辽宁省沈阳市第一七六中学高三数学理上学期摸底试题含解析

辽宁省沈阳市第一七六中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是

A．

B．

C． D．参考答案：A过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.

2.抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．4.适合方程arctanx+arccoty=π的点P(x，y)的集合是某二次曲线C的一部分，则C的焦点坐标是（

）（A）(2，2)和(–2，–2)

（B）(2，–2)和(–2，2)（C）(，)和(–，–)

（D）(，–)和(–，)参考答案：B5.设a∈，则使函数y=xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(

)A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3参考答案：A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】分别验证a=﹣1，1，，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质．6.设集合，集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：B7.双曲线C的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．

（）参考答案：B8.设集合,,则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.复数+=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1参考答案：D【分析】根据运算法则计算即可．【解答】解：+===1，故选：D．10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11那么一定有（）A．a6≥b6 B．a6≤b6 C．a12≥b12 D．a12≤b12参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得a1+a11=b1+b11=2a6，由此利用均值定理能比较a6和b6的大小．【解答】解：∵等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a11=b11，∴a1+a11=b1+b11=2a6，则a6==≥=b6，当等号成立时有b1=b11，此时q=1，∴a6≥b6．故选：A．【点评】本题考查等差数列{an}和等比数列{bn}中两项大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知0＜θ＜，由不等式tanθ+≥2，tanθ+=++≥3，tanθ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：tanθ+≥n+1，则a=_________．参考答案：nn略12.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________．参考答案：由题意可知双曲线的渐近线方程为，∵其中一条渐近线的倾斜是，∴，故．13.已知集合A={x|y=lg(x–3)}，B={x|y=}，则A∩B=

。参考答案：{x|3<x≤5}14.实数满足，则的最大值是

。参考答案：略15.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．则|PA|＋|PF|的最小值是

，取最小值时P点的坐标

．参考答案：，抛物线的准线为。过P做PM垂直于准线于M过A做AN垂直于准线于N，则根据抛物线的定义知，所以，所以的最小值为，此时三点共线。，此时，代入抛物线得，即取最小值时P点的坐标为。16.若直线是抛物线的一条切线，则

．参考答案：-417.若，则数列的前n项和=______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。（1）分别求出曲线C，C的普通方程；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．参考答案：（Ⅰ）……………2分（Ⅱ）点坐标为…10分略19.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中.且点A为线段SD的中点，，.现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离.参考答案：解：（Ⅰ）证明：因为二面角的大小为90°，则，又，故平面，又平面，所以；在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即；又，故平面，因为平面，故.（Ⅱ）设点到平面的距离为，因为，且，故，故，做点到平面的距离为.

20.（本小题满分13分）设实数，整数，.（I）证明：当且时，；（Ⅱ）数列满足，，证明：．参考答案：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明①当时，，原不等式成立．②假设时，不等式成立，当时，

．所以时，原不等式也成立．综合①②可得，当时，对一切整数，不等式均成立．（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明．①当时，由题设知成立．②假设（）时，不等式成立．由易知，．当时，．由得．由（Ⅰ）中的结论得，．因此，即.所以时，不等式也成立．综合①、②可得，对一切正整数，不等式均成立．再由可得，即．综上所述，．证法2：设，则，并且．由此可得，在[)上单调递增，因而，当时，．①当时，由，即可知，并且，从而．故当时，不等式成立．②假设（）时，不等式成立，则当时，，即有．所以，时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立．21.已知函数.(1)若，求的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值。参考答案：(1)

（2）22.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面，,.(1)求证：面⊥面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a,连接AC，在RT△ABC中，AC=a,在直角梯形ABCD中易求得AD=a，所以在△DAC中有：AD2+AC2=CD2，∴AC⊥AD又∵PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AC

∴AC⊥平面PAD∵ACì平面PAC∴面PAD⊥面PAC

……………6分（2）以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则：A（a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a)设平面PBC的法向量为=(x′,y′,z′),平面PBD的法向量为=(x,y,z),=(a,0,a),=(0,a,0),=(2a,a