专题07函数的性质（单调性奇偶性周期性）（考点归纳与十二大题型）

专题07函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【题型归纳目录】题型一：函数单调性区间与判断题型二：函数单调性的证明题型三：利用函数单调性比较大小，求不等式题型四：利用函数单调性求最值题型五：利用函数单调性求求参数题型六：函数奇偶性的判断与证明题型七：利用函数的奇偶性求值题型八：用奇偶性求解析式题型九：函数的周期性题型十：函数图像的分析与运用题型十一：函数的性质综合题型十二：恒成立与有解问题【【考点归纳】考点1：函数的单调性1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示要点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.2．证明函数单调性的步骤（1）取值：设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号：判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论.3．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.4．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数。列表如下：增增增增减减减增减减减增【小技巧】复合函数单调性可简记为“同增异减”。因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数。要点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性。（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数。6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。7．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解。（1）在上恒成立在上的最大值。（2）在上恒成立在上的最小值。【注意】实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题。考点2：基本初等函数的单调性1．正比例函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.2．一次函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.4．二次函数若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．考点3：函数的最值1．最大值（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得.那么，称M是函数的最大值．（2）几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标．2．最小值（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得.那么，称M是函数的最小值．（2）几何意义：函数的最小值是图象最低点的纵坐标．考点4：函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有.1．奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.2．用定义法判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数3．关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间和上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间和上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是减函数（增函数）.【【题型归纳】题型一：函数的单调性区间与判断【例1】（多选）如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函数图像与函数单调性的对应关系，结合图像即得解【详解】结合图像易知，函数在区间、上单调递减，故选：BD【例2】函数的单调递增区间是（）A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.【例3】下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()A．y＝x2－2 B．y＝C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2【答案】C【详解】A中，因为y＝x2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A不对；B中，因为y＝在（－∞，0）上为减函数，所以B不对；C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上为增函数，故C正确；D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在（∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D不对．故选：C【【方法技巧归纳】求函数单调区间的方法利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．【【变式演练】1．函数（）A．在内单调递增 B．在内单调递减C．在内单调递增 D．在内单调递减【答案】C【解析】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，故选：C.2．函数的单调减区间是（）A．， B．C． D．【答案】A【解析】因为的减区间为，又的图像是将的图像向右平移一个单位得到，即函数的单调减区间是，，故选A.3．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【详解】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A4．已知函数，则的单调递增区间为______.【答案】【详解】，解得.函数的对称轴为，开口向下，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.故答案为：5．函数的单调递增区间为__________.【答案】【详解】由题意可知，，当时，，单调递增区间为；当时，，此时函数恒为减函数，综上所述，函数的单调递增区间为，故答案为：.题型二：函数单调性的证明【例4】试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．【详解】f(x)＝2＋eq\f(2,x－1)，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．【例5】已知函数其中为常数且满足（1）求函数的解析式；（2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：，解得，的解析式为（2）证明：任取，则即故函数在区间(0，1)上是减函数.【【方法技巧归纳】利用定义证明函数单调性的步骤取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.定号：确定fx1－fx2的符号.结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.【【变式演练】1．设函数，.判断函数的单调性，并用定义证明；【答案】在上为增函数，证明见解析.【解析】任取且，，因为，所以，，所以，所以，所以在上为增函数；2．已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的值域．【答案】（1）函数在上是增函数，证明见解析；（2）.【解析】（1）函数在上是增函数.证明：任取，且，，，，，即，函数在上是增函数；（2）由（1）知函数在区间上是增函数，又，，所以函数在区间上的值域为.3．已知函数，且.（1）求实数的值；（2）判断在区间上的单调性并用定义证明.【答案】（1）1；（2）在区间上单调递减，证明见解析.【解析】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，其定义域为，在区间上单调递减.证明如下：任取，且，.因为，，且，所以，，，则，所以，故在区间上单调递减.4．已知函数，其中m为常数，且．（1）求m的值；（2）用定义法证明在R上是减函数．【答案】(1)1；(2)证明见解析.【分析】(1)将代入函数解析式直接计算即可；(2)利用定义法直接证明函数的单调性即可.【详解】(1)由题意得，，解得；(2)由(1)知，，所以R，R，且，则，因为，所以，所以，故，即，所以函数在R上是减函数.题型三：利用函数单调性比较大小，求不等式【例6】已知,则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，因为，所以，所以即，所以解集为：.【【变式演练】1．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（）．A． B．C． D．【答案】C【详解】因为函数是定义在的单调递增函数，且，所以，解得或．故选：C．2．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，所以,解得,所以实数a的取值范围是.故选：B.3．（多选）已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】因为函数，画出函数图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即解得，故选：BCD．4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．【解析】由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,8x－2>0，,x>8x－2，))解得2＜x＜eq\f(16,7).题型四：利用函数单调性求最值【例7】已知函数，，则此函数的值域是____.【答案】【解析】因为函数在区间上为增函数，当时，，即.因此，函数，的值域为.故答案为：.【例8】（多选）函数(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是（）A．最小值为 B．最大值为4C．无最大值 D．无最小值【答案】BD【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到．故选：BD【【方法技巧归纳】1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤（1）判断函数的单调性．（2）利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系（1）若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．（2）若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：（1）求最值勿忘求定义域．（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．【【变式演练】1．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.【答案】

