2024届上海华东师大二附中高考数学一模试卷含解析

2024届上海华东师大二附中高考数学一模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，=1—i,则彳=（）

Z

2.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

3.已知。：cosxusinl/+y],4：x=y则o是0的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.设复数z满足z-iz=2+i（i为虚数单位），贝！Jz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知数列满足：二二二日、：.若正整数二（二25,使得

I;*1:--二==二；二」二I成立，则二=（）

A.16B.17C.18D.19

6.已知aeR,bcR,贝!直线ax+2y—l=0与直线（a+l）x—2ay+l=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.在正方体ABCD—ABiG，中，点P、。分别为A3、4。的中点，过点。作平面a使用P〃平面a,4Q〃平

面a若直线用2c平面。=河，则号的值为（）

1112

A.—B.—C.—D.一

4323

8.已知机，”是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出四个命题：

①若。/3=m,”ua,n±m,则。_1〃；②若加_La,m_Lj3,则。〃/?；

③若加〃八，mua,all（3,则〃〃，；④若〃?J_a,nL/3,mLn,则。J■,

其中正确的是（）

A.①②B.③④C.①④D.②④

9.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称

为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并

且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一

个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54"的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）

111

“64〃

A.47rB.167rC.36"D.——

3

10.已知根，〃是两条不重合的直线,a是一个平面，则下列命题中正确的是（）

A.若m/la,n/la,则相〃〃B.若mlla,〃ua,则加〃〃

C.若〃mLa,贝!l〃//aD.若m_Le,nlla,则根_L〃

（）[25

已知数列｛见｝满足：a=\

11.n16（”eN*））若正整数上（左25）使得a；+…+=a1a2….成

**

立，则左=（）

A.16B.17C.18D.19

12.在区间[-1内上随机取一个实数左，使直线丁=左（4+3）与圆好+/=1相交的概率为（）

11C.比D.正

A.-B.-

2424

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在直四棱柱ABC。-Age；。中，底面ABC。是平行四边形，点E是棱8片的中点，点厂是棱CQ靠近

G的三等分点，且三棱锥A-AEP的体积为2,则四棱柱A3CD-A4G，的体积为

14.将函数/(x)=sin2x的图像向右平移TT丁个单位，得到函数g«)的..图像，则函数y=/(x)-g(x)在区间0TC,-上

6L2_

的值域为.

15.在四棱锥尸—A5CD中，是边长为2G的正三角形，ABC。为矩形，AD=2,PC=PO=05.若四棱

锥尸-A5CD的顶点均在球。的球面上，则球。的表面积为.

16.若(2x+1)，=%+<?j(x+1)+G,(x+1)2H-F&(x+1)，>贝！Ia。+[+2a2+3a3+4a4+5%+6a§=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x+a|-|x-3|(aeH).

(1)若a=—1,求不等式/。)+1>0的解集；

(2)已知a>0,若/'(x)+3a>2对于任意xeR恒成立，求。的取值范围.

18.(12分)已知函数/(力=3X2一以+(a一1)1ng(x)=b—xlnx的最大值为L

(1)求实数分的值；

(2)当。>1时，讨论函数〃司的单调性；

(3)当a=0时,令"x)=2〃%)+g(x)+21nx+2,是否存在区间|m,乃仁(1,+8),使得函数1(%)在区间[肛"]

上的值域为[4(加+2),左("+2)]?若存在，求实数"的取值范围；若不存在，请说明理由.

22

19.(12分)已知椭圆。：工+3=1(。〉6〉0)的上顶点为3,圆。'：/+/=4与丁轴的正半轴交于点人，与。有

ab

且仅有两个交点且都在C轴上，欧1=也(。为坐标原点).

\OA\2

(1)求椭圆。的方程;

(2)已知点1,^］，不过。点且斜率为的直线/与椭圆C交于两点，证明：直线DM与直线DN的斜

率互为相反数.

114

20.(12分)在①&=&，②------③风=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

d?1^2

已知等差数列｛«„｝的公差为d(d>0),等差数列也｝的公差为2d.设4,纥分别是数列｛%｝,也｝的前〃项和，且

4=3,&=3,,

(1)求数列｛%｝,｛2｝的通项公式；

3

(2)设c“=2%+厂厂，求数列｛g｝的前〃项和S”.

