解三角形(重点)-2023年高考数学一轮复习考点微(新高考地区专用)(原卷版)

解三角形

【2022・全国•高考真题(理)】记&ABC的内角A,&C的对边分别为a,6,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴证明：2a2=b2+c\

25

(2)^a=5,cosA=—,求ABC的周长.

【2022・全国•高考真题】记ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2B

27r

⑴若c=7，求&

⑵求匚久的最小值.

c

解答三角高考题的策略：

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角

形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的

实例.另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三

角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.

1.方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，己知a,6和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

Cc

图形

AB\--'8A'F...为AB

AB

bsinA<a<b、7a>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个数一解两解一解一解无解

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有”,4c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+3+C=TT.

1.基本定理公式

（1）正余弦定理：在△A3C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外

接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

=Z72+c2—2bccosA；

abci

公式———2Rb2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c?=储+廿一2abcosC

.b1+C1-(i

cosA=---------------；

(1)a=27?sinA,b—2HsinB,c=27?sinC；2bc

二上-,，；c2+«2-b2

常见变形(2)sinA=,sinBsinC=-cosB=---------------；

2R2R2Rlac

a2+b2-c

cosC=---------------•

lab

（2）面积公式:

SAABC=—absinC=-bcsinA=—acsinB

△222

S^ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,八)

2.相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:Z?:c=sinA:sin6:sinC

②大边对大角大角对大边

A>6osinA>sin6ocosAvcosB

③合分比

a+b+c_a+bb+c_a+c_abe

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AA5C内角和定理：A+B+C=TI

®sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-^-acosC.

②—cosC=cos(A+5)=cosAcosB—sinAsinB；

③斜三角形中

「tanA+tanB八一»一

—tanC=tan(zA4+B)=-------------------otanAA+tan6+tanC=tanA4-tanB•tanC

1-tanA-tanB

④sin(*)=c°sJcos(j)=sin£

2222

⑤在AABC中，内角AB,C成等差数列=3=生,A+C=」.

33

3.实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

①北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

②北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

③南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，，为坡度）.坡度又称为坡比.

1.（2022・青海•模拟预测（理））在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=kab,

则△ABC的面积为J时，左的最大值是（）

2

A.2B.75C.4D.275

2.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

b2+c2=<r+bc,若sinBsinC=sin2A,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

3.（2022.青海.海东市第一中学模拟预测（理））在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,

b,c.已知a=2,sin2A+3sin2B=2asin2C,贝！JcosC的最小值为.

4.（2022・上海・位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一

个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻，3收到发自

静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播

速度是L5千米/秒.

（1）设A到尸的距离为x千米，用x表示8、C到P的距离，并求x的值;

（2）求静止目标尸到海防警戒线AC的距离.（结果精确到0.01千米）.

cosC-2cosA

5.（2022•全国•模拟预测）在ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,tanB=

sinC

a<b.

（1）求角B；

（2）若a=3,6=7,。为AC边的中点，求△BCD的面积.

6.（2022•河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2b+c=6,求ABC的面积.

7.（2022•全国•高三专题练习）在,ABC中，内角A,8,C对应的边分别为a,6,c,ABAC=6,

向量s=（cosAsinA）与向量r=（4,-3）互相垂直.

（1）求ABC的面积；

（2）若b+c=7,求。的值.

mW）

1.（2022•全国•iWj三专题练习）已知在AFC中，B=30,a=\[2,b=1>则A等于（）

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022・河南.南阳中学模拟预测（文））ABC中，若AB=AC=5,BC=6,点E满足

21

CE=mCA+gC3,直线CE与直线AB相交于点。，则。的长（）

A.巫B・姮C.巫D.画

5101010

3.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

°2-从=c2-&bc且bcosC=asin3,贝！JABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022・四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A,B处岛屿的距

离，小明在。处观测，A,B分别在。处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行

驶40海里至C处，观测2在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则A,8两处岛

屿间的距离为（）

A.20«海里B.40萌海里C.20（1+6）海里D.40海里

5.（多选题）（2022・福建・福州三中高三阶段练习）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且a=2,sinB=2sinC,以下四个命题中正确的是（）

A.满足条件的二ABC不可能是直角三角形

4

B.ABC面积的最大值为］

C.M是8C中点，九必的最大值为3

D.当A=2C时，A5C的面积为空

3

6.（多选题）（2022•广东•华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直

径为2道，A,B,C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正

确的是（）

A.当A,B为底面圆直径的两个端点时，=120°

B.△加8面积的最大值为百

C.当ABAB面积最大值时，三棱锥C-B4B的体积最大值为历史

3

D.当A8为直径且C为弧AB的中点时，M4+MB的最小值为小

7.（多选题）（2022•河北•沧县中学模拟预测）在ABC中，三边长分别为“，6,c,且而c=2,

则下列结论正确的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2A/2

C.a+b2+c2>4D.a+b+c<2y/2

8.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（文））在.ABC中，。为其外心，

正OA+2OB+OC=。，若BC=2,贝1。=.

n+h+c

9.（2022•河北•高三期中）已知一ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,p=、,

则ABC的面积S=5耳/一编⑦一与⑺一。）,该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿

基米德得出.若ABC的周长为15,（sinA+sin8）:（sin8+sinC）:（sinC+sin4）=4:6:5,则ABC

的面积为.

