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文档简介
河北省秦皇岛市名校2022年中考数学四模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是()A.70° B.44° C.34° D.24°2.对于二次函数,下列说法正确的是()A.当x>0,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值-3C.图像的顶点坐标为(-2,-7)D.图像与x轴有两个交点3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=5,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连接CD,则△ACD的周长为()A.13 B.17 C.18 D.254.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=30°,⊙O的半径为6,则的长等于()A.π B.2π C.3π D.4π5.已知xa=2,xb=3,则x3a﹣2b等于()A. B.﹣1 C.17 D.726.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?这道题的意思是:今有若干人乘车,每三人乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问有多少人,多少辆车?如果我们设有辆车,则可列方程()A. B.C. D.7.下列四个实数中是无理数的是()A.2.5B.1038.如图,AB是⊙O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△BDA相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD·AB=CD·BD D.AD2=BD·CD9.下列运算正确的是()A.a3•a2=a6 B.(x3)3=x6 C.x5+x5=x10 D.﹣a8÷a4=﹣a410.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m<﹣1 B.m<1 C.m>﹣1 D.m>1二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.因式分解:a2b+2ab+b=.12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.13.如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为.14.如图,在5×5的正方形(每个小正方形的边长为1)网格中,格点上有A、B、C、D、E五个点,如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4,则可以连接_____.(写出一个答案即可)15.如图,反比例函数y=(x>0)的图象与矩形AOBC的两边AC,BC边相交于E,F,已知OA=3,OB=4,△ECF的面积为,则k的值为_____.16.分解因式:4m2﹣16n2=_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.18.(8分)如图,已知矩形ABCD中,连接AC,请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABC∽△CDE.(保留作图痕迹不写作法)19.(8分)抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴正半轴交于点C.(1)如图1,若A(-1,0),B(3,0),①求抛物线的解析式;②P为抛物线上一点,连接AC,PC,若∠PCO=3∠ACO,求点P的横坐标;(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点,连DA,DB,若∠BDA+2∠BAD=90°,求点D的纵坐标.20.(8分)我市某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:工人甲第几天生产的产品数量为70件?设第x天生产的产品成本为P元/件,P与的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?21.(8分)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.求证:△ACB≌△BDA;若∠ABC=36°,求∠CAO度数.22.(10分)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡比DE:EC=1:,高为DE,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中A、C、E在同一直线上.求斜坡CD的高度DE;求大楼AB的高度;(参考数据:sin64°≈0.9,tan64°≈2).23.(12分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.24.已知点P,Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点,以点P为圆心且经过点Q作⊙P,则称点Q为⊙P的“关联点”,⊙P为点Q的“关联圆”.(1)已知⊙O的半径为1,在点E(1,1),F(﹣,),M(0,-1)中,⊙O的“关联点”为______;(2)若点P(2,0),点Q(3,n),⊙Q为点P的“关联圆”,且⊙Q的半径为,求n的值;(3)已知点D(0,2),点H(m,2),⊙D是点H的“关联圆”,直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在⊙D的“关联点”,求m的取值范围.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】
易得△ABD为等腰三角形,根据顶角可算出底角,再用三角形外角性质可求出∠DAC【详解】∵AB=BD,∠B=40°,∴∠ADB=70°,∵∠C=36°,∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°.故选C.【点睛】本题考查三角形的角度计算,熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.2、B【解析】
二次函数,所以二次函数的开口向下,当x<2,y随x的增大而增大,选项A错误;当x=2时,取得最大值,最大值为-3,选项B正确;顶点坐标为(2,-3),选项C错误;顶点坐标为(2,-3),抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点,选项D错误,故答案选B.考点:二次函数的性质.3、C【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=5,根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知,EF为线段AB的垂直平分线,在Rt△ABC中,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB,所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.4、B【解析】
根据圆周角得出∠AOB=60°,进而利用弧长公式解答即可.【详解】解:∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°,∴的长==2π,故选B.【点睛】此题考查弧长的计算,关键是根据圆周角得出∠AOB=60°.5、A【解析】∵xa=2,xb=3,∴x3a−2b=(xa)3÷(xb)2=8÷9=,故选A.6、A【解析】
根据每三人乘一车,最终剩余2辆车,每2人共乘一车,最终剩余1个人无车可乘,进而表示出总人数得出等式即可.【详解】设有x辆车,则可列方程:
3(x-2)=2x+1.