【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即有当时，，而当时，，当时，，则，所以函数的最大值为，最小值为.故答案为：；2．函数，则的最大值为___________，最小值为___________．【答案】

1

【详解】因为函数在区间上为减函数，则即故最大值为1，最小值为故答案为：1；题型五：利用函数单调性求求参数【例9】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】按a值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：【例10】已知函数的最小值为2，则实数a=________.【答案】【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，当时，即，函数在时单调递减，因此，显然符合；当时，即时，，显然不符合；当时，即时，函数在时单调递增，因此，不符合题意，综上所述：，故答案为：【例11】已知函数(，)在时取得最小值，则＝________.【答案】36【详解】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：【【方法技巧归纳】函数单调性的应用函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.【【变式演练】1．若函数在区间上的最大值为，则实数（）A． B． C． D．或【答案】B【详解】函数，即，，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．故选：．2．如果函数在上是增函数，那么实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数为二次函数，对称轴为，故函数在单调递减，单调递增，因此：.故选：B3．已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．【答案】D【详解】函数，画出函数的大致图象，如图所示：函数在上单调递减，由图象可知：，解得：，故实数的取值范围是：.故选：D.4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】分类讨论，根据函数解析式得到函数在上的单调性，再根据已知列式可得结果.【详解】当时，在上单调递增，故在区间上单调递增，不合题意；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；综上，实数的取值范围为.故答案为：.5．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】.【解析】【分析】根据给定条件按与讨论的单调性作答.【详解】因函数在区间上是增函数，则当时，在R上单调递增，即，当时，若，有在上单调递增，，则有，解得，若，有在上单调递减，在上不可能递增，所以实数的取值范围是.6．一次函数是R上的增函数，且，（1）求；（2）若在单调递增，求实数m的取值范围；（3）当时，有最大值13，求实数m的值．【答案】(1)；(2)；(3)或.【解析】【分析】（1）设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式；（2）求得的解析式和对称轴方程，再由单调性可得，解不等式即可得到所求范围；（3）由的图象可得的最大值只能在端点处取得，解方程，加以检验即可得到所求值．【详解】(1)解：∵一次函数是R上的增函数，设．则，，解得或不合题意，舍去．．(2)解：由（1）得，，因为对称轴方程为，根据题意可得，解得．的取值范围为．(3)解：＝2x2+（1+2m）x+m，对称轴为x，当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，由于的图象开口向上，则的最大值只能为端点处的函数值，若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，此时＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上递减，符合题意；若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，此时＝2x2x在[﹣1，）递减，在（，3]递增，且13，符合题意．综上可得，m＝﹣12或m．题型六：函数奇偶性的判断与证明【例12】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．（3）；（4）.【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.（3）偶函数；（4）奇函数【详解】（1）函数的定义域为，，所以，函数为偶函数；（2）函数的定义域为，，则且，所以，函数为非奇非偶函数.（3）定义域为R，，为偶函数.（4）定义域为R，，为奇函数.【例13】已知函数（1）证明：为偶函数；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）解不等式【答案】(1)证明见解析；(2)为上的增函数，证明见解析；(3)【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】（1）证明：的定义域为，又，故为偶函数；（2）解：，所以为上的增函数，证明：任取，，且，∵，∴，又，∴，即，∴为上的增函数；(3)解：不等式，等价于即，∵为上的增函数，∴，解得，故不等式的解集为.【【方法技巧归纳】判断函数奇偶性的两种方法定义法：图象法：【【变式演练】1．（多选）下列说法正确的是（）A．若定义在上的函数满足，则是偶函数B．若定义在上的函数满足，则不是偶函数C．若定义在上的函数满足，则在上是增函数D．若定义在上的函数满足，则在上不是减函数【答案】BD【详解】对于A选项，取函数，则，函数的定义域为，，此时，函数为奇函数，A选项错误；对于B选项，若函数为定义在上的偶函数，对任意的，必有，因为，所以，不是偶函数，B选项正确；对于C选项，取函数，则，，，但函数在上不单调，C选项错误；对于D选项，假设函数是定义在上的减函数，则，这与题设矛盾，假设不成立，所以，函数在上不是减函数，D选项正确.故选：BD.2．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq\f(1,x2)；④f(x)＝x＋eq\f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．【答案】②③【详解】对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)，则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－f(x)，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．3．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数．【详解】（1）有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数；（2）当时，，，；当时，，，.所以函数为奇函数；（3）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；4．设函数对任意实数，都有，且时，，．（1）求证：是奇函数；（2）求在上的最大值与最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）令可得，再令结合奇函数的定义即可求证；（2）利用函数单调性的定义证明在上的单调性，由单调性即可得最值.【详解】（1）令，得，所以，令，得，所以，所以是奇函数．（2）设，则，所以，可得，即，所以在上是减函数，，，所以，所以在上的最大值为，最小值为.题型七：利用函数的奇偶性求值【例14】（1）若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；（2）已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.【答案】(1)eq\f(1,3)0(2)7【详解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函数f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴gf(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.【例15】若函数为偶函数，则_______________.【答案】2【详解】因为函数为偶函数，所以m2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：2【【方法技巧归纳】利用奇偶性求参数的常见类型及策略定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数即可求解.【【变式演练】1．已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（）A．2 B．6 C．2 D．6【答案】B【详解】是定义在上的奇函数，则，解得，当时，，所以.故选：B2．若函数在上是奇函数，则的解析式为______．【答案】【详解】在上是奇函数，，，．又，，即，．3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．【答案】【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，因为当时，，所以，，故答案为：2题型八：用奇偶性求解析式【例16】已知是定义在R上的奇函数，时，，则在，上的表达式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为时，，设，则，所以，又因为是定义在R上的奇函数，所以，故选：A.【例17】已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断并证明函数在上的单调性.【答案】（1）（2）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析【分析】（1）由题意列方程组求解（2）由单调性的定义证明【详解】（1），，即，

