2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：函数的图象

§2.8函数的图象

【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析

法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与

不等式解的问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.利用描点法作函数图象的方法步骤

(2)伸缩变换

a>l,横坐标缩短为原来的十倍，纵坐标不变

®y=fix)0«!<1,横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变

y=fi,ax).

。>1，纵坐标伸长为原来的。倍，横坐标不变，

②y=f(x)纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变’

y=af(x).

⑶对称变换

G、关于%轴对称,

①y=f(x)------------->y=一/U).

e彳、关于y轴对称,

②y—/(X)-------------=*—X)-

关于原点对称

③y=/@)尸一人一％)•

关于y=%对称

④y=(/(〃>0且〃W1)

y=logaX(〃>0aW1).

(4)翻折变换

保留%轴上方图象.

①y=/(X)将无轴下方图象翻折上去‘'一风谢•

保留y轴右边图象，并作其,

②产危)―关于y轴对称的图象—

【常用结论】

1.函数y=/")与＞=黄2〃一%)的图象关于直线x=a对称.

2.函数y=/(x)与＞=2/?一八2。-x)的图象关于点(〃，。)对称.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴函数为偶函数.(X)

(2)函数,=火1—x)的图象，可由y=/(一%)的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

(3)当x£(0,+8)时，函数y=|/(x)|与y=*动的图象相同.(X)

(4)函数》=/(%)的图象关于y轴对称即函数y=/(x)与＞=/(一%)的图象关于y轴对称.(X)

【教材改编题】

12,1<0,

'[的图象的是()

{X—1,x30

答案C

解析其图象是由y=f图象中x＜0的部分和y=x—1图象中xLO的部分组成.

2.函数y=/(x)的图象与＞=6＜的图象关于y轴对称，再把y=/(x)的图象向右平移1个单位长

度后得到函数y=g(X)的图象，则g(x)=.

答案院工+1

解析fix)=e-＞g(x)=e-(J:^=e-x+J«

3.已知函数加上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2硕x+t)<4的解集为(一1,2),

则实数t的值为.

答案1

解析由图象可知不等式一2勺(x+0<4即为式3)勺(x+力勺⑼,

故x+fG(0,3),

即不等式的解集为(一t,3-r),

依题意可得r=L

■探究核心题型

题型一作函数的图象

例1作出下列函数的图象：

(l)y=2r+1-l；

(2)y=|lg(x-l)|;

(3)y=x2-\x\—2.

解(1)将》=2£的图象向左平移1个单位长度，得到y=2"i的图象，再将所得图象向下平移

1个单位长度，得到y=2#i—1的图象，如图①所示.

(2)首先作出y=lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg(x—1)的图象，再

把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg(x—1)|的图象，如图②所

示(实线部分).

/-x—2

2,1.二’函数为偶函数，先用描点法作出［(),+8)上的图象，

{产十x-2,x<0,

再根据对称性作出(一8,0)上的图象，其图象如图③所示.

②③

【教师备选】

作出下列函数的图象:

⑴尸2一叫

(2)y=sin|x|.

解(1)先作出y=g｝的图象，保留y=与£图象中xNO的部分，再作出y=(J|x的图象中x>0

部分关于y轴的对称部分，即得y=R)乂的图象，如图①实线部分.

(2)当尤》。时，y=sin|R与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数，图象关于y轴对

称，其图象如图②.

思维升华图象变换法作函数的图象

(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.

(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象

变换作出，但要注意变换顺序.

跟踪训练1作出下列函数的图象：

(2)y=|/—4x+3].

2x—111

解(1»=一二丁=2+小，故函数的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上

XIXI.尤

平移2个单位长度得到，如图①所示.

(2)先用描点法作出函数y=f—4x+3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上

方的图象不变，如图②实线部分所示.

3

2

O|1\2,/3x

123%-1

题型二函数图象的识别

例2(1)(2022・百师联盟联考)函数兀i)=主^的I图象大致为(

-1

D

答案D

解析由题意知，人无)的定义域为R,

故式x)为奇函数，排除C；

八排除A；

穴2)=笔2<0,排除B.

(2)(2022-泉州模拟)已知函数於)=

Ox

Ox

答案B

exl—1,

解析函数加)=J

llOg2X,X>1,

e1,x20,

所以y=g(x)=/U—%)=

log2(l—x),x<0,

所以当x=0时，g(0)=e°—1=0,

故选项A,C错误;

当x20时，g(x)=er—l单调递减,

故选项D错误，选项B正确.

【教师备选】

（2022・长春模拟）函数y（x）=cos7tx+ln|2x|的大致图象是（）

答案C

解析因为«x）=cos7Lt+ln|2x|CrW0）,

所以八一x）=cos（—xr）+ln|-2x|=cosxr+ln|2无|=兀叽所以五%）是偶函数，其图象关于y轴对

称，故排除选项A；

Xl）=cos7i+ln2=-l+ln2<0,故排除选项B；

X2）=cos2n+In4=1+21n2>0,故排除选项D.