故选:A.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示总人数是解题关键.7、C【解析】本题主要考查了无理数的定义.根据无理数的定义:无限不循环小数是无理数即可求解.解:A、2.5是有理数,故选项错误;B、103C、π是无理数,故选项正确;D、1.414是有理数,故选项错误.故选C.8、D【解析】
解:∵∠ADC=∠ADB,∠ACD=∠DAB,∴△ADC∽△BDA,故A选项正确;∵AD=DE,∴,∴∠DAE=∠B,∴△ADC∽△BDA,∴故B选项正确;∵AD2=BD•CD,∴AD:BD=CD:AD,∴△ADC∽△BDA,故C选项正确;∵CD•AB=AC•BD,∴CD:AC=BD:AB,但∠ACD=∠ABD不是对应夹角,故D选项错误,故选:D.考点:1.圆周角定理2.相似三角形的判定9、D【解析】
各项计算得到结果,即可作出判断.【详解】A、原式=a5,不符合题意;B、原式=x9,不符合题意;C、原式=2x5,不符合题意;D、原式=-a4,符合题意,故选D.【点睛】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.10、B【解析】
根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m>0,解之即可得出结论.【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=(-2)2-4m=4-4m>0,解得:m<1.故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,熟练掌握“当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b,所以a2b+2ab+b=b(a2+2a+1)再由完全平方公式(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2所以a2b+2ab+b=b(a2+2a+1)=b212、1.【解析】
∵AB=5,AD=12,∴根据矩形的性质和勾股定理,得AC=13.∵BO为Rt△ABC斜边上的中线∴BO=6.5∵O是AC的中点,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中位线∴OM=2.5∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=1故答案为113、2【解析】解:∵OA的中点是D,点A的坐标为(﹣6,4),∴D(﹣1,2),∵双曲线y=经过点D,∴k=﹣1×2=﹣6,∴△BOC的面积=|k|=1.又∵△AOB的面积=×6×4=12,∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣1=2.14、答案不唯一,如:AD【解析】
根据勾股定理求出,根据无理数的估算方法解答即可.【详解】由勾股定理得:,.故答案为答案不唯一,如:AD.【点睛】本题考查了无理数的估算和勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是,,斜边长为,那么.15、1【解析】
设E(,3),F(1,),由题意(1-)(3-)=,求出k即可;【详解】∵四边形OACB是矩形,
∴OA=BC=3,AC=OB=1,
设E(,3),F(1,),
由题意(1-)(3-)=,
整理得:k2-21k+80=0,
解得k=1或20,
k=20时,F点坐标(1,5),不符合题意,
∴k=1
故答案为1.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是会利用参数构建方程解决问题.16、4(m+2n)(m﹣2n).【解析】
原式提取4后,利用平方差公式分解即可.【详解】解:原式=4().故答案为【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.三、解答题(共8题,共72分)17、则不等式组的解集是﹣1<x≤3,不等式组的解集在数轴上表示见解析.【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.【详解】解不等式①得:x>﹣1,解不等式②得:x≤3,则不等式组的解集是:﹣1<x≤3,不等式组的解集在数轴上表示为:.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,熟知确定解集的方法“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.18、详见解析【解析】