—+1

21.(12分)如图所示,在四棱锥尸-A5CD中，底面A6C。是棱长为2的正方形，侧面上4。为正三角形,且面PAD±

面ABCD,及尸分别为棱钻,尸C的中点.

(1)求证：E列平面PAD；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

22.(10分)已知｛为｝是公比为q的无穷等比数列，其前几项和为S“，满足%=12,.是否存在正整数3

使得工>2020?若存在，求上的最小值；若不存在，说明理由.

从①q=2,②q=g,③q=-2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

111+z1+z11.

z1-1（l-zj（l+zj222

-11

所以，z=——i.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

2、B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

故导线长度约为——x30=20乃土63（厘米）.

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

3、B

【解析】

根据诱导公式化简sin|^|+yj=cosy再分析即可.

【详解】

兀、JrjJTTTjTC

-+ykcosy，所以g成立可以推出p成立，但〃成立得不到q成立，例如cos-=cos—中—,

（NJJ55J

所以P是g的必要而不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.

4、A

【解析】

由复数的除法运算可整理得到z,由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.

【详解】

2+/_(2+，)(1+，)_1+3/_13.

=

由z—zz2+i得：1-i~(l-z)(l+z)-222?

・•.z对应的点的坐标为位于第一象限.

故选：A-

【点睛】

本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.

5、B

【解析】

由题意可得二=二・=二.=二，=二，=二，二'=二，•匚•二一二-二=：'-?=",口d时，二1匚....二

将二换为二-1,两式相除，Oj^OD^-Oa+J,口4

累加法求得二;+匚.+…+口；=匚二+：-二：+二一J即有1

二;+二；+…+二：="二工+：-二，+二C-16,结合条件，即可得到所求值.

♦-5=C:.；+

【详解】

解：二二二［--三一八二6二*),

I-；一：•-♦—二7一，■,--

口一工,

_:_；=24

两式相除可得二『二二-,

顺2=口3-口a"口4

由口｝=dy—四+J,

—FT_FT_i_1

可得二;+匚+-+Z；=ZR-二，十二-：

且—,—;•-

正整数二二;时，要使得二-二--二=二二:二］成立，

则-二一.一?=二二..,

则二=r,

故选：z.

【点睛】

本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数

列相关的方程，本题属于难题.

6、B

【解析】

由两直线垂直求得则。=0或。=3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，"直线ax+2y-l=0与直线(«+l)x-lay+1=0垂直”

则a(a+l)+2x(—2a)=。，解得。=0或a=3,

所以“直线ax+2y-l^0与直线(a+l)x—2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故选B.

【点睛】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时

熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

7、B

【解析】

作出图形，设平面a分别交42、G2于点E、F,连接£>E、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、QG,

连接AC交与。于点N,推导出4P〃GG,由线面平行的性质定理可得出GG〃。/7,可得出点歹为GA的中点,

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得房的值.

JVLD}

【详解】

如下图所示：

设平面a分别交4A、GA于点E、F,连接。E、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、QG,连接&G交

B〔D［于苴N,

四边形ABC。为正方形，P、G分别为45、CD的中点，则曲力CG且BP=CG,

四边形3CGP为平行四边形，且PG=8C,

B.CJIBC且Bg=BC,PGgG且PG=Bg,则四边形BgGP为平行四边形，

B.PUCfi,4P〃平面a,则存在直线au平面a,使得用刊/a,

若GGu平面a,则Ge平面a,又平面a,则CDu平面1，

此时，平面a为平面CD2C，直线4。不可能与平面a平行，

所以，。0(2平面£，，(716〃。，.・.。0〃平面£,

GGu平面CDRG,平面CDD［C］「平面a=DF,：.DFUCfi,

QF//DG,所以，四边形CjGDF为平行四边形，可得£石=。6=3。。=；。1。1，

11MD,1

L

.・./为G。的中点，同理可证E为42的中点，BREF=M,:.MDx=-DxN=-BxDi9因此，—=

z,4j

故选：B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面a与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

8、D

【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根

据面面垂直的判定定理可判断④.

