数学（人教版选修22）练习活页作业（十五）

活页作业(十五)综合法及其应用1．已知a、b是不相等的正数，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，则x、y的关系是()A．x＞y B．y＞xC．x＞eq\r(2)y D．不确定解析：x2＝eq\f(a＋b＋2\r(ab),2)＝eq\f(a＋b,2)＋eq\r(ab)，y2＝a＋b＝eq\f(a＋b,2)＋eq\f(a＋b,2)，又eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(a、b为不相等的正数)，∴x2<y2，∴x<y.答案：B2．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq\f(a2＋b2,2)C．ab<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<ab<1解析：∵a≠b，∴a2＋b2>2ab，即eq\f(a2＋b2,2)>ab，可排除A、D.又eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a2＋b2,4)＋eq\f(a2＋b2,4)>eq\f(a2＋b2,4)＋eq\f(2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝1，故排除C，选B．答案：B3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案：B4．设e1、e2是两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.解析：A、B、C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．∴λ＝2，k＝6.答案：65．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最大的是________．解析：由0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，得a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.又a＞a2，b＞b2，知a＋b＞a2＋b2，从而a＋b最大．答案：a＋b6．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明：∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)．∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1(n≥2)．∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,an＋1)＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2.∴数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．(2)解：由(1)知，a1＋1＝6，an＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴an＝3×2n－1.7．下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2eq\r(3)a，b2＋3≥2eq\r(3)b相加得：2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2eq\r(3)a＋2eq\r(3)b，所以a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－a－eq\f(1,2)2≤0，故a(1－a)≤eq\f(1,4).(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd而eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，因a，b符号不确定而不一定成立，故应选C.答案：C8．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,x2＝ab，②,y2＝bc，③))由②③得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x2,b)，,c＝\f(y2,b).))代入①，得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．答案：B9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2).以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．解析：∵αβ＞0，|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2).∴|α＋β|2＝a2＋β2＋2αβ＞8＋8＋2×8＝32＞25.∴|α＋β|＞5.答案：①③⇒②10．已知a、b、u∈R＋，且eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．解析：a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)×(a＋b)＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(\f(b,a)×\f(9a,b))＝16，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)即3a＝b时取等号，若a＋b≥u恒成立，则u≤16.答案：(－∞，16]11．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f(π,3).③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．12．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1(1)求证：B1B∥平面D1AC(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1证明：(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝eq\r(2)，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所