2024年-空间直角坐标系

2.4.1空间直角坐标系1

一．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z

表示.轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.22024/5/12如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；32024/5/123．让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.42024/5/1252024/5/1262024/5/12二．空间点的坐标1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；72024/5/123．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序实数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.82024/5/1292024/5/121．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：

xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数102024/5/12同理：yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；

xOz平面（通过x

轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；112024/5/123．坐标轴上点的特征：

x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；

y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；

z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。122024/5/124．卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；132024/5/12142024/5/12八个卦限中点的坐标符号分别为：I：（+，+，+）；II：（－，+，+）;III：（－，－，+）；IV：（+，－，+）；V：（+，+，－）；VI：（－，+，－）；VII：（－，－，－）；VIII：（+，－，－）；152024/5/12例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下:A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，162024/5/12例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点的坐标:（1）关于x轴的对称点是P1

；（2）关于y轴的对称点是P2

；（3）关于z轴的对称点是P3

；（4）关于原点的对称点是P4

；(x,－y,－z)(－x,y,－z)(－x,－y,z)(－x,－y,－z)172024/5/12例3．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，0）；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标可写为（a，0，c）.其中正确的叙述的个数是（

）（A）1（B）2（C）3（D）4C182024/5/12例4．点A(－