fky6-弹性薄板的小挠度弯曲

薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程应用广泛特殊形式——小挠度薄板第五章薄板的小挠度弯曲板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。第五章薄板的小挠度弯曲

§5-1基本概念与计算假定§5-2薄板内力§5-3薄板弯曲的基本方程§5-4边界条件§5-5四边简支矩形薄板的重三角级数解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角级数解(Levy解)§5-7圆形薄板的弯曲

§5-1基本概念与计算假定

板:板面、板边

板厚薄膜薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80～1/5之间时

挠度小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5大挠度问题

abhzyx荷载（Loads）当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解为两个荷载.

abhzyx纵向载荷（中面载荷）：横向载荷：作用在薄板中面的载荷，沿板厚均匀分布。（平面应力问题）垂直薄板中面的载荷，使板弯曲。（薄板弯曲问题）q基尔霍夫假设（1）直法线假设（2）σz引起的变形略去不计（3）中面内各点只有垂直位移w基尔霍夫假设（1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有εz=0和γxz=γyz=0。

即：横向位移w(x,y)只是x,y的函数，不随z变化。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。0=¶¶+¶¶ywzv,0=¶¶+¶¶xwzu(2)应力分量

远远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计

注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不能不计。把应力分量用应变分量表示，得：其他3个物理方程？(3)薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：也就是说：中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影性状却保持不变。在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只是在这里，薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹性曲线，薄板的双向弯曲（实际上是连弯带扭）代替了直梁的单向弯曲。§5-2薄板内力

根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式（位移法）。一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式二、薄板中的应力分量表示式

三、薄板横截面上的内力表示式

一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式（a）

根据上述第一假设，由几何方程知（a）式成立.由式（a）的第三式可知，在板内所有的点，位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。再由式（a）的第五、第六式，有由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有

（5-1）

（5-1）

式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式

由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。

（5-2）

二、薄板中的应力分量表示式

根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。

（5-3）

次要应力分量按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：

如体力分量FZ及下表面上的面力不等于零，对簿板来说，可以归入板上表面的面力，这样处理只会影响次要应力σz，于是板上、下表面的静力边界条件为：

这里q为薄板单位面积内的横向荷载。

（5-4）

（5-5）

式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。

将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。11h/2h/2zxysx右截面上：zdzMx11h/2h/2zxytxytxz右截面上：MxyzdztxyQx11h/2h2zxyMxyQxMxMyMyxQy薄板横截面上的内力~变形的关系薄板横截面上的应力：应力分量又可通过相应的内力表示

与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。

11h/2h/2zxysxsytxytxz

显然，沿着薄板的厚度，应力分量的最大值发生在板面，和的最大值发生在中面，而之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，在数值上较大，因而是主要应力；及数值较小，是次要的应力；挤压应力在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。

§5-2薄板弯曲的基本方程

设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为:由此得其中称为薄板的弯曲刚度。

薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。w=w(x,y)q=q(x,y)说明：1.如果w(x,y)满足，等价于满足薄板的6个几何方程，3个本构方程，3个平衡方程及板的上下面边界条件。故称为薄板弯曲问题的基本方程，在求解时只需选择w(x,y)满足及板边的边界条件即可。2.如果体力分量不为零，如何处理？将薄板单位面积内的体力归入薄板上板面的面力中。3.应力分量很难精确满足板边边界条件，常用圣维南静力等效边界条件，必须确定板横截面上的内力。几个待定常数？§5-4边界条件

以图示矩形板为例：1固定边

假定OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：2简支边假设OC边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My等于零。即：由于且在OC上即则简支边OC边界条件可写成：3自由边

板边CB为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：变扭矩为静力等效的横向剪力对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条件归并成两个边界条件。

将Mx、Qx、Mxy与的关系代入，得自由边界CB的边界条件为：FRB=（Myx）B+（Mxy）B＝2（Mxy）B

（5-16）集中力的指向，应由扭矩（Mxy）B的符号来判断。图示为当四个角点上的扭矩都为正时的指向。

角点条件FRB=2（Mxy）B

小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程和板边的边界条件。§9－5四边简支矩形薄板的重三角级数解对于四边简支的矩形板，边界条件为(b)四边简支纳维将w表示为重三角级数，

其中m，n为正整数。代入式(b)，全部边界条件满足。将q(x,y)也展为重三角级数，再代入式(a)，得将q代入上式，比较两边系数，得纳维解答是用多种正弦波形的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q

，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。当q为集中荷载F，作用于一点时，可用代替q，并且只在处的微分面积上存在，其余区域q=0，于是中当q为均布荷载时，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。设矩形板的两对边为简支边，其余两边为任意边界。§9－6矩形薄板的单三角级数解

两对边简支其中是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了的简支边条件,莱维采用单三角级数表示挠度，将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支将也展开为单三角级数，两对边简支代入式(b)，比较系数，得出求的常微分方程，其中为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将代入式(a)，得w解，其中的系数由其余两边界条件来确定。式(d)的解为书中列举了受均布荷载时,四边简支板的解答。矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。从求解薄板弯曲问题来看，两者比较如下：

适用性四边简支两对边简支，另两边可任意求解较困难，须求解系数

收敛性慢快应用局限于四边简支可推广应用到其他各种边界纳维解法莱维解法简便2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解，用于解决各种矩形薄板的边

界条件问题。3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静力（弯曲）问题中得到了广泛的应用，而且可以推广应用于薄板的动力、稳定问题,以及能量法中。（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（6）四边固定。§9－8圆形薄板的弯曲

圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。

1.

挠曲微分方程仍为其中圆板方程将对x，y的导数变换为对的导数，并代入，得2.

内力公式--类似地可利用公式，例如，内力公式同样，得出类似地，横截面上的总剪力为

3.

边界条件可以表示为⑵设为简支边，则⑴设为固定边，则边界条件前一条件使w对的导数在边界上均为0，故简支边条件为⑶设为自由边，则若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。所以有§9－9圆形薄板的轴对称弯曲挠曲微分方程为轴对称弯矩对于无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在的有限值条件，所以得。式(a)的全解为对于有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定。通解的系数由边界条件来确定：其中特解为边界条件上述的轴对称解答(b)，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。受均布荷载作用，如图，试求其挠度和内力。固定边椭圆板的边界方程为

Oabyx例题1由，显然。因此，从方向解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程得出，并从而得因此，只需取(c)内力为读者可以检验，最大和最小弯矩分别为当时，便由上述解得出圆板的解答;若令则椭圆板成为跨度为的平面应变问题的固端梁。四边简支矩形板，如图，受有分布荷载的作用，试用重三角级数求解其挠度。例题2解：将代入积分式，由三角函数的正交性，及得代入，得挠度的表达式为四边简支矩形板，如图，在的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题3