2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾六中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾六中高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x||x|W1},B=(x\2x>1},则4nB=()

A.[l,+oo)B.[-1,+OO)c.(0,1]D.(0,1)

2.若iz=2+i,则2=()

A.1+2iB.-1+2iC.1—2iD.—1—2i

3.若等差数列{aj和等比数列{4}满足的=a2=b2=2,b5=16,则的公差为()

A.1B.—1C.—2D.2

4.在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没

有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中，首位非零数字是1,2,--9这九个事件并不

是等可能的,具体来说，假设随机变量X是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则P(X=

k)=lg"l,k=l,2,9.根据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8

K

的概率之比约为()

(参考数据：国2々0.301,均3々0.477)

A.4B.5C.6D.7

5.在△ABC中，点。满足前=2诙，则而=()

A.2AB-ACB.-AB+2ACC.jABD.^AB+^AC

6.椭圆，+[=l(a>「)的左、右焦点分别为&，F2,4为上顶点，若A4F1F2的面积为

则△A&F2的周长为()

A.8B.7C.6D.5

7.设a=log2〃，b=sinl,c=?，则()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

8.已知函数/(x)的定义域为R,"(x)<l-f,(x)，/(。)=4,则不等式/■(x)<l+曲集

为()

A.(l,+oo)B.(-oo,1)C.(0,+00)D.(-co,0)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.以下四个命题中，真命题的有()

A.在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，胆越大，模型的拟合效果越

好

B.回归模型中残差是实际值%与估计值y的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型

拟合精度越高

C.对分类变量4与y的统计量,2来说，/值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大

D.已知随机变量X服从二项分布B(n3),若E(3X+1)=6,则n=6

10.已知函数/(%)=Sin3X+COS3X(3>0)图象的最小正周期是7T,则()

A./⑶的图象关于点得,0)对称

O

B.将f(x)的图象向左平移方个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

C.f(x)在［0苧上的值域为［—1,1］

D./⑶在［-90］上单调递增

11.已知函数/(X)=-X+2,则(

A.函数/(%)在R上单调递增B.f(x)有三个零点

C.f(x)有两个极值点D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

12.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱力BC-&B1G展开，

得到的平面图如图所示.其中4B=4,AC=3,BC=AAr=5,M是

BBi上的点，则()

A.4M与4G是异面直线

B.AC!ArM

C.平面ABiC将三棱柱截成两个四面体

D.+MC的最小值是

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知平面向量日=(C,l),b=(1,-73).求|丘+2了|=.

14.己知定义在R上的偶函数/(%)满足f(1+x)=/(3-X),则f(x)的一个解析式为

f(x)=---------.

15.有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06,第二三台加工的次品率

均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的

0.25、0.3、0.45,任取一个零件，求它是次品的概率.

’3a,n为奇数

16.在数列｛与｝中,已知的=1,n则。8=,当n为偶数时,

@+2,n为偶数'

an=------

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，在平面四边形ABCD中，AADB=45°,Z.BAD=105°,AD=―，BC=2,AC=3.

2

(1)求边48的长：

(2)求△ABC的面积.

18.(本小题12.0分)

已知公差不为零的等差数列｛an｝的首项为1，且由，。2,是一个等比数列的前三项，记数列

｛4｝的前n项和为％.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列｛(-l)nSn｝的前2n项的和.

19.(本小题12.0分)

飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻

人运动的新潮流,某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进

行了简单随机抽样，得到如下列联表：

飞盘运动

性别合计

不爱好爱好

男61622

女42428

合计104050

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随

机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值a=0.0的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表

中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动

与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

2

附：V2=-----------------其中九=a+b+c+d

z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

2.7066.63510.828

xa

20.(本小题12.0分)

正三棱柱中，BC=CCj=2,。为BC的中点，点E在上.

(1)证明：BC_L平面44D；

(2)若二面角4-DE-G大小为30。，求以4，E,D,Q为顶点的四面体体积.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C；★一马=l(a>0)>0)的一条渐近线方程为/&+y=0，且左焦点F到渐

近线的距离为C，直线，1、已经过户且互相垂直(斜率都存在且不为0)，与双曲线C分别交于

点4、B和M、N,D、E分别为ZB、MN的中点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)证明：直线OE过定点.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2xlnx—2ax2,aGR.

⑴当a=2,求/1(x)的单调递减区间；

(2)若/Q)三年一m在(1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A=(x\-1<x<1},B=(x\2x>2°}={x\x>0},

：.AfyB=(0,1].

故选：C.

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属

于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：iz=2+1,

■-z=1+21-

故选:A.

