2023届上海市高考模拟测数学试卷03（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市2023届高考数学模拟测试卷03一、填空题1．设，则___．〖答案〗〖解析〗，，，故〖答案〗为：.2．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗由，可知，解得，故〖答案〗为：.3．已知，均为单位向量，且，则与的夹角为__________．〖答案〗〖解析〗，.,,,与的夹角为.故〖答案〗为：.4．若直线过点，则的最小值为______．〖答案〗/〖解析〗∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故〖答案〗为：．5．若数列为等比数列，，，则______．〖答案〗〖解析〗根据等比数列的性质得，，所以，又，所以，所以所以,故〖答案〗为：.6．已知一组成对数据如下表所示．若该组数据的回归方程为，则______．〖答案〗〖解析〗由表格中的数据可得，，将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.故〖答案〗为：.7．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，不放回地依次随机摸出2个球，∴第1次可能摸到1白色球或1红色球∴第2次摸到红色球的概率为：，故〖答案〗为：.8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为______．〖答案〗/〖解析〗由得，则．又，则，故，，，故△ABC的周长为．故〖答案〗为：．9．已知，，，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，而单调递减，故，若，由可得，故，此时，满足要求，若，此时，不合要求，若，由可得，故，此时，不合要求.故〖答案〗为：10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，由题意得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，所以最多可以注入的水的体积为．故〖答案〗为：.11．已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点满足，称点在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，则实数的取值范围是_______〖答案〗6＜a＜24．〖解析〗设曲线上的动点为，则，化简得曲线C的方程为和.其轨迹为两段抛物线弧当时，∈[6﹣a，24﹣a]；当时，∈[6﹣a，24﹣a]；故若有，则．故〖答案〗为：6＜a＜24．12．设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因为，可得，所以，关于对称，由，可得，关于对称，因为，，，所以，则，因为，所以，，所以关于轴对称，所以，因为，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，令中，则，则，又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，结合函数是周期为的周期函数，综上可得在，上单调递增，，上单调递减，因为的最小正周期为，结合图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，令中，则，则，当，又，所以，当，又，所以，所以当时，，解得.又因为与均为周期函数，且8均为其周期，所以的x的取值范围是.故〖答案〗为：.二、单选题13．设，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若为奇函数，则，，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．14．对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（

）A． B．C．最小 D．最小〖答案〗D〖解析〗根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D.15．如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（

）A． B．C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH〖答案〗B〖解析〗若点与重合，点与点重合，则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，所以错误，A错误；当与重合时，由可得，当与不重合时，因为，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，又，所以，B正确；当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误；当与重合时，平面与平面相交，D错误.故选；B.16．等差数列的通项是，等比数列满足，，其中，且、、均为正整数.有关数列，有如下四个命题：①存在、，使得数列的所有项均在数列中；②存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中；③存在、，使得数列的某一项的值为2023；④存在、，使得数列的前若干项的和为2023.其中正确的命题个数是（

）个A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由题设条件可得，故.对于①：取，则，当时，，故均为中的项，而也为中的项，故①正确.对于②：若存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中，则从某项开始，所有的项均在中，且在中，而，故，若不是正整数，设且互质且，为的约数，故，故为的约数，因为互质，故为的约数，故只能取有限个整数，这与“从某项开始，所有的项均在中”矛盾，故必为正整数.设，则，而除以3的余数均为2，故除以3的余数为1即，为正整数.所以当时，,,,所以为中项，而为中项，故中所有的项均为中项，故②错误.对于③：因为，若存在、，使得数列的某一项的值为2023，则即，若，则，故，但不是3的倍数，矛盾，舍；若，则，故，但不是3的倍数，矛盾，舍；若，当为偶数时，故除以3的余数为2，同理除以3的余数为1，而，故除以3的余数也为1，故除以3的余数为1，故不成立，同理当为奇数时，除以3的余数为1，同理除以3的余数为2，而，故除以3的余数也为2，故除以3的余数为2，故不成立，故③错误.对于④：若存在、，使得数列的前若干项的和为2023，此时，若不是正整数，设且互质且，为的约数，故，且，故，因为互质，故与互质，故为的约数，故，所以，而，，，故，故或，若，则，结合，可得：，设，则，故为递增数列，而，故，所以，又，当为偶数时，除以3的余数要么为0，要么为1，此时不成立，故必为奇数即.所以，所以，故，当时，，当时，，当时，，因为上的增函数，故无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.故不成立.若，则，结合，可得：，由为递增数列及，故，所以，又，当为偶数时，除以3的余数要么为0，要么为1，此时不成立，故必为奇数即.所以，所以，故，当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.故不成立.故是正整数，同②，有，故，而，故，故或（因，舍）.故且，即，故为的约数，结合，可得，但，故无解，综上，所以不存在、，使得数列的前若干项的和为2023，故④错误故选：B.三、解答题17．设函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．解：（1），所以函数的最小正周期为，令，，解得，，所以单调递减区间为，.（2）将函数的图象向右平移个单位长度得．

