双曲线的定义,2c=6,2a=2,e='=3

a

9.已知/(%)=%2,g(%)=｛J，'；0,求9(%)<2-％的％的取值范围

【考点】分段函数运算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根据题意知9(%)=｛：?3-°

x■x<U

2

所以当%>。时,g(%)<2—x=^x2+x—2<0,解得％e[0,1]

同理当％<。时,g(x)<2-%=>-%2+%—2<0,解得%E(-8,0)

综上所述:％C(-血1]

10.已知四棱柱4BCD-4a的劣底面ABCD为平行四边形，=3,BD=4且

ABl-BC-AD[-DC=5,求异面直线A4]与BD的夹角

【考点】立体几何线线角

【答案】arccos鲁

【解析】AB^AB+AAiAD[=AD+44；

(AB+京)•AD-(AD+视).反=5

=AA1-RD=3x4xcos0

5

=>cose=—

11.正方形草地ZBCD边长1.2,E到4昆4。距离为0.2,尸到8。,CD距离为0.4,有个

3

简得y=—x+1

所以圆心为(a，—a+1),半径为a,且经过E,F点

即(a—0.2)2_|_(—0+1—0.2)2-Q2

化简得a?-2a+0.68=0C=27ra«2.73

12.a1—2,a?=4,=8,。彳=16,任居、b],GR,?两足{a»+a,114iV

；<4}={^+^|1<1<;<4],求有序数列{瓦，匕2小3小J有____对.

【考点】数列

【答案】48

【解析】以题易知{四+aj|6,10,12,18,20,24),

满足{的4-a7-11<i<;<4]={/?!+by11<i<;<4},

不妨设瓦<b2<b3<由单调性则必有瓦+匕2=6,瓦+匕3=10,匕2+匕4=

20,b3+b4=24

(1)b2+b3=12,瓦+/=18,解得b=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,瓦+=12,解得瓦=-1,b2=7,b3=11,b4=13

所以2种.

综上共有2#=48对

二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考点】不等式的性质

4

【答案】B

【解析】对于4若网V©解析2vc2,选项不成立，故A错误;

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误;故答案选B.

14.空间中有两个不同的平面a1和两条不同的直线孙凡则下列说法中正确的是

()

A.若a团0,7女团a,ri团0,则m团?1B.若a0/?,刀1团a,刀1团九，则九团0

C.若仇〃0,mlfa,n“B，则m〃九D.若仇〃0,m//a,m//n,则n〃0

【考点】立体儿何

【答案】A

【解析】对于A若1耶,??1团a,则m〃/?或mu/?,又九团/?,所以m团?1,故A正确；

对于B,若仇耶,??1团a,则m〃/?或mu/?,由m瓯，贝加与0斜交、垂直、平行均有可

能,故B错误；

对于C,若/a,则m〃/?或mu/?,由九〃/?,则m与九相交、平行、异面均有

可能,故C错误；

对于D,若a〃/?,zn〃a,则??i〃6或znu/?,又m〃%则九〃0或九u/?,故O错误.故

答案选A.

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所

选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件4与事件B互斥B.事件A与事件B相互独立

C.事件4与事件BUC互斥D.事件Z与事件BnC相互独立

【考点】事件的关系

5

【答案】B

【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中既有中国结,又

有记事本,所以A与B互斥，故A错误；

对于B,PQ4)=±1,P(B1)=-,P(AnB)=-1,符合PQ4nB)=PQ4)•P(B),B正■确；

224

对于c,事件4与事件BUC可以同时发生,所以。错误；

对于D,PQ4)=%P(BnC)=:而P(4n(BnC))=(wPQ4)•P(BnC),所以4

与BnC不独立,故D错误。

故答案选3.

16.现定义如下:当％e(_n>n+1)时(九eN),若/(%+1)=f'(%),则称f(%)为延

展函数.

现有，当%e(0,1)时,g(%)=靖与(%)=炉。均为延展函数,则以下结论(

)

(1)存在y=kx+b(k，beR；k>b0)与y=g(%)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k，b£R，k，b手0)与丫=(%)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考点】图像与导数

【答案】D

【解析】根据题目所给条件，画出g(%)与(%)图像即可，

6

因为kw0,所以⑴错；当/c=10!时,存在b使得直线y=kx+b可以与(%)在区

间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点,所以(2)正确，故选D

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(6ox+g)，co>0

(1)设co=1,求解:y=/(%),%e［OF］的值域；

(2)a>7r(aeR),/(%)的最小正周期为7,若在%e［ma］上恰有3个零点,求a的取

值范围.

