2024北京市一六一中初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京一六一中初二（下）期中数学考生须知1．本试题共4页，共两部分，四道大题，28道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分，第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分，考试时间100分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将答题材料一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，， D.1，2，32.下列各式中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝4.如图，在中，，，则的度数是（）A.40° B.50° C.60° D.70°5.如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，则点的坐标为（）A. B. C. D.6.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（）A. B. C. D.7.已知，是函数的图象上的两个点，则m与n的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定8.如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________．10.如图，在中，，，的平分线交，则________．11.如图，中，，，，，则________，________．12.已知一次函数的函数图象不经过第四象限，请写出一组符合题意的和的值：________，________．13.如图，直线与交于点，则不等式的解集为______．14.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．15.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为____________．16.中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则________．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、19、21、26题各6分，第20题4分，第、22、24题各7分，第23、25题各8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：（1）；（2）．18.如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．19.已知，分别是的整数部分和小数部分．（1）直接写出和的值；（2）求的值．20.已知：在中，．求作：矩形．作法：如下，①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交边于点O；③作射线，以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为D，连接；所以四边形就是所求作的矩形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线是的垂直平分线，∴．∵，∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．∵，∴四边形是矩形（）（填推理的依据）．21.如图，在四边形中，，，，．（1）求的度数；（2）求四边形的面积．22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．23.为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：第一步：的自变量的取值范围是全体实数；第二步：与的几组对应值：…012……1003…第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；第四步：借助函数图象研究该函数的性质．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）观察的函数图象，可得以下结论：①当________时，函数有最小值为________；②当________时，随的增大而增大；③若直线与的图象有且只有一个交点，则的取值范围是______．24.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费；乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算.设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示.（1）优惠前草莓的销售价格为元千克；（2）当时，求与的函数解析式；（3）当游客采摘草莓的重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由.25.在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AF，AC，分别过点F，C作AF，AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明；（2）过点Q作，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．26.对于平面直角坐标系中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得，那么称点P为图形M的和谐点．已知点，，，．（1）在点，，中，矩形的和谐点是_________________；（2）如果直线上存在矩形的和谐点P，求出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线上存在矩形的和谐点E，F，使得线段上的所有点（含端点）都是矩形的和谐点，且，求出b的取值范围．四、选做题（共10分，第27题3分，第28题7分）27.学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：设，两边平方得：，即，，，，．请你参考上述方法，求的值．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，，如图1．（1）直接写出d(点O,)=；（2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，）=4，求点P坐标；（3）已知点，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W（包括边界）．①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值；②若，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形三边关系逐一判断即可．【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，故能组成直角三角形，故本选项符合题意；D、不能组成三角形，故本选项不符合题意．2.【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．3.【答案】C【详解】解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意；B.y是x的反比例函数，故B选项不符合题意；C.y是x的正比例函数，故C选项正确；D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意；故选C．4.【答案】D【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．5.【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在中，运用勾股定理求得，由菱形的性质即可求解．【详解】解：由题意得：，∴在中，，∵四边形是菱形，∴，∴，∴点，故选：B．6.【答案】C【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键．正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长．【详解】解：如图，它运动的最短路程．故选：C．7.【答案】A【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，根据增减性进行分析即可．【详解】解：∵一次函数中，，∴y随着x的增大而减小．∵点，是一次函数图象上的两个点，，∴．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的性质．对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．8.【答案】D【详解】分析：根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．详解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选D．点睛：本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可．【详解】解：由题意得，，解得：，故答案为：．10.【答案】4【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质可得，由此即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，且∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案为：

．11.【答案】①.②.##【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，掌握勾股定理，三角形高的计算方法是解题的关键．根据勾股定理可求出的值，根据等面积法可求出的值．【详解】解：在中，，∵，∴，∴，故答案为：，

．12.【答案】①.1（答案不唯一）②.1（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键．由一次函数的函数图象不经过第四象限可知，即可求解．【详解】解：由题意得：，∴可选，故答案为：（答案不唯一）．13.【答案】x＞1【分析】写出直线y1=2x在直线y2=-x+a上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵直线y1=2x与y2=-x+a交于点P（1，2），