【详解】

对于①，若。0=ni,ncza,n_Lm,a,£两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若加，a,m±j3,则。〃尸，故②正确；

对于③，若加小，mua,a//j3,当〃u〃，则九与夕不平行，故③错误；

对于④，若加_1_。，H±/?,mLn,则。-L，，故④正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

9、C

【解析】

设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2nR2+2TIRx2R=54»，解得球的半径R=3,再

代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2汽即+2iRx27?=54"，

解得R=3,

所以该球的体积为厂==-xx33=36乃.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

10、D

【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

【详解】

解：选项A中直线加，〃还可能相交或异面，

选项B中祖，n还可能异面，

选项C,由条件可得〃//a或〃ua.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

11、B

【解析】

计算+…+a；=an+l—a6+n—5,故“「+a2~+...+ak~=ak+l+A：-16=ak+l+1,解得答案.

【详解】

当“26时，=即4；=%+1-4+1，且4=31.

故+cij"+...+a；=(%—4)+(/—%)+.••+(%+i—"—5=tz;;+1—4+“—5,

aj+a2-+...+a：=ak+i+Z—16=ak+1+1,故％=17.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.

12、D

【解析】

利用直线丁=左(％+3)与圆/+/=1相交求出实数上的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【详解】

由于直线丁=左(％+3)与圆好+丫2=1相交，则/^<1,解得—受〈女〈立.

“2+144

9①

因此，所求概率为D彳、历.

r=-----------=-----

24

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12

【解析】

由题意，设底面平行四边形A3CD的=且边上的高为力，直四棱柱AB。-A耳的高为//,分别表

示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】

由题意，设底面平行四边形ABC。的AB=。，且边上的高为沙，直四棱柱A3CD-4用GA的高为〃，

则直四棱柱ABCD-A4G。的体积为V=Sh=abh,

又由三棱锥的体积为〃“V…小"彳…得制=2，

解得abh=12,即直四棱柱的体积为12。

【点睛】

本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱

三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

rV31

14、--,1

2

【解析】

根据图像的平移变换得到函数g(x)的解析式，再利用整体思想求函数的值域.

【详解】

函数f(x)=sin2x的图像向右平移f个单位得g(x)=sin2(x--)=sin(2x--),

663

•*-y=/(%)—g(%)=sin2x-sin(2x--)=—sin2x+cos2x=sin(2x+—),

c»C冗冗4万

XG0,—2%H----€—

233T

G1

/.yG------,1.

2

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算

求解能力，求解时注意整体思想的运用.

15、287r

【解析】

做AO中点口，的中点G,连接PF,PG,FG,由已知条件可求出PE=3,PG=&§，运用余弦定理可求

NPFG=120,从而在平面尸尸G中建立坐标系，则尸,GG以及AR4D的外接圆圆心为。।和长方形ABC。的外接

圆圆心为。2在该平面坐标系的坐标可求，通过球心。满足。。1LEG,即可求出。的坐标，从而可求球

的半径，进而能求出球的表面积.

【详解】

解：如图做AQ中点产，的中点G,连接PF,PG,FG,由题意知

PF±AD,PG±BC,MPF=273xsin60=3,PG=J22-3=M

2

设APAD的外接圆圆心为。1,则。1在直线PF上且PO{=-PF

设长方形ABCD的外接圆圆心为。2,则。2在FG上且FO]=GO?.设外接球的球心为。

3222-191

在NPFG中,由余弦定理可知cosZPFG=---+-------=——，,NPFG=120.

2x3x22

在平面P尸G中，以口为坐标原点，以FG所在直线为x轴，以过尸点垂直于x轴的直

线为V轴，如图建立坐标系，由题意知，。在平面P尸G中且

故答案为：287r.

【点睛】

本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长

方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的

球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.