【考点】三角函数周期与零点

【答案】(l)ye［—;

⑵a噜,等)

【解析】(1)3==sin(%+因为％e0出,所以令t=%+C

一71)-47f

.33.

所以y=/⑴在"外上单调递增,在4号］上单调递减

所以'max-/Q)=1，ymin=f=因此丫［一争1

(2)由题知T=§=兀,所以3=2,/(x)=sin(2x+

当/(%)—0时，2%+g=kn,kEZ,即％=一千+4，keZ.

当々=3时,％=把>7T,所以2+7<aV2+27,即卫4aV因止匕,ae

333236

吁等1

7

18.如图,24、PB、PC为圆锥三条母线,ZB=ZC.

⑴证明：P4团BC；

⑵若圆锥侧面积为遮耳8。为底面直径,BC=2,

求二面角B-PA-C的大小.

【考点】圆锥体中的线面关系

【答案】（1）证明见解析（2）〃—arccos：

【解析】（1）取BC中点。，连接4。、P0,

因为ZB=AC,PB=PC,所以4。团BC,P。团BC,

又因为P。u面PA。"u面P40,P。nA。=0,

所以BC团面P4。，因为P4u面P4。，所以P4团BC.

（2）如图建立空间直角坐标系

因为圆锥侧面积为g7r,BC为底面直径,BC=2,

所以底面半径为1,母线长为旧,所以P。=y/PA2-AO2=

V2,

则可得P。0,企）,4（0,1>0）,B（l，O0）,C（-L0,0）,

故而=（0，］，-仞，丽=（L0^-42）,PC=（-L0^-V2）,

设4=Oc）为面P4B的法向量,则但.上=°=

阮•PB=0

■乃旺的°,令%1=V2,则yi=V2,zt=1,所以4=

山-V2zt=0

（筋筋1）.

设荻=（%2少2立2）为面24。的法向量，

8

则，破.西=00]—V2Z2=0

I五-PC=01一%2—V2Z2=0

1

令%2--V2,则丫2-V2,z2=1,所以拓=（-筋低1）.

n

则cos<n[1,n^>=।上;1li=一字二=一工，

'|n1||n2|AASXVS5

设二面角B-PA-C为仇所以二面角B-PA-C的大小为7i-arccos!.

19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。

(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

⑵进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为

603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水

果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.

【考点】概率、统计

【答案】(1)£；(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

45

(3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69

【解析】

⑴古典概型:设4事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，⑷=盘02•盘4=

3468,

|Q=C/36=9180,PQ4)=*

⑵一级果箱数:二级果箱数=3:1,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.

(3)设一级果平均质量为北二级果质量为其总体样本平均质量为玄

平均值：

9

11

X=诋=303.45,y=叁2乃=240.21

IZU4,0

"击0””)=篝善=28544

方差：

11

2

Sx=行iE®-£)2=而£疗一⑸2=£%『=120⑸+(%))

乙U_L乙U

11、

=忘£(%-步尸=—Sy?-(y)2=>£%?=48⑸+(y)2)

410410

2

Sz=击£(々一Z)=焉/一3)2=击(£*+EW)-3)2=1426.46

预估：平均质量=u亚丝=287.69

136

22

20.在平面直角坐标系％Oy中，已知点4为椭圆八2+一=1上一点，&、尸2分别为

62

椭圆的左、右焦点。

(1)若点4的横坐标为2,求的长；

(2)设r的上、下顶点分别为a、M2,记44F/2的面积为Si，41MlM2的面积为$2,

若SiNS2,求|。4|的取值范围

(3)若点4在％轴上方,设直线4F2与广交于点B,与y轴交于点K,Ka延长线与「交于

点C,是否存在％轴上方的点C,使得耳彳+F^B+F^C=2(0+F^B+e

R)成立?若存在，请求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】解析几何

【答案】⑴"⑵(应，嗒］⑶c(—?亨)

