高考数学二轮复习 专题检测（十六）计数原理、概率、随机变量及其分布列 理（普通生含解析）-人教版高三数学试题

专题检测（十六）计数原理、概率、随机变量及其分布列A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：选A3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)解析：选A小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24种，∴P(A|B)＝eq\f(24,108)＝eq\f(2,9).3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3解析：选B由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．－40 B．－20C．20 D．40解析：选D令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中eq\f(1,x)项的系数为(－1)3Ceq\o\al(3,5)22，x项的系数为Ceq\o\al(2,5)23，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的常数项为(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＋Ceq\o\al(2,5)23＝40.故选D.5．(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为()A．60 B．180C．520 D．540解析：选D(x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有Ceq\o\al(2,5)种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1)种选法，所以x5y2的系数为32Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·2·Ceq\o\al(1,1)＝540.6．在平面区域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤x2的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选B不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4))表示的平面区域如图中长方形OABC，其面积为2×4＝8，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤4，,y≤x2))表示的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(8,3)，因此所求的概率P＝eq\f(\f(8,3),8)＝eq\f(1,3).二、填空题7．在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．解析：因为(x2－4)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCeq\o\al(r,5)x10－2r，令10－2r＝6，解得r＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2Ceq\o\al(2,5)x6＝160x6.答案：160x68．已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于eq\f(2,3)的概率为________．解析：当四棱锥O­ABCD的体积为eq\f(2,3)时，设O到平面ABCD的距离为h，则有eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为eq\f(1,2).因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，又四棱锥P­ABCD与四棱锥P­EFGH相似，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于eq\f(2,3)的概率为P＝eq\f(V四棱锥P­EFGH,V四棱锥P­ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).答案：eq\f(27,64)9．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，P(B)＝P(C)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝1)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝3)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,8)eq\f(5,16)eq\f(1,4)eq\f(1,4)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(1,8)＋2×eq\f(5,16)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)三、解答题10．(2019届高三·贵阳摸底考试)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图，(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望．解：(1)男生打分的平均分为eq\f(1,10)×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69.由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．(2)∵打分在80分以上的毕业生有3女2男，∴X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴X的分布列为X123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5).11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：微信群数量0至5个6至10个11至15个16至20个20个以上合计频数09090x15300频率00.30.3yz1(1)求x，y，z的值；(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X的分布列、数学期望和方差．解：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300，解得x＝105，所以y＝eq\f(105,300)＝0.35，z＝eq\f(15,300)＝0.05.(2)依题意可知，微信群个数超过15的概率为P＝eq\f(105＋15,300)＝eq\f(2,5).X的所有可能取值为0,1,2,3.依题意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5))).所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3－k(k＝0,1,2,3)．所以X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)所以E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25).12．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为Ceq\o\al(3,10)，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)所以X的数学期望E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).B组——大题专攻补短练1．(2019届高三·阜阳质检)从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2)．①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列及E(Y)．解：(1)这400名学生中，体重超过60kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝eq\f(1,4)，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为eq\f(1,4).(2)①∵X～N(57，σ2)，由(1)知P(X>60)＝eq\f(1,4)，∴P(X<54)＝eq\f(1,4)，∴P(54<X<60)＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴P(54<X<57)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，即高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率是eq\f(1,4).②∵该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57kg之间的人数Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，P(Y＝i)＝Ceq\o\al(i,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3－i，i＝0,1,2,3.∴Y的分布列为Y0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(Y)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).2．(2018·长春质检)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望E(X)；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)由频率分布直方图可得，随机抽取的9个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个．则X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(20,84)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(45,84)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(18,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以X的分布列为X0123Peq\f(20,84)eq\f(45,84)eq\f(18,84)eq\f(1,84)X的数学期望E(X)＝0×eq\f(20,84)＋1×eq\f(45,84)＋2×eq\f(18,84)＋3×eq\f(1,84)＝1.(2)设选择方案A可获利y1元，则y1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750.设选择方案B，从质量低于250克的芒果中获利y2元；从质量高于或等于250克的芒果中获利y3元，则y2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000.y3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500.y2＋y3＝7000＋19500＝26500.由于25750<26500，故B方案获利更多，应选B方案．3．2017年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为eq\f(3,4)，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为eq\f(2,3)，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查．(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X的分布列和数学期望．解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A，“在甲企业抽中”为事件B，“在乙企业第一次抽中”为事件C，“在乙企业第二次抽中”为事件D，则由题意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3).(1)因为A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，所以P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)·P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×1－eq\f(2,3)×1－eq\f(2,3)＋1－eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×1－eq\f(2,3)＋1－eq\f(3,4)×1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.所以P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)]·[1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36).P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)[1－P(C)][1－P(D)]＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝[1－P(B)]P(C)P(D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列为X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).4．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X∈[0,120]，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计．(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发