第9章 整式乘法与因式分解（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1.掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.知识点01：幂的运算【高频考点精讲】1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法【高频考点精讲】1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.知识点03：乘法公式【高频考点精讲】1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解【高频考点精讲】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.【易错点剖析】落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.54一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（）A．a+a2＝a3 B．2a6÷a2＝2a3 C．2a2•3a3＝6a6 D．（3a3）2＝9a6解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意；B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意；C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意；D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意；故选：D．2．（2分）（2023秋•惠安县期末）已知（2023+x）（2024+x）＝25，则（2023+x）2+（2024+x）2的值为（）A．49 B．51 C．55 D．65解：∵（2023+x）（2024+x）＝25，∴（2023+x）2+（2024+x）2＝[（2023+x）﹣（2024+x）]2+2（2023+x）（2024+x）＝（2023+x﹣2024﹣x）2+2（2023+x）（2024+x）＝（﹣1）2+2×25＝1+50＝51．故选：B．3．（2分）（2023秋•晋江市期末）若等式（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1成立，则p的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1解：（3x+1）（2x﹣1）＝6x2﹣3x+2x﹣1＝6x2﹣x﹣1，∵（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1，∴p＝﹣1，故选：C．4．（2分）（2023秋•惠安县期末）若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5解：∵x2+mxy+25y2是一个完全平方式，∴mxy＝±2•x•5y，解得m＝±10．故选：A．5．（2分）（2023秋•偃师区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A． B．1 C． D．a+b解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，故选：C．6．（2分）（2024•邵阳模拟）下列运算正确的是（）A．3a+a2＝3a3 B．（﹣3a3）2＝6a6 C．a2⋅a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2解：∵3a与a2不是同类项，不能合并，∴A不正确，不符合题意；∵（﹣3a3）2＝（﹣3）2a3×2＝9a6，∴B不正确，不符合题意；∵a2⋅a3＝a2+3＝a5，∴C正确符合题意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴D不正确，不符合题意；故选：C．7．（2分）（2023秋•南安市期末）要使（x+m）（x﹣1）的结果不含x的一次项，则m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2解：（x+m）（x﹣1）＝x2﹣x+mx﹣m＝x2+（m﹣1）x﹣m，∵（x+m）（x﹣1）的结果不含x的一次项，∴m﹣1＝0，m＝1，故选：A．8．（2分）（2023秋•邻水县期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的，面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设大、小正方形边长为a、b，则有a2＝15，阴影部分面积为：，即a2﹣b2＝12，可得b2＝3，即所求面积是3．故选：A．9．（2分）（2023秋•滨海新区校级期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2＝1+1+4＝6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；故选：D．10．（2分）（2023春•市中区校级期中）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．3解：（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2＝m2﹣9+m2﹣4m+4＝2m2﹣4m﹣5，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，当m2﹣2m＝3时，原式＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•江汉区期末）已知a2+a＝1，则（3+a）（2﹣a）＝5．解：（3+a）（2﹣a）＝6﹣3a+2a﹣a2＝6﹣a﹣a2，∵a2+a＝1，∴原式＝6﹣（a2+a）＝6﹣1＝5．故答案为：5．12．（2分）（2023秋•龙山区期末）已知a2+b2＝13，ab＝6，则a+b的值是±5．解：∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，＝13+12，＝25，∴a+b＝±5．13．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是8．解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．14．（2分）（2023秋•浦东新区期末）如果二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值是±8．解：∵二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝x2±2•x•4+42，即mx＝±2•x•4，解得：m＝±8，故答案为：±8．15．（2分）（2023秋•瑶海区期末）给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给工赋不同的值，可计算得4a+2b＝16．解：当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，化简得4a+2b+c＝25，∵c＝9，∴4a+2b＝16，故答案为：16．16．（2分）（2023秋•南宁期末）某农户租两块土地种植沃柑．第一块是边长为am的正方形，第二块是长为（a+10）m，宽为（a+5）m的长方形，则第二块比第一块的面积多了（15a+50）m2．