思维升华识别函数的图象的主要方法有：（1）利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域

等判断.（2）利用函数的零点、极值点等判断.（3）利用特殊函数值判断.

跟踪训练2（1）函数yu）=的大致图象为（

答案B

3「一3工3*一3七

解析易知定义域为（一8,）（）关于原点对称.人-）

0U0,+°°,x=（一无了?一=一〃),

则兀0是奇函数，其图象关于原点对称，排除A,

1Q

Al）=3—3=3>O,排除D,

当X-+8时，3*-+8,则人打一+8,排除C,选项B符合.

（2）如图可能是下列哪个函数的图象（）

A.y=2r-x2-l

2*sinn

y~4x+l

C.y=(x2~2x)ex

答案C

解析函数的定义域为R,排除D；

当尤<0时，y>0,A中，x=—1时，

3

y=2-1—1—1=—2<0,排除A；

B中，当sinx=0时，y=0,

•••y=25*皆.sin有x无数个零点，排除B.

题型三函数图象的应用

命题点1研究函数的性质

例3已知函数式x）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

A.八尤）是偶函数，单调递增区间是（0,+°°）

B.八尤）是偶函数，单调递减区间是（一8,1）

C.八尤）是奇函数，单调递减区间是（一1,1）

D.八尤）是奇函数，单调递增区间是（一8,0）

答案C

解析将函数五尤）=尤|尤|-2x

去掉绝对值，得

（X2--2X,X》0,

[—x2—2x,尤<0,

画出函数式x）的图象，如图所示，观察图象可知，函数本）的图象关于原点对称，故函数大尤）

为奇函数，且在（一1,1）上单调递减.

命题点2函数图象在不等式中的应用

例4若当xd(l,2)时，函数y=(x—的图象始终在函数y=logax的图象的下方，则实数。

的取值范围是

答案(1,2]

解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x—l)2和y=logax的图象.

由于当尤G(l,2)时，函数y=(x—的图象恒在函数y=log«x的图象的下方,

\a>\,

则、解得l<a<2.

[loga2^1,

命题点3求参数的取值范围

例5已知函数加)=(若方程y(x)=-2%+〃有两个不同的实数根，则实数

[log2%%,x>0,

a的取值范围是.

答案(一8,1]

解析方程次x)=-2x+〃有两个不同的实数根，即方程7(x)+x=—有两个不同的根，

等价于函数y=/(x)+x与函数y=—的图象有两个不同的交点.

f2x—x,

因为危)=

L10g2X—X,x>0,

2X,xWO,

所以>=/□)+%=

log2X,X>0,

作出函数y=fix)+x与y=~x+a的大致图象如图所示.

数形结合可知，当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y=/(%)+2x—〃有两

个不同的零点.

【教师备选】

已知奇函数八尤)在无时的图象如图所示，则不等式对⑴<0的解集为

答案(—2,-1)U(1,2)

解析..•求尤)<0,...尤和/(x)异号，

由于犬x)为奇函数，补齐函数的图象如图.

当xG(—2,-l)U(0,l)U(2,+8)时，1尤)>o,

当xd(—8,—2)U(—l,0)U(l,2)时，

本)<0,

不等式状尤)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).

思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象

可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

跟踪训练3(1)若函数<尤)=优一x—a(a>0,且有两个零点，则实数a的取值范围是

答案(1,+°°)

解析函数小)的零点的个数就是函数y=a'(a>0,且aWl)与函数y=x+a的图象的交点的个

数，如图，当a>l时，两函数图象有两个交点；当0<a<l时，两函数图象有一个交点.故«>1.

a>l0<«<1

(2)已知函数>=八尤)的图象是圆/十/二？上的两段弧，如图所示，则不等式兀0次一功一2彳

的解集是.

答案(-l,0)U(l,y[2]

解析由图象可知，函数五X）为奇函数，故原不等式可等价转化为人龙）＞一X.在同一平面直角

坐标系中分别画出＞=/（尤）与y=-x的图象，由图象可知不等式的解集为（一1,0）口（1,啦］.

课时精练

q基础保分练

1.函数人无）=7河的图象大致是（）

答案A

解析根据题意，函数人月=黯,

其定义域为{x|%WO且xW±l},

有八一X）=一端于=_的，

函数/（x）为奇函数，排除B,D,

.兀

z、sin&

又/%)=―:<0,所以排除C.

1116

x+3

2.为了得到函数y=lg一6的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

答案c

x~\~3

解析•；y=lg-j^-=lg(x+3)-l,

.,向左平移3个单位长度

..y=lgx----------------------

向下平移1个单位长度

y=lg(x+3)

y=lg（x+3）-l.

