新课标人教版聊城市阳谷县八级上期末数学试卷含答案解析

2014-2015学年山东省聊城市阳谷县八年级（上）期末数学试卷一、精心选一选（每题3分，共36分）1．下列命题中，是真命题的是()A．画一个等边三角形，使它的三条边的长都等于线段mB．两个关于某直线对称的三角形是全等三角形C．两个图形关于某直线对称，对应点一定在直线两旁D．三条直线相交，一定有三个交点2．要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的()A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数3．如果a：b=1：2，那么=()A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣34．若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为()A．30°或50° B．50° C．50°或80° D．80°5．下列属于尺规作图的是()A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个300的角C．用圆规画半径2cm的圆 D．作一条线段等于已知线段6．△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为()A．AD＜DE B．AD=DE C．AD＞DE D．不确定8．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为()A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣39．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：金额/元56710人数2321这8名同学捐款的平均金额为()A．3.5元 B．6元 C．6.5元 D．7元10．已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是()A．86° B．76° C．48° D．24°11．某班级某一组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是()A．50元，50元 B．50元，40元 C．50元，20元 D．55元，50元12．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是()A．165° B．120° C．150° D．135°二、填空题（每题3分，共15分）13．王师傅承担了510个工件的焊接任务，加工了110个工件后，开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成任务．设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，则依题意可列出方程__________．14．样本数据：3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是__________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠EBC=__________．16．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为__________．17．在△ABC中，AB=15，BC=10，CA=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO的面积比是__________．三、解答题（共69分=6+7+8+10+12+12+14分）18．求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．19．现有大小两艘轮船，小船每天运x吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．（1）分别写出大船、小船完成任务用的时间？（2）试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？20．某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：销售额（单位：万元）34567810销售员人数（单位：人）1321111（1）求销售额的平均数、众数、中位数；（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？21．如图，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R分别为点O关于直线AB、BC对称的点．（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会有PR的长度等于7？（2）承（1）题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？并说明理由．22．计算：（1）a﹣1﹣（2）÷（+）（3）解方程：=l+（4）解方程：+=1．23．已知数据x1，x2…x10的平均数x=20，方差x2=0.015．（1）求3x1，3x2…3x10的平均数和方差；（2）求4x1﹣2，4x2﹣2…4x10﹣2的平均数和方差；（3）由（1）（2）得出的结果，你能发现什么规律？24．（14分）已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A与点A′重合，点C与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．2014-2015学年山东省聊城市阳谷县八年级（上）期末数学试卷一、精心选一选（每题3分，共36分）1．下列命题中，是真命题的是()A．画一个等边三角形，使它的三条边的长都等于线段mB．两个关于某直线对称的三角形是全等三角形C．两个图形关于某直线对称，对应点一定在直线两旁D．三条直线相交，一定有三个交点【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义对A进行判断；根据轴对称的性质对B、C进行判断；根据直线的位置关系对D进行判断．【解答】解：A、画一个等边三角形，使它的三条边的长都等于线段m，它不是命题，所以A选项错误；B、两个关于某直线对称的三角形是全等三角形，所以B选项正确；C、两个图形关于某直线对称，对应点可能在直线两旁，也可能在直线上，所以C选项错误；D、三条直线相交，可能有一个或二个或三个交点，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2．要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的()A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数【考点】方差；统计量的选择．【分析】根据方差的意义作出判断即可．【解答】解：要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可．故选A．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．3．如果a：b=1：2，那么=()A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【考点】比例的性质．【分析】根据两內项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵a：b=1：2，∴b=2a，∴==﹣3．故选D．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．4．若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为()A．30°或50° B．50° C．50°或80° D．80°【考点】等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，∴等腰三角形的一个内角为80°，①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．5．下列属于尺规作图的是()A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个300的角C．用圆规画半径2cm的圆 D．作一条线段等于已知线段【考点】作图—尺规作图的定义．【分析】根据尺规作图的定义分别分析得出即可．【解答】解：A、用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；D、正确．故选：D．【点评】本题考查尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规．6．△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的性质．【分析】根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正确；∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故④正确；AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，故①、②错误；故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的性质；做题时要运用三角形全等的基本性质，结合图形进行思考是十分必要的．7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为()A．AD＜DE B．AD=DE C．AD＞DE D．不确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、BC的距离相等，AD、BE都不是点D到AB、BC的距离，大小不确定．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，∴AD、DE的大小不确定．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并准确识图判断出AD、BE都不是点D到AB、BC的距离是解题的关键．8．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为()A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3【考点】分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程，检验是否符合题意．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7+3（x﹣1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，关于增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程，检验是否符合题意．9．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：金额/元56710人数2321这8名同学捐款的平均金额为()A．3.5元 B．6元 C．6.5元 D．7元【考点】加权平均数．【专题】压轴题．【分析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案．【解答】解：根据题意得：（5×2+6×3+7×2+10×1）÷8=6.5（元）；故选C．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题．10．已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是()A．