根据已知条件，结合共规复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了共轨复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基

础题.

3.【答案】A

【解析】解：设等比数列{为}的公比为q，b2=2,仇=16,

则心解得q=2,

M=瓦•q=16，

:.%=瓦=1,

设等差数列{an}的公差为d,a2=2,

则的=Qi+d=l+d=2,解得d=1,

故选：A.

根据等差数列和等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程组，求出q,可得即,即可得出答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合,考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于基础题.

4.【答案】C

P(X=1)lg2lq2lg20,301,

【解析】解：由题意可得：户(x=8)=嚼=Ig9-lg8=2lg3-3lg2~3x0.477-3x0.30126•

故选：C.

根据题意结合对数运算求解.

本题主要考查了古典概率公式及对数的运算性质，属于基础题.

5.【答案】4

【解析】解：由题，前=：而,

:.B、C、。三点共线.

•­■B是CD的中点，

AB=-AD+-71C，

.-.AD=2AB-AC.

故选：A.

根据题意，前=3而，B、C、。三点共线，根据平面向量基本定理，可得四=?而+2就，所

以而=2AB-AC.

本题主要考查平面向量共线定理和基本定理，属于基础题，较简单.

6.【答案】C

【解析】解：设椭圆及+[=l(a>C)的半短轴长为匕，半焦距为c,

则6=「，△伤尸2的面积5=如/2|/=/^,

由题意得Cc=，2,

c=1>a-Vb2+c2-2，

由椭圆的定义得|4笃|+\AF2]=2a=4,

又I&F2I=2c=2,则440尸2的周长为4+2=6.

故选：C.

设椭圆的半焦距为c,由条件利用c表示AABF2的面积，由条件列方程求c,再由a,b,c关系求a,

根据椭圆定义求M&i+\AF2\,即可得出答案.

本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

7.【答案】a

【解析】解：因为殍=sin与<sinl<sin[=1，即?<b<1，

又a=log27r>log22—1,

所以a>b>c.

故选：A.

根据对数函数、正弦函数的性质判断即可.

本题考查对数函数、正弦函数的性质，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：/(x)<1+3等价于e*/(x)<ex+3,即e*/(x)-ex-3<0,

令F(x)=exf(x)—ex—3,

则F'(x)=ez/(x)+exf(x)-ex=ex[f(x)+/'(x)-1],

因为/(x)<1—f'(x),即f(x)+尸(x)-1<0,且有婚>0,

所以尸'(x)<0,

故函数F(x)在R上单调递减，

由F(0)=4-l-3=0,

故尸。)<0的解集是(0,+8).

故选：C.

条件等价于求-eX-3>0的解集，构造函数F(x)=1/(切一/一3,利用导数及相关条

件可判断出函数F(x)单调递减，进而可得其解集.

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：对于4由相关指数的定义知：R2越大，模型的拟合效果越好，A正确；

对于B,残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，8正确；

对于C,由独立性检验的思想知：产值越大，“％与y有关系”的把握程度越大，C错误.

对于D,TE(3X+1)=3E(X)+1=6,

•­■E(X)=I，

又「X〜B(n3),

二E(X)=g=|,解得：n=5,£>错误.

故选：AB.

根据相关指数的定义确定4

根据残差的性质确定B；

根据独立性检验确定C；

根据二项分布与均值的运算确定D.

本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：因为/(x)=sina)x+cosa)x=V_2sin(<wx+：),

•・,函数的最小正周期是7T,

AT=71=—,

0)

・•・3=2,/(%)=V-2sin(2x+》

"/(y)=sin(2x,+》=sinn=0,

f(x)关于郎,0)对称，故A正确•

,・"(x+1)=V-2sin(2x+J)=V_2cos2x,

oZ

•••/(X+》关于y轴对称，故B正确.

5

则<+<

7T--7T一--

当OSxS］时，有OW2xW7r,42X447r所以一］wsin(2x+；)<1»

.•./(x)€故C错误.

由-+解得一

乙叶乙OO

所以f(x)的一个单调增区间为［一1,刍，而［一％0］C［一等,刍,

oo4oo

.••/0)在［一也0］上单调递增，故。正确.

故选：ABD.

利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出3,即可得到函数的解析式，由正弦

函数的对称性可判断4由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据x的范围和

正弦函数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断。.

本题考查了三角函数的周期、对称性、值域及单调性，属于中档题.