解：由题意得：（a+10）（a+5）﹣a2＝a2+5a+10a+50﹣a2＝a2﹣a2+5a+10a+50＝（15a+50）m2，∴第二块比第一块的面积多了（15a+50）m2，故答案为：（15a+50）．17．（2分）（2023秋•浦东新区期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝10．解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案为：10．18．（2分）（2023秋•双辽市期末）一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为5cm．解：设原来正方形的边长是xcm．根据题意得：（x+3）2﹣x2＝39，∴（x+3+x）（x+3﹣x）＝3（2x+3）＝39，解得x＝5．19．（2分）（2023秋•兴文县期中）若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．20．（2分）（2022秋•济宁期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是104020（答案不唯一）（写出一个即可）．解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•东莞市期末）计算：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．解：原式＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣4）＝x2﹣4x+4﹣x2+4＝﹣4x+8．22．（6分）（2023秋•番禺区期末）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．解：（1）3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）＝（m﹣2）（x2﹣y2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．23．（8分）（2023秋•龙山区期末）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴当a+b＝15，ab＝5时，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴当S1+S2＝64时，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．24．（8分）（2023秋•绥阳县期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．（1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（2）当x为何值时，多项式x2+6x﹣9有最小值，并求出这个最小值；（3）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，求a+b+c．解：（1）x2﹣6x﹣27＝（x2﹣6x+9）﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）x2+6x﹣9＝（x2+6x+9）﹣18＝（x+3）2﹣18≥﹣18，此时x+3＝0，即x＝﹣3，那么当x＝﹣3时，多项式x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；（3）a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a+b+c＝3+4+5＝12．25．（8分）（2023秋•碑林区校级期末）探究与实践问题发现：（1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形ABCD，由此可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；问题探究：（2）如图②，将边长为a的正方形APCD和边长为b正方形BPEF拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在PC上，连接AE，若AB＝8，△APE的面积为7.5，求CE的长度；问题解决：（3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且BG＝CG，EG＝FG，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）解：（1）根据题意得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）设AP＝m，BP＝n，∴AB＝AP+BP＝m+n＝8，∵△APE面积为7.5，∴mn＝7.5，即mn＝15，∵（m+m）2＝（m﹣n）2+4mn，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4ab＝64﹣60＝4，∴m﹣n＝2（负值舍去），则CE＝PC﹣PE＝m﹣n＝2；（3）该物业筹集的资金不够用，说明如下：设BG＝CG＝sm，EG＝FG＝tm，由题意得：BE＝BG+EG＝s+t＝80（m），两个三角形区域的面积之和为BG•CG+FG•EG＝（s2+t2）（m2），∴一共需要的资金为100（s2+t2）+30•2st＝（50s2+50t2+60st）元，∵s+t＝80，∴s2+t2＝（s+t）2﹣2st＝6400﹣2st，∴50s2+50t2+60st＝50（6400﹣2st）+60st＝（320000﹣40st）元，∵（s﹣t）2≥0，∴（s+t）2﹣4st≥0，即st≤＝1600，∴40st≤64000，即320000﹣40st≥256000＞250000，∴该物业筹集的资金不够用．26．（8分）（2023秋•湖里区期末）有五组整式①x2+x，x2+2，x﹣2；②x2+x﹣5，x2+x﹣8，3；③2x2+4x﹣3，2x2+1，4x﹣4；④3x2+x+7，3x2﹣4x+6，5x+1；⑤x2﹣x+1，x2﹣x﹣2，﹣2x+3．这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”．（1）若某个“平移整式组”中的第一个整式为4x2+3x﹣2，第二个整式为ax2+2（a≠0）．①直接写出a的值：4；②请求出该“平移整式组”中的第三个整式；（2）若a（x﹣5）2+b（a≠0），2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m为常数）是一个“平移整式组”，求b﹣c的值．解：（1）①根据“平移整式组”的定义得：a＝4；故答案为：4；②该“平移整式组”的三个整式分别为4x2+3x﹣2，第二个整式为4x2+2，第三个整式为3x﹣4；（2）∵a（x﹣5）2+b（a≠0）＝ax2﹣10ax+25a+b，2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m为常数）是一个“平移整式组”，∴a＝2，﹣10ax+25a+b﹣（﹣8x+8+c）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，整理得：（8﹣10a）x+（25a+b﹣c﹣8）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，∴8﹣10a＝﹣2m﹣2，25a+b﹣c﹣8＝2（m﹣5）2﹣8，把a＝2代入得：﹣2m﹣2＝﹣12，解得：m＝5，∴50+b﹣c﹣8＝﹣8，整理得：b﹣c＝﹣50．27．（8分）（2023秋•沈丘县期末）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）将图1中