10.（2022・全国•高三专题练习（理））在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

a2+4b2=c2,则tanB的最大值为.

11.（2022.辽宁•沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的

一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”.湖畔有秀湖阁（4）和临秀亭（国两个标志性

景点，如图.若为测量隔湖相望的A、3两地之间的距离，某同学任意选定了与A、3不共

线的C处，构成,ABC,以下是测量数据的不同方案：

①测量ZA、AC、BC；

②测量ZA、DB、BC-,

③测量NC、AC.BC；

④测量ZA、NC、DB.

其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是.

12.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABC。中，已知

3

=2,cosZBCD=——.

⑴若/CBD=45。，求8。的长；

（2）若cos/AC。=，，且A8=4,求AC的长.

13.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在3ABe中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,且aABC的面积S=?(/+c2-〃).

⑴求角B的大小；

⑵若a+无b=2c，求sinC.

14.（2022•上海浦东新•二模）已知函数/（x）=fsinx-cosx«e©

（1）若函数/（"为偶函数，求实数f的值；

⑵当"白时，在4扉。中（A,B,C所对的边分别为a、6、c）,若/（2A）=2,c=3,且二A5c

的面积为2VL求。的值.

15.（2022・全国•高三专题练习）记,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosA_sin23

1+sinAl+cos2B

⑴若c=（27r求氏

⑵求二£的最小值.

c

16.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（文））在,ABC中，角A,B,C的对边分别为

b,c,a2—b2+—be=accosB.

⑴求角A；

（2）若bsinA=Gsin5,求ABC面积的最大值.

17.（2022・上海金山•二模）在ABC中，角A、3、C所对的边分别为。、b、c.已知

2）sinA-J3a=0,且8为锐角.

⑴求角B的大小；

⑵若3c=3a+亚，证明：ASC是直角三角形.

18.（2022・湖南・湘潭一中高三阶段练习）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

知（2a-c）sinA+（2c-a）sinC=2bsinB.

⑴求&

（2）若AABC为锐角三角形，且c=2,求ABC周长的取值范围.

19.（2022•上海黄浦•二模）某公园要建造如图所示的绿地Q4BC,04、OC为互相垂直的

墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，AZBAO=ZBCO.^ZBAO=a

TT

⑴当AB=4,a时，求AC的长；（结果精确到0.1米）

（2）当43=6时，求OABC面积S的最大值及此时a的值.

20.（2022•上海虹口•二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABC。的区域进行绿化，在

此绿化区域中，分别以/DCB和NDAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形

的圆弧均与相切.

(1)若AD=4历，AB=3y/31,BD=37(长度单位：米)，求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135。，则多大时，平行四边形绿地ABCD占地面

积最小？

［真题练)

1.(2021.全国•高考真题(理))魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其

中第一题是测海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，OE和尸G是两个垂直于水

平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”,

GC与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=()

,表高x表距表高x表距

表目距的差十表问表高

,表目距的差

表图x表距表IWJx表距_

C.+表距D.

表目距的差表目距的差一

2.(2021•全国・高考真题(文))在ABC中，已知3=120。，AC=M，AB=2,则3c=()

A.1B.&C.非D.3

3.（2021•浙江・高考真题）在ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中点，AM=2y/3,则

AC=,cos/LMAC—.

4.（2022•浙江•高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公

式，就是c2a2其中a",c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

某三角形的三边a=0,6=行,c=2,则该三角形的面积S=.

5.（2022・全国•高考真题（理））己知ABC中，点。在边8C上，

ZADB=120°,AD=2,CD=2BD,当空•取得最小值时，BD=_______.

AB

TT

6.（2022・上海•图考真题）在AABC中，ZA=y,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径

为

7.（2021.全国•高考真题（理））记二ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为

22

3=60。，a+c=3ac,贝U6=.

8.（2022•全国•高考真题（理））记，ABC的内角A氏C的对边分别为"c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—A）.

⑴证明：2a2=b2+c2;

25

（2）右a=5,cosA=T，求【ABC的周长.

9.（2022・全国•高考真题）记一的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知

cosA_sinIB

1+sinA1+cos2B

⑴若c=与，求8；

⑵求匚匕的最小值.

C

10.（2022・浙江•高考真题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

3

4a=GGCOSC=—.

⑴求sinA的值；

(2)若6=11,求二ABC的面积.

11.(2022・北京•高考真题)在ABC中，sin2C=73sinC.

⑴求“；

(2)若b=6,且ABC的面积为6g,求ABC的周长.

12.(2022•全国•高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分