因为，所以，所以，因此，所以当，即时，取最小值，即．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）证明：设BD与CE相交于点H，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因为，所以，即，又因为，，平面,所以CE⊥平面PBD；（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，所以，，设平面PCE的一个法向量，则，即，令，则，，于是，平面ACE的一个法向量为，则，由图形可知二面角P－CE－A为锐角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．19．下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．4681012202884（1）试建立与的线性回归方程；（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布为假设产品月利润=月销售量×销售价格成本．（其中月销售量=生产量）根据（1）进行计算，当产量为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？解：（1）设与的回归方程为，则，又，，，.则.，则回归方程为：.（2）设月利润的期望值为，则由题可得：，则在上单调递增，则当时，最大，.即件时，月利润的期望值最大，最大值为万元20．已知椭圆的左､右焦点分别为.（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；（2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；（3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得即，所以离心率.（2）由题意得椭圆①当时，由对称性得.②当时，，故，设，由得，两式作差得，代入椭圆方程，得（负舍），故③当时，根据椭圆对称性可知.（3）由题意得椭圆.设直线，由得.设，则，，，由，得.21．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.（1）函数，是否为函数﹖请说明理由；（2）若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；（3）若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.解：（1）是函数，理由如下，对任意，，，故（2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，由，即，得，又，，则，（构造时，等号成立），所以；（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，由，同理可得，又，，则，（构造时，等号成立），所以；综上所述：所求取值范围为；（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，此时，由为函数，得恒成立，即恒成立，设，则为上的减函数，，得对恒成立，易知上述不等号右边的函数为上的减函数，所以，所以的取值范围为，此时，法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，法2：，因为，当，，所以为上的增函数，由题意得，，.上海市2023届高考数学模拟测试卷03一、填空题1．设，则___．〖答案〗〖解析〗，，，故〖答案〗为：.2．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗由，可知，解得，故〖答案〗为：.3．已知，均为单位向量，且，则与的夹角为__________．〖答案〗〖解析〗，.,,,与的夹角为.故〖答案〗为：.4．若直线过点，则的最小值为______．〖答案〗/〖解析〗∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故〖答案〗为：．5．若数列为等比数列，，，则______．〖答案〗〖解析〗根据等比数列的性质得，，所以，又，所以，所以所以,故〖答案〗为：.6．已知一组成对数据如下表所示．若该组数据的回归方程为，则______．〖答案〗〖解析〗由表格中的数据可得，，将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.故〖答案〗为：.7．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，不放回地依次随机摸出2个球，∴第1次可能摸到1白色球或1红色球∴第2次摸到红色球的概率为：，故〖答案〗为：.8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为______．〖答案〗/〖解析〗由得，则．又，则，故，，，故△ABC的周长为．故〖答案〗为：．9．已知，，，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，而单调递减，故，若，由可得，故，此时，满足要求，若，此时，不合要求，若，由可得，故，此时，不合要求.故〖答案〗为：10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．〖答案〗〖解析〗设球的半径为，由题意得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，所以最多可以注入的水的体积为．故〖答案〗为：.11．已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点满足，称点在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，则实数的取值范围是_______〖答案〗6＜a＜24．〖解析〗设曲线上的动点为，则，化简得曲线C的方程为和.其轨迹为两段抛物线弧当时，∈[6﹣a，24﹣a]；当时，∈[6﹣a，24﹣a]；故若有，则．故〖答案〗为：6＜a＜24．12．设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因为，可得，所以，关于对称，由，可得，关于对称，因为，，，所以，则，因为，所以，，所以关于轴对称，所以，因为，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，令中，则，则，又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，结合函数是周期为的周期函数，综上可得在，上单调递增，，上单调递减，因为的最小正周期为，结合图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，令中，则，则，当，又，所以，当，又，所以，所以当时，，解得.又因为与均为周期函数，且8均为其周期，所以的x的取值范围是.故〖答案〗为：.二、单选题13．设，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若为奇函数，则，，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．14．对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（