3.已知函数/U）的图象如图所示，则函数八尤）的解析式可能是（）

A.於）=（中—4、）国

B.»=(4t-4"")log2W

牛+尸

r

D.»=（4'+4--）log2M

答案D

解析由图知，"r）为偶函数，故排除A,B；

对于C,八x）＞0不符合图象，故排除C；

对于D,/（—x）=（4，+4r）log2|x|=/（x）为偶函数，且在区间（0,1）上，犬x）＜0,符合题意.

ax-1-b,—],

,，「、，的图象如图所示，则八一3）等于（）

{ln（x十〃），x--1

A.12B.laC.11D.—2

答案C

解析：式-1)=0,；.ln(—1+°)=0,

••一1(2~~1,・・。=2,

又〉=〃%+力过点(-1,3),

.*.2X(—1)+/?=3,:・b=5,

:・£-3)=­3〃+6=­6+5——1.

5.（2022.长沙质检）已知图①中的图象对应的函数为则图②中的图象对应的函数为

（）

A.y=>|)B.y=Af|)

C.尸|/WID.尸n尤i)

答案B

解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻

折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y=/-kl）.

6.下列函数中，其图象与函数於）=lnx的图象关于直线x=l对称的是（）

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2~x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为（尤，y）,则其关于直线x=l的对称点的坐

标为（2—尤，y）,由对称性知点（2—尤，y）在函数y（x）=lnx的图象上，所以y=ln（2—尤）.

方法二由题意知，对称轴上的点（1,0）既在函数&x）=lnx的图象上也在所求函数的图象上，

代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A,C,D.

7.（多选）对于函数元）=lg（|x-2|+l）,下列说法正确的是（）

A./U+2）是偶函数

B./U+2）是奇函数

C.兀0在区间（一8,2）上单调递减，在区间（2,+8）上单调递增

D.式龙）没有最小值

答案AC

解析/（x+2）=lg（|x|+l）为偶函数，A正确，B错误.作出八无）的图象如图所示，可知人x）

在（一8,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增；由图象可知函数存在最小值o,C正确，

D错误.

12—3xfx0,

一；1'方程IA无)一1|=2一m(，〃eR),则下列判断正确的

{—e%+1,x<0,

是()

A.函数段)的图象关于直线x=|对称

B.函数於)在区间(3,+8)上单调递增

C.当《7G(1,2)时，方程有2个不同的实数根

D.当初e(—1,0)时，方程有3个不同的实数根

答案BC

解析对于选项A,五4)=4,八-1)=1—e,

显然函数外)的图象不关于直线x=1对称；

对于选项B,—3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数次x)在区间(3,+8)上单调

递增，

作出函数y=|#x)—1］的图象，如图，

对于选项C,当机e(l,2)时，2—me(0,l),结合图形可知方程施0—1|=2—优(mGR)有2个

不同的实数根；

对于选项D,当加e(—1,0)时，2一me(2,3),结合图形可知方程|/(x)—1|=2—优(机eR)有4

个不同的实数根.

9.已知函数y=/(—x)的图象过点(4,2),则函数y=/(无)的图象一定过点.

答案(-4,2)

解析y=/(—x)与y=/(x)的图象关于y轴对称，

故>=/□)的图象一定过点(-4,2).

10.若函数於)=?二丁的图象关于点(1,1)对称，则实数。=.

答案1

.„ax—a-\~a—2,a—2

解析危)=-------:----=a+—7,

JX—1X—1

关于点(1,〃)对称，故。=1.

(X2--\-2X—1,

11.(2022.青岛模拟)已知函数则对任意％1，%2£R，若％2>0>为>

[x^—2x—l,x<0,

—X2,则於1)与五⑼的大小关系是.

答案於。勺3)

解析作出函数次X)的图象(图略)，

由图知人光)为偶函数，且在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

*.*0>Xl>—X2,

・,•加1)q-尤2)=大无2).

12.已知函数於)=|x—2|+1,g(x)=Ax若方程兀v)=g(x)有两个不相等的实根，则实数上的取

值范围是.

答案&1)

解析先作出函数加0=仅一21+1的图象，如图所示，当直线g(x)=fcc与直线A3平行时斜率

为1,当直线g(x)=日过A点时斜率为3，故/j>)=g(x)有两个不相等的实根时，%的取值范围

为Q,1).

[K能提升练

13.若函数负无)=(e^—“A的大致图象如图所示，则()

A.m>0,0<n<l

C.m<0,0<n<lD.m<0,n>\

答案B

解析令«x)=0,得已如=①即以x=ln〃,

解得x=\ln〃，

由图象知％=(ln«>0,

当相>0时，n>l,当初<0时，Q<n<l,故排除AD,

当机<0时，易知丫=6必是减函数，

当Xf+8时，y-0,兀r）f“2,故排除C.

14.（2022・济南模拟）若平面直角坐标系内A,8两点满足：（1）点A,8都在人x）的图象上；（2）

点A,8关于原点对称，则称点对（A,B）是函数八x）的一个“和谐点对”，（A,B）与（B,A）可

x2+2x,x<Q,

看作一个“和谐点对”.已知函数危）=（2、则於）的“和谐点对”有（

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案B

解析作出函数y=f+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象（如图中的虚线部分