11.【答案】CD

【解析】解：函数/'(x)=—x+2,定义域为R,f'{x)=3x2—1,

令解得》<一个或%>?；

令，(x)<0,解得一?<刀<?,

则在(一8,-?)和(?,+8)上单调递增，在(_?,?)上单调递减，

极大值为/'(-?)=2+4上极小值为/(?)=2-个>0，/(-2)=-4<0,/(?)=2-

手>0,函数图像如图所示，

则函数/Xx)的图像与4轴只有一个交点，即/'(x)只有一个零点，

所以4B选项错误，C选项正确；

曲线y=f(x)切线的切点坐标为(出,/(&))，当切线斜率为2时，尸(而)=3诏-1=2,解得X。=

±1.

当a=1时，切点坐标为(1,2),切线方程为y-2=2(x—l),即y=2x,D选项正确.

故选：CD.

利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率

的切线方程.

本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由题设，可得如下直三棱柱,

由直三棱柱的结构特征知：AM与是异面直线，故A正确;

力C,BA1.AC,B.AA^BA=A,则AC1面441反8,

-A^^AA^B,.-.ACl-A^M,故B正确；

由图知：面4B1C将三棱柱截成四棱锥当-4CCi4和三棱锥当-ABC,

一个五面体和一个四面体，故C错误；

将面A&B1B和面CGB1B展开成一个平面，如图,

当M,C共线B寸，&M+MC最小为，询，故。正确.

故选：ABD.

根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断4BC,将面和面CG&B

展开为一个平面，利用三点共线求为M+MC的最小值.

本题考查命题真假的判断，考查直三棱柱的展开图、结构特征等基础知识，考查空间想象能力等

基础知识，是中档题.

13.【答案】2/亏

【解析】解：a+2d=(/3,1)+2(1,-7-3)=(<3+2,1-2<^)，

所以模长为|五+21|=J(，号+2>+(1-2/3)2=2/号

故答案为：2\T^).

利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案.

本题主要考查向量模公式，属于基础题.

14.【答案】cos(^x)

【解析】解：,「/(%)为R上的偶函数，二f(-x)=f(x),

又/'(1+x)=/(3-x),.,.用3+x替换无，得/(%+4)=f(-x),

f(x+4)=/(x),f(x)的周期为4,

则/(X)的一个解析式可以为f(x)=COS6x),

故答案为：cos6x)(答案不唯一).

由己知条件可推出的周期为4,从而得解.

本题主要考查了函数的周期性，属于基础题.

15.【答案】0.0525

【解析】解：设事件B表示“任取一个零件为次品”，事件4表示“零件为第i台车床加工"G=

123),

则0=&UA2UA3，41，A2>人3两两互斥，

P(At)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,

P(B|a)=0.06,P(B\A2)=P(B|%)=0.05,

••・由全概率公式得取一个零件，它是次品的概率为：

P(B)=P(4)P(B|4)+P(4)P(8|/12)+P(43)P(8|&)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05

=0.0525.

故答案为：0.0525.

设事件B表示“任取一个零件为次品”，事件A表示“零件为第i台车床加工”。=1,2,3),则0=

41U&U4,&，&，4两两互斥，P(4)=0.25,P(42)=0.3,PC/)=0.45,P(B%)=0.06,

P(B|4)=P(BM3)=0.05,由全概率公式能求出取一个零件，它是次品的概率.

本题考查概率的运算，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】1592X3^-3

3%pn为奇数

【解析】解:因为在数列｛册｝中，已知%=1,an+1=

an+2,ri为偶数

用f以=3。］=3,=。2+2=5,Q4=3a3=15,Q5=Q4+2=17,

=3cig—51,Q7=@6+2=53,(IQ—3a7=159,

令ri=2fc—1,则a2k=3a2k-i，a2k+2=3a2/c+i，

令n=2k,则a2k+i=a2k+2.

所以a2k+2=3a2k+6,

所以a2k+2+3=3(a2k+3),

所以数列｛a2k+3｝是以3为公比，6为首项的等比数列，

所以a2k+3=6x3&T=2x3上，

所以a2k=2x3k-3,

所以W=2x3^-3，

所以当n为偶数时，a"=2x3援一3，

故答案为：159,2x35-3-

根据递推式求解出。8，令n=2k—1,则a2k=3。2女-1，令n=2k,则a2k+i=a2k+2，从而可得

a2k+2=3a2k+6,进而可求出当n为偶数时的通项公式•

本题考查由数列递推式求通项的应用，属中档题.

17.【答案】解：(1)在△4BD中，LABD=180°-(45°+105°)=30°,

由正弦定理得4B=S'鬻。=卒*=，百.

sm302

(2)在44BC中，由余弦定理得cos乙4BC=但2的.=(0健-??=_?.