86° B．76° C．48° D．24°【考点】推理与论证；角的计算．【分析】主要利用钝角的定义计算．【解答】解：因为α、β是两个钝角（钝角都大于90°且小于180°），所以α+β一定大于180°且小于360°；则（α+β）一定大于30°且小于60°，故48°正确．故选C．【点评】熟记钝角的特点是解决此题的关键．11．某班级某一组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是()A．50元，50元 B．50元，40元 C．50元，20元 D．55元，50元【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．【解答】解：50出现了3次，出现的次数最多，则众数是50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是50，则中位数是50．故选A．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．12．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是()A．165° B．120° C．150° D．135°【考点】三角形的外角性质．【分析】利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．【解答】解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．【点评】本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．二、填空题（每题3分，共15分）13．王师傅承担了510个工件的焊接任务，加工了110个工件后，开始采用焊接新工艺，工效提高到原来的1.5倍，共用8天完成任务．设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，则依题意可列出方程+=8．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，则新工艺的工作效率为1.5x个零件，根据共用8天完成任务列出方程．【解答】解：设采用新工艺前，王师傅每天焊接x个工件，则新工艺的工作效率为1.5x个零件，由题意得，+=8．故答案为：+=8．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．14．样本数据：3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是8．【考点】方差；算术平均数．【分析】本题可先求出a的值，再代入方差的公式即可．【解答】解：依题意得：a=5×5﹣3﹣6﹣4﹣2=10，方差S2=[（3﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2+（4﹣5）2+（2﹣5）2]=×40=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠EBC=24°．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据相等垂直平分线性质得出AE=BE，求出∠A=∠ABE=33°，根据三角形的内角和定理求出∠ABC，相减即可求出答案．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∠A=33°，∴AE=BE，∴∠A=∠EBA=33°，∵∠C=90°，∠A=33°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=57°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=57°﹣33°=24°，故答案为：24°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠ABC和∠ABE的度数是解此题的关键．16．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为18．【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【解答】解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=9，PE=PN=9，∴MN=9+9=18．故答案为：18．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．17．在△ABC中，AB=15，BC=10，CA=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO的面积比是3：2：4．【考点】角平分线的性质．【分析】首先过点O，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥BC于F，由点O是△ABC内角平分线的交点，根据角平分线的性质，即可得OD=OE=OF，继而可得S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA，则可求得答案．【解答】解：过点O，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥BC于F，∵点O是△ABC内角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∴S△ABO=AB•OD，S△CAO=AC•OE，S△BCO=BC•OF，∵AB=15，BC=10，CA=20，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=10：15：20=3：2：4．故答案为：3：2：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．三、解答题（共69分=6+7+8+10+12+12+14分）18．求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【考点】等边三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由等腰三角形的特点可知：等腰三角形的两个底角相等，再据三角形的内角和是180度，即可求得三角形的另外两个角的度数，从而判定这个等腰三角形是否是等边三角形．【解答】解：如图已知AB=AC．①如果∠B=60°，那么∠C=∠B=60°．所以∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣（60°+60°）：60°于是∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形．②如果∠A=60°，由∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C得∠B=÷（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°．于是∠B=∠C=∠A，所以△ABC是等边三角形．综上所述，有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定，解答此题的主要依据是：等腰三角形和等边三角形的特点以及三角形的内角和定理．解题时，注意分类讨论，以防错解．19．现有大小两艘轮船，小船每天运x吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．（1）分别写出大船、小船完成任务用的时间？（2）试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？【考点】列代数式（分式）；分式的加减法．【专题】应用题．【分析】（1）大船完成任务的时间=100÷大船每天可运货物；小船完成任务的时间=80÷小船每天可运货物；（2）让（1）中得到的两个代数式相减，根据所得代数式与0比较的取值可得所求结果．【解答】解：（1）大船完成任务的时间为：；小船完成任务的时间为：；（2）﹣==，∴x＞40时，小船所用时间少；x=40时，两船所用时间相同；x＜40时，大船所用时间少．【点评】考查列代数式及代数式的应用；注意应用两个代数式相减的方法得到相应的比较的结果．20．某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：销售额（单位：万元）34567810销售员人数（单位：人）1321111（1）求销售额的平均数、众数、中位数；（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？【考点】众数；加权平均数；中位数．【分析】（1）根据平均数公式求得平均数，根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数．（2）根据平均数，中位数，众数的意义回答．【解答】解：（1）平均数=（3×1+4×3+5×2+6×1+7×1+8×1+10×1）=5.6（万元）；出现次数最多的是4万元，所以众数是4（万元）；因为第五，第六个数均是5万元，所以中位数是5（万元）．（2）今年每个销售人员统一的销售标准应是5万元．理由如下：若规定平均数5.6万元为标准，则多数人无法或不可能超额完成，会挫伤员工的积极性；若规定众数4万元为标准，则大多数人不必努力就可以超额完成，不利于提高年销售额；若规定中位数5万元为标准，则大多数人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成．因此把5万元定为标准比较合理．【点评】本题为众数，中位数，平均数的意义．解题的关键是根据众数，中位数，平均数的意义求出答案．21．如图，O为△ABC内部一点，OB=3，P、R分别为点O关于直线AB、BC对称的点．（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会有PR的长度等于7？（2）承（1）题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？并说明理由．【考点】轴对称的性质；三角形三边关系．【分析】（1）先确定出∠ABC=90°，连接PB、RB，再根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后求出∠ABP+∠CBR=∠ABC，从而确定出点P、B、R三点共线，即可得解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．【解答】解：（1）∠ABC=90°时，PR=7．理由如下：连接PB、RB，∵P、R分别为点O关于直线AB、BC对称的点，∴PB=OB=3，RB=OB=3，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=7；（2）PR的长度小于7．理由如下：当∠ABC≠90°时，点P、B、R三点不在同一直线上，所以，PB+BR＞PR，∵PB+BR=2OB=2×3=7，所以，PR＜7．【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等；三角形的三边关系．22．计算：（1）a﹣1﹣（2）÷（+）（3）解方程：=l+（4）解方程：+=1．【考点】分式的混合运算；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（4）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式==﹣；（2）原式=÷=•=；（3）去分母得：2x=x﹣5+10，解得：x=5，经检验x=5是增根，分式方程无解；（4）去分母得：2x﹣6+x2=x2﹣3x，移项合并得：5x=6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键