北京东直门中学 高三数学理下学期摸底试题含解析

北京东直门中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2015?锦州二模）已知x、y满足约束条件则z=x+2y的最大值为（） A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2参考答案：D考点： 简单线性规划．专题： 不等式的解法及应用．分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，即，即A（0，1），此时z=0+2=2，故选：D．点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．2.如果函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】余弦函数的对称性．【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，∴3?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，故么|φ|的最小值为，故选：D．3.设曲线y=eax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，则a=（） A．0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 计算题；导数的概念及应用．分析： 根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=eax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，建立等式关系，解之即可．解答： 解：∵y=eax﹣ln（x+1），∴y′=aeax﹣∴x=0时，切线的斜率为a﹣1∵曲线y=eax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，∴a﹣1=2，即a=3．故选：D．点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．4.已知等差数列和等比数列的各项都是正数，且，，那么一定有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，沿DE把该三角形折成直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC，则∠ADC等于

（

）

A．150° B．135° C．120° D．100°参考答案：C略6.如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.（08年宁夏、海南卷文）已知集合，，则（

）A.(－1，1)

B.(－2，1)

C.(－2，－1)

D.(1，2)参考答案：【解析】∴答案：C8.若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0<a<1，且b>0

B．a>1，且b>0

C．0<a<1，且b<0

D．a>1，且b<0参考答案：C9.2018°是第(

)象限角．

A．一

B．二

C．三

D．四参考答案：C10.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是．参考答案：﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，当经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时最大值z=3×1﹣4×1=﹣1，故答案为：﹣112.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为

参考答案：13.一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积

.参考答案：14.（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．参考答案：因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，，所以球半径，所以球的表面积为。15.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是________．参考答案：【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12【答案解析】

解析：因为函数在区间上是减函数，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.【思路点拨】由函数在区间上是减函数，可知在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.16.a，b，c分别是△ABC的三边，a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是

．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，利用同角三角函数关系式可求sinA的值，结合三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵，∵A∈（0，π），∴，∴△ABC的面积．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．17.（3分）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．参考答案：1﹣【考点】：几何概型．【专题】：计算题．【分析】：本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．【解答】：解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．【点评】：本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：

一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．解答： 解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．19.已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）由题可得焦点坐标，利用椭圆的定义可得，由此得到椭圆的标准方程；（2）设出两条切线的直线方程，由切线的性质可得两切线的斜率相加0，再设出，，分别联立两切线与椭圆的方程，利用韦达定理得到，与，的关系，代入进行化简即可得到答案。【详解】（1）椭圆C的焦距为4，所以c＝2，左焦点F1（﹣2，0），右焦点F2（2，0），则PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，则椭圆C的方程为．（2）设PA：，则，所以设PB：，则，所以所以，为方程的两根，即．设，，联立有，，．同理联立，可得：，则．故直线AB的斜率是定值，。【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题。20.（本小题满分12分）已知数列(I)若，求x的取值集合D；(Ⅱ)当函数的定义域为(I)中的集合D时，设函数，求函数的值域。参考答案：21.设T是矩阵所对应的变换，已知且（1）设b>0，当△POA的面积为，，求a,b的值；（2）对于（1）中的a,b值，再设T把直线变换成，求c的值.参考答案：22.数列{an}满足a1=2，Sn=nan﹣n（n﹣1）（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；探究型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知求出Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2），两式相减得an=an﹣1+2，则数列{an}的通项公式an可求；（2）由an=2n，代入bn=，得到bn=，进一步可求出Tn．【解答】