利用尺规过D作DE⊥AC,,交AC于E,即可使得△ABC∽△CDE.【详解】解:过D作DE⊥AC,如图所示,△CDE即为所求:【点睛】本题主要考查了尺规作图,相似三角形的判定,解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法.19、(1)①y=-x2+2x+3②(2)-1【解析】分析:(1)①把A、B的坐标代入解析式,解方程组即可得到结论;②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.由CD=CA,OC⊥AD,得到∠DCO=∠ACO.由∠PCO=3∠ACO,得到∠ACD=∠ECD,从而有tan∠ACD=tan∠ECD,,即可得出AI、CI的长,进而得到.设EN=3x,则CN=4x,由tan∠CDO=tan∠EDN,得到,故设DN=x,则CD=CN-DN=3x=,解方程即可得出E的坐标,进而求出CE的直线解析式,联立解方程组即可得到结论;(2)作DI⊥x轴,垂足为I.可以证明△EBD∽△DBC,由相似三角形对应边成比例得到,即,整理得.令y=0,得:.故,从而得到.由,得到,解方程即可得到结论.详解:(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入得:,解得:,∴②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延长线于N.∵CD=CA,OC⊥AD,∴∠DCO=∠ACO.∵∠PCO=3∠ACO,∴∠ACD=∠ECD,∴tan∠ACD=tan∠ECD,∴,AI=,∴CI=,∴.设EN=3x,则CN=4x.∵tan∠CDO=tan∠EDN,∴,∴DN=x,∴CD=CN-DN=3x=,∴,∴DE=,E(,0).CE的直线解析式为:,,解得:.点P的横坐标.(2)作DI⊥x轴,垂足为I.∵∠BDA+2∠BAD=90°,∴∠DBI+∠BAD=90°.∵∠BDI+∠DBI=90°,∴∠BAD=∠BDI.∵∠BID=∠DIA,∴△EBD∽△DBC,∴,∴,∴.令y=0,得:.∴,∴.∵,∴,解得:yD=0或-1.∵D为x轴下方一点,∴,∴D的纵坐标-1.点睛:本题是二次函数的综合题.考查了二次函数解析式、性质,相似三角形的判定与性质,根与系数的关系.综合性比较强,难度较大.20、(1)工人甲第12天生产的产品数量为70件;(2)第11天时,利润最大,最大利润是845元.【解析】分析:(1)根据y=70求得x即可;(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式,再结合x的范围分类讨论,根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式,由二次函数的性质求得最值即可.本题解析:解:(1)若7.5x=70,得x=>4,不符合题意;则5x+10=70,解得x=12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件.(2)由函数图象知,当0≤x≤4时,P=40,当4<x≤14时,设P=kx+b,将(4,40)、(14,50)代入,得解得∴P=x+36.①当0≤x≤4时,W=(60-40)·7.5x=150x,∵W随x的增大而增大,∴当x=4时,W最大=600;②当4<x≤14时,W=(60-x-36)(5x+10)=-5x2+110x+240=-5(x-11)2+845,∴当x=11时,W最大=845.∵845>600,∴当x=11时,W取得最大值845元.答:第11天时,利润最大,最大利润是845元.点睛:本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用,解题的关键是理解题意,记住利润=出厂价-成本,学会利用函数的性质解决最值问题.21、(1)证明见解析(2)18°【解析】
(1)根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD即可;(2)利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可.【详解】(1)证明:∵∠D=∠C=90°,∴△ABC和△BAD都是Rt△,在Rt△ABC和Rt△BAD中,,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL);(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠ABC=∠BAD=36°,∵∠C=90°,∴∠BAC=54°,∴∠CAO=∠CAB﹣∠BAD=18°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,“HL”.22、(1)斜坡CD的高度DE是5米;(2)大楼AB的高度是34米.【解析】试题分析:(1)根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1:,高为DE,可以求得DE的高度;(2)根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度.试题解析:(1)∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米,坡度为1:,∴,设DE=5x米,则EC=12x米,∴(5x)2+(12x)2=132,解得:x=1,∴5x=5,12x=12,即DE=5米,EC=12米,故斜坡CD的高度DE是5米;(2)过点D作AB的垂线,垂足为H,设DH的长为x,由题意可知∠BDH=45°,∴BH=DH=x,DE=5,在直角三角形CDE中,根据勾股定理可求CE=12,AB=x+5,AC=x-12,∵tan64°=,∴2=,解得,x=29,AB=x+5=34,即大楼AB的高度是34米.23、(1)DE与⊙O相切,理由见解析;(2)阴影部分的面积为2π﹣.【解析】
(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°,进而得出答案;(2
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