∴不等式2x＞-x+a的解集为x＞1．

故答案是：x＞1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14.【答案】（x-4）2+102=x2【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2．【详解】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为x2＝102＋(x－4)2，故答案为x2＝102＋(x－4)2．【点睛】本题考查勾股定理的应用．15.【答案】13【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的知识，熟练掌握知识点是解题的关键．设一条直角边长为x，则另一条直角边长为，根据面积建立方程，解方程即可．【详解】解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为，由题意得：，解得：或，∴斜边，故答案为：13．16.【答案】2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．先证明，继而得到是的中位线，即可求解．【详解】解：延长交于点F，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是的中点，∴，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、19、21、26题各6分，第20题4分，第、22、24题各7分，第23、25题各8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘除运算，熟练掌握知识点和运算法则，正确化简二次根式是解题的关键．（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先计算乘除，再化简二次根式，最后再合并同类二次根式即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．18.【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质可得，，由对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，从而可证，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得是解题的关键．19.【答案】（1）（2）1【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）根据即可确定a，b的值；（2）将a，b分别代入即可求解．【小问1详解】解：∵，∴，∴，【小问2详解】解：当时，原式．20.【答案】（1）图见解析（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，四边形即为所求．【小问2详解】证明：∵直线是的垂直平分线，∴．∵，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．∵，∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点D．21.【答案】（1）；（2）．【分析】（）由，，可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；（）由四边形的面积，计算即可求解；本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，利用勾股定理的逆定理得出是解题的关键．【小问1详解】解：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∴为直角三角形，，∴；【小问2详解】解：四边形的面积．22.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先利用两组对边分别平行AE∥BC，CE∥AD，证四边形ADCE是平行四边形．利用直角三角形斜边中线性质AD=BD=CD．可证四边形ADCE是菱形．（2）过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，由30°直角三角形性质可求BC，利用勾股定理可求AB．进而可求AD，由四边形ADCE是菱形与AE//BC，可求∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，由三角函数EH=1，AH．HB．在Rt△BEH中，BE．【详解】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴AD=BD=CD．∴四边形ADCE是菱形．（2）解：过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，∴BC，AB．∴ADBC2，∵四边形ADCE是菱形，∴AEAD2，∵AE//BC，∴∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，EH，AH．∴HBAH＋AB．在Rt△BEH中，BE．【点睛】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，30°角直角三角形性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，通过引辅助线构造直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．23.【答案】（1），1，2；画函数图象见详解（2）①，；②；③或【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．（1）将x代入函数解析式即可求出y值，根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；（2）①根据图象即可求得最小值以及对应的x值，②根据题目中的函数解析式及图象，可知的取值范围；③根据函数图象的特征即可求解．【小问1详解】解：当时，；当时，；当时，，函数图象为：故答案为：，1，2．【小问2详解】解：①由图象可知当时，函数有最小值为，故答案为：，；②由图象可知当时，随的增大而增大，故答案为：；③∵当时，函数与重合，当时，函数与平行，当或时，直线与的图象有且只有一个交点．故答案为：或．24.【答案】（1）（2）（3）在乙草莓园采摘更划算，理由见解析【分析】（1）根据函数图象，用即可求解；（2）根据待定系数法求解析式即可求解；（3）分别求得甲、乙两家草莓园的收费，比较大小即可求解．【小问1详解】优惠前草莓的销售价格为元千克，故答案为：．【小问2详解】解：设时与的函数解析式为，将点代入，得，，解得：∴【小问3详解】甲采摘园：元，乙采摘园：元，∵，∴在乙草莓园采摘更划算．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键．25.【答案】（1）补图见解析，证明见解析（2）当时，四边形FCQN为平行四边形，证明见解析【分析】（1）先根据题意画出图象，在BA上截取BM＝BF，连接MF，使AF所在的三角形和QF所在的三角形全等即可得出AF=QF；（2）取，算出FC的长，然后根据AC⊥CQ推导NQ=FC，用平行四边形的判定即可证明四边形FCQN是平行四边形．【小问1详解】补全图形如图所示：证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD．∴∠ACB＝45°．∵CQ⊥AC，∴∠ACQ＝90°．∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．∵BM＝BF，∠B＝90°，∴∠FMB＝∠MFB＝45°，．①∴∠AMF＝180°－∠FMB＝135°．∴∠AMF＝∠FCQ．②∵FQ⊥AF，∴∠AFQ＝90°．∴∠QFC＋∠AFB＝90°．∵∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝90°．∴∠BAF＝∠CFQ．③由①②③得△AMF≌△FCQ．∴AF＝FQ．【小问2详解】当时，四边形FCQN为平行四边形．证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．∵，∴．由（1）可得△BMF为等腰直角三角形，且△AMF≌△FCQ．∴．∵，∴∠FCQ＋∠NQC＝180°．∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°．∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC．∴．∴．∴且．∴四边形FCQN为平行四边形．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出适当的辅助线FM来证明△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性质得出对应边相等当题目中出现正方形时，要想到正方形的四边相等，四个内角相等．26.【答案】(1)和；(2)或；(3)2≤b＜3或-3＜b≤-2.【分析】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知P1和P3是矩形ABCD的和谐点.(2)如图2中，求出满足条件的P1、P2、P3、P4的坐标即可判断.(3)当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且，当将直线往y轴负半轴平移时刚好经过点M，此时上的点都是和谐点，且，当再往下平移时，EF上有部分点不再是和谐点，由此求出b的范围为2≤b＜3；根据对称性，-3＜b≤-2也满足.【详解】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：到矩形边AD和AB的最短距离为2，符合和谐点的定义；到矩形四边的距离均大于2，不符合和谐点的定义；是矩形边AD的距离为0，符合和谐点的定义；故是和谐点的是点和.故答案为：和.(2)如图中：当直线上的点P到直线AB的距离为2时，可得和均满足和谐点的定义，此时均是和谐点，故此时的取值范围是：；当直线上的点P到直线AD的距离为2时，可得和均满足和谐点的定义，此时均是和谐点，故此时的取值范围是：；故满足条件的的取值范围是：或.故答案为：或.(3)如下图所示：当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且，当将直线往y轴负半轴平移且刚好经过点M(-2,1)，将点M(-2,1)代入解析式，即：，解得：b=2，且此时故此时b的范围为2≤b＜3，同理，由对称性可知，当-3＜b≤-2也满足条件.故b的取值范围为：2≤b＜3或-3＜b≤-2.【点睛】本题属于一次函数的综合题，同时也是一个新定义题型，借助一次函数的知识，考查了函数平移等相关知识，解题的关键是理解题意，学会用分类思想思考问题；本题属于压轴题，难度较大.四、选做题（共10分，第27题3分，第28题7分）27.【答案】【分析】本题