浙江省台州市中心中学高三数学理联考试题含解析

浙江省台州市中心中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的所有零点之和等于（A）2

（B）4

（C）6

（D）8参考答案：C由，得令,在同一坐标系中分别做出函数，，，由图象可知，函数关于对称，又也是函数的对称轴，所以函数的交点也关于对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.2.从1,2,3,4这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】基本事件总数n6，它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，由此能求出它们之和为偶数的概率．【详解】从1，2，3，4这4个数字中随机选择两个不同的数字，基本事件总数n6，它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，∴它们之和为偶数的概率为p．故选：B．【点睛】本题概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.3.已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（

）

参考答案：A略4.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是

A． B．

C． D．参考答案：A【知识点】平移变换.

C4解析：将函数的图象向左平移个单位得，函数图像，再将这个函数图像向上平移一个单位得，图像.故选A.【思路点拨】由平移变换的意义得正确选项.

5.已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则（

）A． B．－3 C．－3或 D．－1或－3参考答案：B6.是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（

）A. B.

C.

D.参考答案：B7.若向量，，，则实数的值为

（

）A．

B．

C．2

D．6参考答案：D因为，所以，所以。选D.8.若实数a、b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的

（

）

A．必要而不充分的条件

B．充分而不必要的条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要的条件参考答案：C9.若向量a＝（1，2），b＝（2，1），c＝（－5，－1），则c＋a－2b＝A.（－8，－1） B.（8，1） C.（0，3） D.（0，－3）参考答案：A10.已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为（）A．0 B．1 C．0或1 D．无数个参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据函数与方程的关系，得到xf（x）=﹣1，（x＞0），构造函数h（x）=xf（x），求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围进行求解即可．【解答】解：由g（x）=xf（x）+1=0得，xf（x）=﹣1，（x＞0），设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x），∵xf′（x）+f（x）＞0，∴h′（x）＞0，即函数在x＞0时为增函数，∵h（0）=0?f（0）=0，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，故h（x）=﹣1无解，故函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0个，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…++=

__________

.参考答案：201312.是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_____．参考答案：2设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，即，化简得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查双曲线方程与性质以及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．13.若，则

．参考答案：略14.过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为

．参考答案：-1或15.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①关于点P()对称

②的图像关于直线对称；③在[0，1]上是增函数；

④.其中正确的判断是

.(把你认为正确的判断都填上)参考答案：①②④16.（4分）（2015?嘉兴一模）正四面体OABC，其棱长为1．若=x+y+z（0≤x，y，z≤1），且满足x+y+z≥1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为．参考答案：【考点】：空间向量的基本定理及其意义；平面向量的基本定理及其意义．【专题】：空间向量及应用．【分析】：由题意可得点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分，由体积公式计算即可．解：由题意可得点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分，由已知数据可得S△OAB=×1×1×sin60°=，C到OAB的高h==，∴体积V=2××﹣××=故答案为：【点评】：本题考查空间向量基本不等式，涉及几何体的体积公式，属基础题．17.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.（1）求的取值范围；（运算中取）（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？参考答案：

略19.将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.（1）求；（2）当时，求的表达式；（3）令为这个数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.

参考答案：.解：（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100）=;（2分）(2)（5分）（3）当n=b（）,g(n)=0；

当n=10k+bg(n)=k;n=100时g(n)=11，即（8分）同理有（10分）由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90所以当时，S=（11分）当n=9时，p（9）=0，当n=90，p（90）==当n=10k+9（）时，p（n）=（13分）由y=关于k单调递增，故当当n=10k+9（）时，P（n）的最大值为p（89）=，又,所以最大植为.（14分）试题分析：本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先在于审清题意，搞清楚、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题的能力。本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.20.2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人．（Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)；（Ⅲ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.参考答案：(1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝.2分又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率.4分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为，由题知X的可能取值为0,1,2,3，(3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7.因此市民满意度指数为＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收.12分21.（本小题满分12分）已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线的方程.参考答案：解（Ⅰ）动点P满足,点P的轨迹是以EF为直径的圆，动点P的轨迹方程为

…………2分

设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PMx轴，，点P的坐标为（x，2y）

点P在圆上，

，

曲线C的方程是

…………4分（Ⅱ）因为，所以四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆交于两点，由得

…………6分由，得

………………8分

…………10分令，则（由上可知），当且仅当即时取等号；当平行四边形OANB面积的最大值为此时直线的方程为…………12分略22.（本小题满分14分）

已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围。参考答案：(Ⅰ)因为函数，所以，…………2分又因为，所以函数在点处的切线方程为…………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，．因为当时，总有在上是增函数，………………6分又，所以不等式的解集为，的解集为.故函数的单调增区间为，减区间为.…………8分(Ⅲ)因