16、13

【解析】

由导函数的应用得：设/(X)=(2尤+1)6,g(x)=+%(x+1)+〃2(%+1)2+…+〃6(%+1)6,

所以尸(%)=12(2%+以，，(%)=%+2%(犬+1)+…+64(犬+1)5,又/(x)=g(x),所以r(x)=g'(x),即

12(2]+1)'=q+2aAx+1)+•••+64(尤+1)，，

由二项式定理：令x=0得：％+2%+3/+4%+5%+64,再由秋。)=/(。)，求出。o，从而得到

%+%+2a2+3a3+4%+5/+6%的;

【详解】

解：设/(x)=(2x+l)6,g(x)=/+4(%+1)+。2(兀+1)2+…+。6(%+1)6，

5r5

所以f\x)=12(2%+1),g(x)=q+2a2(%+1)+…+6«6(x+1),

又“x)=g(x),所以尸a)=g'(%),

即12(2%+1)，=q+24(x+1)+...+64(x+1)，f

取%=0得：q+2a2+3a3+4-ci4+5%+6&=12,

又g(0)=〃0),

所以4=1,

%+4+2a2+3a3+4a4+5a5+64=1+12=13,

故答案为：13

【点睛】

本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1){x[x<-l或%>1}；(2)(2,+00).

【解析】

(1)a=-1时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.

(2)。>0时，分类讨论去绝对值，得到/(x)解析式，由函数的单调性可得/(%)的最小值，通过恒成立问题，得

到关于«的不等式，得到«的取值范围.

【详解】

c1

—X—2,x<一

2

(1)因为〃二一1,所以/(%)=<3x—4,g«x<3,

x+2,x>3

x<Z——<%<3x>3

所以不等式/(力+1>。等价于2或2一一或

4[x+2+l>0

—%—2+1>03%—4+1>0

解得XV-1或%>1.

所以不等式/(力+1>0的解集为{x|x<—1或％>1}.

。a

—x—a—3,%<—

2

(2)因为〃>0,所以/(%)=<3%+〃一3,-"|4％43,

x+tz+3,x>3

根据函数的单调性可知函数“力的最小值为=-1-3,

因为〃尤)+3。>2恒成立，所以一1―3+3”>2,解得a>2.

所以实数a的取值范围是(2,内).

【点睛】

本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.

18、(1)Z?=0;(2)a=2时，”力在(O,"Q)单调增；1<。<2时，/(尤)在(aT1)单调递减，在(0,。—1),(1,+<»)

单调递增；a>2时，同理/(九)在(La—1)单调递减，在(0,1),(a—L”)单调递增；(3)不存在.

【解析】

分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当x=，时，g(x)取得极大值，也是最大值，

由=1+6=可得结果；°)求出了'(X)，分三种情况讨论4的范围，在定义域内，分别令/'(%)>0求得x

的范围，可得函数/(£)增区间，/'(x)<0求得x的范围，可得函数/(光)的减区间；(3)假设存在区间

[;n,«]c(l,+a)),使得函数歹(%)在区间回,〃]上的值域是[左(加+2)水("+2)],贝！J

F(yyj\—nj2—ynJrini-I-Q—1^(rn-I-

{2,，问题转化为关于x的方程xlnx+2=Mx+2)在区间(l,+8)内是否存在两

rI77I—zz—YILYITT++

个不相等的实根，进而可得结果.

详解：⑴由题意得g'(x)=Tnx—l,

令g")=0,解得x=J

当时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

所以当x=，时，g(x)取得极大值，也是最大值，

所以6=L解得5=0.

\ejee

(2)/(九)的定义域为(0,+8).

/，⑴=…+三

XXX

①a—1=1即a=2,贝！)/(力=(1)_,故/(尤)在(0,+8)单调增

②若。一1<1,而。>1,故1<。<2,贝!!当]€(«—1,1)时，/f(%)<0；

当xe（0,a-l）及时，

故“可在（a—1,1）单调递减，在（0,a—1）,（1,+8）单调递增.