又函数是定义在上的奇函数，，，即

，

解得：，.（2）函数在上的单调递减，在上单调递增，

证明如下：取且，，

且，，即，

，即，函数在上单调递减，

同理可证得函数在上单调递增.【【方法技巧归纳】利用函数奇偶性求解析式的方法“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.要利用已知区间的解析式进行代入.利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.【【变式演练】1．已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________.【答案】【解析】当时，，则，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：.2．已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，．则函数的解析式为__________【答案】【解析】设，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以.所以函数的解析式为.故答案为：3．为偶函数，则___________.【答案】【分析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.【详解】由为偶函数，得，，不恒为，，，，故答案为：.4．已知函数为奇函数，则_______．【答案】0【分析】由奇函数定义，代入分析即得解【详解】因为为奇函数，所以，即，解得故答案为：05．已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求时，函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求【详解】解.(1)设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.(2)作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.题型九：函数的周期性【例18】（2022.全国卷）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．【例19】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则___________.【答案】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期的定义，得到，得到函数是周期为4的周期函数，进而求得的值，结合周期性，即可求解.【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，所以，即且，又由，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，因为，所以，，，所以，则.故答案为：.题型十：函数图像的分析与运用【例20】已知函数是奇函数．（1）求的值；（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）3（2）【详解】(1)设，则，所以．又因为为奇函数，所以，于是时，，所以．(2)函数的图像如图所示：要使在上单调递增，结合的图象知，所以，故实数a的取值范围是．【例21】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．（1）请在坐标系中补全函数f(x)的图象；（2）比较f(1)与f(3)的大小．【详解】（1）由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．（2）观察图象，知f(3)<f(1)．【例22】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))（1）在直角坐标系内画出f(x)的图象；（2）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．【解析】(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．【例23】函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.【详解】设，易知定义域为R,关于原点对称，因为，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.当时，，当时，，因此排除选项D，故选：A【例24】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)（1）求y(万元)与x(件)的函数关系式；（2）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【详解】（1）当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*)．（2）当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymaxx>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．【【方法技巧归纳】利用图象求函数最值的方法画出函数y＝fx的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.巧用奇、偶函数的图象求解问题依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.【【变式演练】1．已知函数，则（