）A． B．C．最小 D．最小〖答案〗D〖解析〗根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D.15．如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（

）A． B．C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH〖答案〗B〖解析〗若点与重合，点与点重合，则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，所以错误，A错误；当与重合时，由可得，当与不重合时，因为，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，又，所以，B正确；当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误；当与重合时，平面与平面相交，D错误.故选；B.16．等差数列的通项是，等比数列满足，，其中，且、、均为正整数.有关数列，有如下四个命题：①存在、，使得数列的所有项均在数列中；②存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中；③存在、，使得数列的某一项的值为2023；④存在、，使得数列的前若干项的和为2023.其中正确的命题个数是（

）个A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由题设条件可得，故.对于①：取，则，当时，，故均为中的项，而也为中的项，故①正确.对于②：若存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中，则从某项开始，所有的项均在中，且在中，而，故，若不是正整数，设且互质且，为的约数，故，故为的约数，因为互质，故为的约数，故只能取有限个整数，这与“从某项开始，所有的项均在中”矛盾，故必为正整数.设，则，而除以3的余数均为2，故除以3的余数为1即，为正整数.所以当时，,,,所以为中项，而为中项，故中所有的项均为中项，故②错误.对于③：因为，若存在、，使得数列的某一项的值为2023，则即，若，则，故，但不是3的倍数，矛盾，舍；若，则，故，但不是3的倍数，矛盾，舍；若，当为偶数时，故除以3的余数为2，同理除以3的余数为1，而，故除以3的余数也为1，故除以3的余数为1，故不成立，同理当为奇数时，除以3的余数为1，同理除以3的余数为2，而，故除以3的余数也为2，故除以3的余数为2，故不成立，故③错误.对于④：若存在、，使得数列的前若干项的和为2023，此时，若不是正整数，设且互质且，为的约数，故，且，故，因为互质，故与互质，故为的约数，故，所以，而，，，故，故或，若，则，结合，可得：，设，则，故为递增数列，而，故，所以，又，当为偶数时，除以3的余数要么为0，要么为1，此时不成立，故必为奇数即.所以，所以，故，当时，，当时，，当时，，因为上的增函数，故无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.故不成立.若，则，结合，可得：，由为递增数列及，故，所以，又，当为偶数时，除以3的余数要么为0，要么为1，此时不成立，故必为奇数即.所以，所以，故，当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.当时，，当时，，当时，，同理无正整数解.故不成立.故是正整数，同②，有，故，而，故，故或（因，舍）.故且，即，故为的约数，结合，可得，但，故无解，综上，所以不存在、，使得数列的前若干项的和为2023，故④错误故选：B.三、解答题17．设函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．解：（1），所以函数的最小正周期为，令，，解得，，所以单调递减区间为，.（2）将函数的图象向右平移个单位长度得．

因为，所以，所以，因此，所以当，即时，取最小值，即．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）证明：设BD与CE相交于点H，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因为，所以，即，又因为，，平面,所以CE⊥平面PBD；（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，所以，，设平面PCE的一个法向量，则，即，令，则，，于是，平面ACE的一个法向量为，则，由图形可知二面角P－CE－A为锐角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．19．下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．4681012202884（1）试建立与的线性回归方程；（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，