③若a—1〉1,即a>2,同理/（%）在（La—1）单调递减，在（0,1）,（a—L+s）单调递增

（3）由（1）知/（%）=炉一xlnx+2,

所以F（x）=2x-lnx+l,令o（x）=F（x）=2x-lnx+l,则以'（%）=2-工>0对Vxe（l,+oo）恒成立,所以F（九）

在区间（1,内）内单调递增，

所以尸（力>小⑴=1>0恒成立,

所以函数b（可在区间（1,+8）内单调递增.

假设存在区间［m,〃仁（1,+<»）,使得函数F（x）在区间［狐n］上的值域是［上（加+2）,左（“+2）］,

F(m)=m2-mlnm+2=k{m+2)

则｛

F(n)=n2-nlnn+2=k(n+2)

问题转化为关于x的方程*_Hnx+2=左（％+2）在区间（1,+«））内是否存在两个不相等的实根,

x2-xlnx+2

即方程左=在区间（1,+8）内是否存在两个不相等的实根,

x+2

2_YinY+?/、7,/\x2+3%-4-21nx

令/?(%)='r~,xe(l,+8),贝岫(力=-----：~-5----,

、7x+2(%+2)

设p(x)=x2+3x-4-21ILY,xe(l,y),则p(x)=2x+3—2=l)°+2)〉0对\/%€(1,-1<0)恒成立,所

XX

以函数p（x）在区间（1,+8）内单调递增,

故P（X）>,⑴=0恒成立，所以"（£）>o,所以函数〃（可在区间。,+8）内单调递增，所以方程人工1生竺土2在

x+2

区间（L内）内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间海，〃旭（l,y），使得函数b（可在区间［机"］上的值域是［左（加+2）水（〃+2）］.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：（1）确定函

数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果

左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个

极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.

19、(1)工+乙=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)根据条件可得a=2,进而得到b=6,即可得到椭圆方程;

1

y=—x+m

设直线跖的方程为2

(2)Vy=-gx+m，联立

22，分别表示出直线DM和直线DN斜率，相加利用根与

—%।—-——11

[43

系数关系即可得到.

【详解】

解：(1)圆。'：/+y=4与。有且仅有两个交点且都在工轴上，所以。=2,

22

故椭圆C的方程为L+2L=1；

又需等3冬解得…43

1

y

2

(2)设直线MN的方程为丁=—+m,联立＜整理可得4炉—4mx+4m2-12=0,

则△=（—4加了―4x4（4病—12）=48（4—加2）＞o,解得—2vznv2,

设点/（%,%）,N（%2，%），

贝（]%]+=加，石％2=加2—3,

331313

---X,+771----—x.+m—

所以性%—5%—22121222

Xj+1x2+1Xj+1x2+1

2

+(zw-2)(%1+x2)+2m-3_3—苏+m_2m+2m-3

(%1+l)(x2+1)(x1+l)(x2+l)

故直线DM与直线DN的斜率互为相反数.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题.

20、(1)a“=n,b“=2n+l；(2)2n+1-3(，；+2)

2n+3

【解析】

方案一：⑴根据等差数列的通项公式及前"项和公式列方程组，求出内和d,从而写出数列｛4｝,也｝的通项公式;

(2)由第(1)题的结论，写出数列｛g｝的通项%=2"+】(3；-7工],采用分组求和、等比求和公式以及裂

212〃+12〃+3J

项相消法，求出数列｛%｝的前几项和s“.

其余两个方案与方案一的解法相近似.

【详解】

解：方案一：

(1)•.•数列｛4｝，｛d｝都是等差数列，且4=3,2=&，

2a+d=3fa,=1

・•.〈＜｝八一，解得L1

5q+l0d=9+6d[d=l

an=ai+(n-l)d=n,

bn=bx+(n-l)2J=2n+l

综上%=n,b〃=2〃+l

(2)由(1)得:

c〃3c〃3/111

2H---------------2H--------------

(2〃+l)(2〃+3)2⑵+12〃+3)

2

:.Sn=(2+2++(-----------)]

2n+l2n+3

21—

1-22(32n+3)

=2,+i35+2)

2"+3

方案二：

114

(1)•••数列｛%｝，也｝都是等差数列,且4=3,-.....,

CLyCl2^^2

2CL+d—3fa,=1

­.J解得)

4q