2ABxBC2v3x26

・•・smZ-ABC—V1—cos2Z.ABC=

6

***S&ABC=7xABxBCxsinZ.ABC=-xV3x2x•

△AM2262

【解析】(1)在△力BD中利用正弦定理可得解；

(2)在△4BC中，先由余弦定理得cos乙4BC,进而得sin/ABC,最后利用面积公式求解即可.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,又为=1,所以即=l+(n—l)d.

因为的,a2,。5是一个等比数列的前三项，所以的。5=避，

即1+4d=(1+d)2,又dHO,所以d=2,

所以数列Sn｝的通项公式为=2兀一l,neN*；

(2)由(1)知数列｛时｝的前7i项和%=1+%xn=n2,

nn2

所以(一l)S7t=(-l)n,

数列｛(一l)nSn｝的前2n项的和为(-仔)+22+(-32)+42+…一(2n-I)2+(2n)2

42

=1+2+3+4+…+(2n—1)+2n=122nx2n=2n+n.

【解析】(1)由等差、等比数列的性质计算即可；

(2)先求出(-l)nSn的通项，再用并项求和法求和即可.

本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属

于中档题.

19.【答案】解：(1)样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4：6,

按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人，

随机变量X的取值为：0,1,2,3,

P(X=0)=旨4

P(X=1)=第=

P(X=2)=警喘,

P(X=3)=m=表，

Jo

随机变量X的分布列为：

X0123

P1131

621030

随机变量X的数学期望E(X)=0x升1x鼻2x京+3xJ=!；

oZ1UDU□

(2)零假设为%：爱好飞盘运动与性别无关联.

2

根据列联表的数据，经计算得到乃2=50X(6X24-4X16)^<6635=

A10x40x22x28UU1

根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断为不成立，因此可以认为“成立，即认

为爱好飞盘运动与性别无关联；

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后,

2_500x(60x240-40x160)2

__100x400x220x280-«12.99>6.635=xo.oi'

根据小概率值a=0.011的独立性检验，推断为成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联;

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致

推断结论发生了变化.

【解析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求f再根据数表对应判断相关性即可，对比两次/的值可以得出结论说明原因.

本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：•.•正三棱柱/BC-&BC，则44「平面ABC,又BCu平面ABC,BC1

又。为BC的中点，则4O1BC,AD,A&u平面a/O,ADC\ArA=A,

：.BC1平面&AD.

(2)解：由题意，△ABC为正三角形，。为BC的中点，AD1BC,如图建立空间坐标系，

由(1)易知平面41ED法向量彷*=(1,0,0),

设4E=/i,则E(0,q,/i)，0(0,0,0),Cx(1,0,2),贝U说=西=(1,0,2),

设五=(x,y,z)为平面DEC1的一个法向量，

则［%'竺=Cy+"z=°,取2=「，则芯=(_2Cf，O，

ln2•Z)Gi=x+2z=0

由题意COS30。=帚丽=J,解得九=1或九=一1（舍去），

VShAED=1x1X点C］到平面&ED距离为1,

・••以4E,D,G为顶点的四面体体积为V=《x?xl=?.

【解析】（1）由线面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出AE长度，再求以&,E,D,G为顶点的四面体体积.

本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档

题.

21.【答案】解：（1）已知双曲线C；胃一\=1的渐近线方程为，7x+y=0，

所以g=①

因为左焦点尸到渐近线的距离为q,

»_|一3cl_

所以=、3,②

J«3）2+1J

又M4-fe2=c2,③

联立①②③，解得Q=l,b=C，

所以双曲线C的方程为/一1=1；

（2）证明:不妨设直线匕的方程为y=k（x+2）（kM±C）,4（%1，yi），8（x2,y2）,

y—k（x+2）

联立%2—先=］，消去y并整理得（3-必）％2一M2%一软2一3=0,

-3

易知/=36k2+36>0

k

由韦达定理得+X2=~-2^

3-k

所以山=雪，牛=总考2+4）=%,

23-k2223-k"

此时D（雪，冬），

因为直线k、G经过?且互相垂直（斜率都存在且不为。），

不妨设直线%的方程为y=丁Q+2）（/H±二-）,。（%3，%），

K3

Kx+2)

联立《2,消去y并整理得(3k2-1)/一4x—3/—4=0,

易知d=36k4+36k2>0,

4

由韦达定理得*3+X=„,2>

43k—1

所以卷±幺=一,13+以=-扬3+办+4)=-6k,

23^-122-3必-1

此时E(舟,瑞),

当工=一一，即k=±1时，直线DE的方程为x=1,

3-13/-1

6k-6k

当kH±l,kHH±1^时，直线。E的斜率为母一出黄=7T-

J4K____乙K-1