山西省吕梁市汾阳第二中学高三数学理月考试题含解析

山西省吕梁市汾阳第二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（

）A．

B．

C． D．参考答案：D考点：定义的新概念及向量知识的迁移运用.2.已知函数，当时，取得最小值，则在直角坐标系下函数的图像为（

）A

B

C

D参考答案：B略3.多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．【解答】解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．4.设集合，则A∩B=（）A.{1} B.{1,2}C.{－2,－1,0,1} D.{－2,－1,0,1,2}参考答案：A【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{1}．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

参考答案：D依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为，即。故选D.6.若集合，且，则集合A可能是（

）A．{1,2}

B．{x|x≤1}

C．{－1,0,1}

D．R参考答案：A集合，且，故，故答案中满足要求，故选A.

7.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（

）A．

B．C．

D．参考答案：A

考点：导数与单调性．【名师点睛】对于已知条件是既有又有的不等式，一般要构造一个新函数，使得可通过此条件判断正负，从而确定单调性，例如我们常常构造函数，，，，要根据不等式的形式要确定新函数，如本题．判断出新函数单调性后，可利用此单调性得出不等关系，从而得出结论．8.函数的图象大致是参考答案：A函数，所以函数图象为A.9.已知函数，若存在，使，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意，有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－2a=sinφ+cosφ=sin（φ+）∵φ∈（，），∴φ+∈（，），∴sin（φ+）∈（，1）∴sin（φ+）∈（1，）∴-2a∈（1，）∴a∈。故答案选B。

10.复数(***).A．

B．

C．

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数若，则实数的取值范围是______参考答案：

12.已知等比数列的公比为，若，则参考答案：6【考点】等比数列【试题解析】由题知：

所以13.已知向量，，，若∥，则=___

参考答案：5略14.已知函数，对于实数、、有，，则的最大值等于

．参考答案：15.若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=

．参考答案：，．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a==，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），∴log2（8a）==，∴8a==，解得a==b．故答案为：，．16.若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=

．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．17.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．参考答案：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元．（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，∴y=．…（4分）（II）设利润为Q，则Q=yx﹣15000=．…（6分）当1≤x≤35，且x∈N时，Qmin=800×35﹣15000=13000，当35＜x≤60时，Q=﹣10x2+11500x﹣15000=﹣10（x﹣）2+，又∵x∈N，∴当x=57或x=58时，Qmax=18060＞13000，答：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元．…（12分）19.已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=ex﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）构造函数m（x）=+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2﹣1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=﹣+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，g（x）=ex﹣ex+1．g'（x）=ex﹣e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a﹣1，∴a≤2．20.（本小题满分12分）

已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，.………………2分因为.

所以切线方程是

……4分（Ⅱ）函数的定义域是.

………………5分当时，令，即，

所以或.……7分当，即时，在［1，e]上单调递增，所以在［1，e]上的最小值是；当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………8分（Ⅲ）设，则，只要在上单调递增即可.………………9分

而当时，，此时在上单调递增；……10分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，………………12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.

………………12分ks5u略21.（本小题满分12分）已知，，其中.且满足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.参考答案：由题意知由得，，

……3分∵，又，∴，∴………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得

………………

7分∵，，∴，.

…………

9分又∵有解，即有解，∴，解得，所以实数的取值范围为.…12分22.（本小题满分14分）各项均不相等的等差数列的前四项的和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式与前n项和；（2）记为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值.参考答案：（1）设数列的公差为，由已知得…………2分解得或由数列的各项均不相等，所以…………