）A． B．若，则或C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为【答案】BD【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可【详解】函数的图象如左图所示．，故A错误；当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；由图象可得，在上单调递增，故C错误；由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：BD．2．已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求时，函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求【详解】解.(1)设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.(2)作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）把函数图象补充完整，并写出函数的单调递增区间．【答案】（1）（2）（3）图象见解析；单调递增区间为和【详解】（1）是上的奇函数，，，；（2）当时，，，；又，；（3）图象如下图所示：结合图象可知：的单调递增区间为和.4．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】（1），（2）投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元【分析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.【详解】(1)依题意：可设，，∵，，∴，.(2)设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，依题意得：，即，令，则，，则，，所以当，即万元时，收益最大，万元.题型十一：函数的性质综合【例25】已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.【例26】若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，∴在上是减函数，又由是奇函数，则不等式可化为，∴，．故选：B．【例27】函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.【详解】设，易知定义域为R,关于原点对称，因为，所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.当时，，当时，，因此排除选项D，故选：A【【变式演练】1．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以因为时，是增函数，所以，所以.故选：A2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是()A．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2【答案】C【解析】因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故选C.3．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，，在递增，分别讨论，，，，，结合的单调性，可得的范围．【详解】函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且（1），可得，，在递增，若时，成立；若，则成立；若，即，可得（1），即有，可得；若，则，，可得，解得；若，则，，可得，解得．综上可得，的取值范围是，，．故选：B．4．若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解出时的解集，再根据偶函数图像关于轴对称，写出时的解集，即得整个函数的解集.【详解】由于函数是偶函数，所以，由题意，当时，，则；又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.故选：C.5．已知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明：在区间上是单调递减函数.【答案】（1）函数是偶函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据奇偶性的定义证明函数是定义域在上的偶函数；（2）用单调性的定义证明在区间上是单调递减函数.【详解】（1）解：函数是偶函数，证明如下：的定义域为，定义域关于原点对称，对任意，都有，所以函数是定义域上的偶函数；（2）证明：任取，且，则，因为，所以，，且，，所以，即，所以在区间上是单调递减函数.题型十二：恒成立与有解问题【例28】设函数，若对于任意的，恒成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【分析】由整理可得，则可转化问题为，进而利用基本不等式求解即可.【详解】由，则，因为，所以，则，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即实数m的取值范围是，故答案为：【例29】已知函数.（1）若，求证：函数在上单调递增；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用单调性的定义证明即可，（2）由于，所以将问题转化为恒成立，然后求出的最大值即可【详解】(1)依题意，，设，则因为，故，故，故函数在上单调递增；(2)依题意，，因为，故，则，若，则，则，故，解得，故实数m的取值范围为.【【变式演练】1．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】根据对任意的，总存在，使得，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为，所以函数的对称轴为，对任意的，记.记.由题意知，当时不成立，当时，在上是增函数，所以，记由题意知，所以，解得.当时，在上是减函数，所以，记，由题意知，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为:2．已知函数在上的最大值为3，最小值为．（1）求的解析式；（2）若，使得，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得.（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.【详解】(1)的开口向上，对称轴为，所以在区间上有：，即，所以.(2)依题意，使得，即，由于，，当且仅当时等号成立.所以.3．已知函数（1）求函数的解析式；（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一、由完全平方公式和代换法可得所求解析式；方法二、运用换元法可得所求解析式，注意函数的定义域；（2）求得f（x）的解析式，由题意可得在时有解．，由换元法和二次函数的最值求法，可得所求范围．【详解】(1)解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，则．由于，所以．代入原式有，所以．(2)∵，∴．∵存在使成立，∴在时有解．令，由，得，设．则函数的图象的对称轴方程为，∴当时，函数取得最小值．∴，即的取值范围为．【【过关检测】一、单选题1．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】不是偶函数；不是偶函数；是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，故选：C.2．已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围为（

）A．(－2，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，2)D．(－2，－1)∪(1，2)【答案】C【分析】根据图象，函数的奇偶性以及符号法则即可解出．【详解】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是．故选：C.3．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为故选：D．4．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，又是偶函数，因此不等式转化为，，，解得．故选：D．5．函数在，则满足的的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．【详解】解：由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，所以得，即，故选：D.6．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.7．已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可得函数在上单调递减，，且，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数为偶函数且在上单调逆增，，所以函数在上单调递减，，且，所以，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A.8．若函数是偶函数，函数是奇函数，则（

）A．函数是奇函数 B．函数是偶函数C．函数是偶函数 D．函数是奇函数【答案】C【分析】根据奇偶性的定义判断即可；【详解】解：因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；故选：C9．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.二、多选题9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函数图像与函数单调性的对应关系，结合图像即得解【详解】结合图像易知，函数在区间、上单调递减，故选：BD10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解.【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以为偶函数，且时，，由幂函数的性质知函数在上单调递增，故选项A正确；对B：，定义域为R，因为，所以为奇函数，故选项B错误；对C：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，且时，，由指数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C正确；对D：，定义域为R，因为，且，所以函数不具有奇偶性，故选项D错误.故选：AC.11．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（

）A．在上单调递减B．C．的图象与轴只有2个交点D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】根据已知条件，可得在上单调递减，且，从而对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确；对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确；对C：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项C错误；对D：由选项A、C可得的解集为，故选项D正确.故选：ABD.12．函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数B．是上的减函数C．在上的最小值为D．若，则实数的取值范围为【答案】CD【详解】解：取，，则，解得，令，则，即，函数是奇函数，所