湖北省十一校高三联考考后提升数学模拟训练一

湖北十一校2024届高三联考考后提升卷数学模拟训练一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，，由此可得选项.【详解】因为，所以，所以；又因为，所以，所以，又因为表示所有的奇数，表示部分奇数，所以；所以，故选：A.2.在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求复数，再根据共轭复数以及虚部的定义分析求解.【详解】根据题意可知，则，所以其虚部为.故选：B.3.已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过角的终边，求出角的正切值，利用同角三角函数基本关系把原式整理成分子分母同时除以，把的值代入即可求得答案.【详解】因为角的终边在函数的图象上，所以，.故选：C【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，考查齐次式的应用，考查同角三角函数的关系，属于基础题．4.的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题设中的向量关系可得是以为斜边的直角三角形，结合半径及可求，根据投影数量的定义可计算投影数量，从而可得正确的选项.【详解】由题意可得：，即：，即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，结合有为等边三角形，故，故，则向量在向量方向上的投影数量为.故选：D.5.已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出截面，判断截面为菱形，即可得出截面面积.【详解】如图，过点作的平行线，交于点，则为的中点，连接，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面即四边形．易得，所以四边形为菱形，连接，则，又，，所以截面面积为，故选：D．6.已知的展开式中常数项为20，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】将三项式转化为二项式，求出通项公式求解即可.【详解】，其通项公式为：，当时，，解得：.故选：A.7.已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答.【详解】设，则，由，得，所以，由，得，即，又，因此，而，于是，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：B【点睛】思路点睛：若点在椭圆上，则点的坐标必满足椭圆方程，借助整体思想进行计算可以简化整个运算过程，可起到四两拨千斤的效果．8.若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.【详解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函数在上单调递增，因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，可得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得，因为，所以.故选：A.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（）（参考数据：若（），则，，.）A.B.C.D.假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得，然后根据正态分布的性质逐个分析判断即可【详解】由题意可知，正态分布的.选项A，因为，所以，故A正确；选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，所以，故C错误；选项D，因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，又因为，故D正确.故选：ABD.10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C.当时，取得最小值 D.【答案】BC【解析】【分析】由题意得，结合等差数列求和公式可判断ABD；进一步有，由此可判断C.【详解】由题意可知，故B正确D错误；所以，故A错误；而，所以当时，取得最小值，故C正确.故选：BC.11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为D.当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对A：三角形的面积不变，点到平面的距离为，即可判断；对B：将所求角度转化为所成角，连接，取交点为，求得角度的最大值；考虑三角形中角度最小时的状态为点与重合，再求对应最小值即可；对C：分析点在不同平面下的轨迹，即可求得轨迹长度；对D：求得点的运动轨迹，再根据几何关系求的长度即可.【详解】对A：当在平面上运动时，三棱锥的底面为三角形，其面积为定值，又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值，故三棱锥的体积不变，A正确；对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：因为面，故面，又面，故；当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角；当点与点重合时，因为，故可得所成角为；当点异于点时，设所成的角为，则，故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小，此时，三角形为等边三角形，故可得；综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误；对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为；当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；又，又，故，，故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意；同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意；当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，；当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，；当点在平面上时，因为面//面，故与面所成角与与面所成角相等，因为面，连接，故；在三角形中，易知，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，故其轨迹长度为：；当点在面上，不满足题意；综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确；对D：取的中点分别为，连接，如下所示：因为//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段；在三角形中，；；；则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，故长度的取值范围是，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题综合考察立体几何中线面位置关系，以及角度，轨迹长度的求解；特别的对选项C，分别考虑点在不同平面下轨迹的情况，是解决问题的核心，属综合困难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，则____，使得的实数的取值范围是_____．