【解析】⑴设4(2，y),因为点4为椭圆八三+q=1上一点,则与+《=1,得

6Z6Z

22

V=-o

/3

10

又Fi（—2,0）,所以|4川=J（2—（―2））2+（y—0）2二手

（2）设4（%，y）,%yW0,则S[=211yl=2\y\,S2=^\M1M2\\x\=V2|x|

2

因为Si>S2,即21yl>V2|%|,即2y2>x,

又9+?=L所以2y2>6-3y2,得：<y2<2

所以|。4|=yjx2+y2=7（6-3y2）+y2=J6-2y2,所以|。4|的范围是

(3)设2(打,%),%>0,B(x2,y2),由图像对称性,得4、C

关于y轴对称,所以C(—又&(—2,0),F2(2,0),所以

FM=（%I+2，%）,03=（%2+2少2），&。=

（一%1+2，％）,

所以+F]B+F1c=（不+6少2+2%）;

同理可+取+F^C=（x2-6>y2+2yt）

因为瓦1+F\B+F\C=2（0+&+豆）（2eR）,所以瓦彳+庭+

宿/可+可+跖

（劣2+6）（沙2+2防）=（电一6）（1/2+2yl）

所以+2%=0,或獴二？；_°6（无解）

22

设直线NF2:%=my+2,与椭圆厂:土+匕=1联立得，（m?+3）y2+4my—2=0

62

dy/2=—2比=品西愿

则J,4m倚徵-g，倚月-丁，

（先+了2=—%=-/

由%1=my^+2,得%1=£所以C（一

11

21.记M(a)={tIt=/(%)—f(a>x>a},L(a)={t\t=/(%)—f(a),x<a}

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求证:对于任意aeR,都有M(a)c[-4,+00),且存在a,

使得—4eM(a).

⑶已知定义在R上/(%)有最小值,求证〃/(%)是偶函数〃的充要条件是“对于任意

正实数c,均有M(—c)=L(c)”.

【考点】导数

【答案】见解析

【解析】(1)由题意得：

M(l)={tIt=%2+1—2*%>1]=[0^+8)；£(1)=

2

(tIt=x+l—2<x<1]=[—1，+0°);

⑵证明:由题意知M(a)=[t\t=x3—3/—a3+3a2>x>a],

记g(%)=x3—3x2—a3+3a2,有g'(%)=3%2—6%=0=%=。或2

X(一0°f0)0(0,2)2(2,+8)

9(%)正0负0正

g(%)7极大值、极小值7

现对a分类讨论：

32

(1)当a22,有t=/一3/-a+3a,x>a为严格增函数，因为g(a)=0,

所以此时M(a)=[0,+8)c[—4，+R)符合条件；

(2)当0<a<2时,t=/—3/—+3a2,%>a先增后减，白而n=g(2)=

—+3a之一4

12

32

因为一+3a2=Q2(3-a)>0(a=。取等号)，所以"i讥=g(2)=-a+3a-

4>一4,

则此时M(Q)—[—Q3+3a2-&+8)c[—41+8)也符合条件；

(3)当Q<0时"=%3一3%2—Q3+3a2%>a,在go)严格增,在。2]严格减,在

[2>+8)严格增,tmin=min{g(a)，g(2)}=min{0^-a3+3a2-4},

因为(a)=-a3+3a2—4,当a<。时，(a)=-3a2+6a>0,贝()(a)>

(0)=-4

则此时M(a)=\tmin>+°°)c[一4，+8)成立；

综上可知,对于任意aeR,都有M(a)c[-4,+^=>],且存在a=0,使得-4G

M(a).

⑶证明：

⑴必要性:若/(%)为偶函数，

则M(—c)={t\t=/(%)-/(-c)»x>-c],L(c)=[t\t=/(%)-/(c>x<c]

当%>-c,t=/(%)-/(-c)=/(-%)-/(c),因为一％<c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=£(c),

其中M(-c)={t\t=/(x)->-c},L(c)={tIt=/(%)-f(c>%<c]

因为/(%)有最小值，不妨设/(a)=fmin=犯

由于c任意，令c>|a|则a£[-c'c]:.M(-c)最小元素为/(a)-/(-c)=m-

/(-c).

L(c)中最小元素为m-/(c)

又M(-c)=L(c)=>/(c)=/(-c)对任意c>|a成立二f(a)=/(-a)=m

若a=0,则/(c)=/(一c)对任意c>0成立O/(%)是偶函数

13

若aH0此后取cE(—|ap|a|