【答案】①.4②.【解析】【分析】直接根据函数的解析式可得，再代入求值；对分和两种情况讨论，即可得答案；【详解】因为，所以，因此；当时，可化为，即显然恒成立，所以；当时，，解得；综上，.故答案为4；.【点睛】本题考查分段函数的性质和运用，考查运算求解能力，属于基础题.13.在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】根据条件得到，过球心作平面，则为等边三角形的中心，分别利用三角形的的中心求出的长度，再利用勾股定理求出外接球半径的平方，进而求出外接球的表面积.【详解】设菱形的对角线交点为，因为四边形为菱形，所以和均是边长为2的等边三角形，则，又因为，中，，，由余弦定理可得：，所以，过球心作平面，则为等边三角形的中心，因为，为公共边，所以，则有，因为，为等边三角形的中心，则，，在中，由，可得：，在中，，设四面体的外接球的半径为，则，所以四面体的外接球的表面积为，故答案为：.14.设数列满足，，若且数列的前项和为，则______．【答案】【解析】【分析】由可化为，由，可得，可求得，再将的通项展开裂项，利用裂项求和方法计算即得.【详解】因，设①，展开整理得：，对照，可得：，解得，故①式为：，因时，，即数列为常数列，故，，数列的前项和为：，．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列递推式型如，（为非零常数）的数列的通项求法和数列求和的裂项相消法,属于较难题.解题关键点有二，其一，对递推式的处理.可设展开整理后与对照，求得，，回代入原式，发现规律即得通项；其二，对于分式型数列通项的求和处理.要观察表达式特点，将其适当裂项，运用裂项相消法即可求得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图在中，，满足.（1）若，求的余弦值；（2）点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值；（2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值.【小问1详解】由题意可设，在中①在中②由①②可得，解得，则，解得.故.【小问2详解】，且C、M、D三点共线，所以，，故．，当且仅当时；所以.16.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，分组区间为，得到频率直方图（如图）．（1）求出频率直方图中a的值和这200人的平均年龄．（2）从第组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行回访，求这两人恰好属于不同组别的概率．（3）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组．若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）0.035，41.5岁（2）（3）没有99%的把握【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，可求得a的值；根据平均数的估计方法即可求得平均年龄；（2）根据分层抽样的比例可得第组中抽取的人数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案；（3）计算，根据独立性检验的基本思想，即可得结论.【小问1详解】由题意得，所以，平均数为，所以这200人的平均年龄为41.5岁．【小问2详解】由题意可知第组中人数的必为，故利用分层抽样的方法抽取5人，从第一组抽取2人，从第二组抽取3人．记从第一组抽取的2人为，从第二组抽取的3人为，则从这5人中随机抽取2人共共10种情形，其中两人恰好属于不同组别的共种情形，故所求的概率；【小问3详解】由题意知200人中属购买力强的人数占80%，有160人，故得列联表：

购买力强人群购买力弱人群合计青少年组10020120中老年组602080合计16040200提出假设：是否属“购买力强人群”与年龄无关．根据列联表中的数据，可以求得，所以没有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关．17.如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.（1）求证：直线平面；（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)【解析】【分析】(1)由BC∥AD，可证明平面平面(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量计算平面平面的法向量，利用法向量的夹角计算即可.详解】（1）因为四边形ABCE为矩形，所以BC∥AD.因为所以平面同理平面又因为，所以平面平面因为平面，所以平面（2）因为，，，所以平面因为平面，所以平面平面过点A作于点，则平面所以由,得，，以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,则，设平面的法向量为，则由得取其一个法向量为又平面的一个法向量为所以所以二面角BEGD的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，以及二面角大小的计算，属于中档题.18.已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.（1）求椭圆的标准方程；（2）不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率可得，由可得，即可得答案；（2）设点到直线的距离为，由题意及韦达定理可得在直线PQ斜率存在或不存在两种情况下的面积表达式，由基本不等式可得面积取最大值时需满足条件，即可得此时的值.小问1详解】设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得.所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设点到直线距离为.①直线的斜率不存在时.设直线的方程为，且，则，所以，当时等号成立.即当时，的面积最大，此时，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，由消去并整理可得.由题意知.由韦达定理，，则.又，所以，当且仅当时，等号成