河南省洛阳市东宋镇初级中学高三数学理联考试卷含解析

河南省洛阳市东宋镇初级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则S△ABC的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：由正弦定理知：，即，故，所以，又，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac≥3ac，∴，故，故选：D．2.从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为

A． B． C． D．参考答案：C由抛物线定义得，选C.

3.为加强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员x名，行政管理人员y名，若x、y满足，则z=3x+3y的最大值为（）A．4B．12C．18D．24参考答案：B考点：二元一次不等式（组）与平面区域．.专题：不等式的解法及应用．分析：首先作出已知不等式组所对应的平面区域如图，然后设直线l：z=3x+3y，将直线l进行平移，可得当直线l经过交点P（2，2）时，z达到最大值，且x，y都是正整数，从而得到z的最大值．解答：解：将不等式组，对应的平面区域作出，即图中的三角形及其内部设直线l：z=3x+3y，将直线l进行平移，当l越向上平移时，z的值越大．当直线l经过直线y=x与y=﹣x+4的交点P（2，2）时，z有最大值，且x，y都是正整数∴z的最大值是2×3+3×2=12故选B．点评：本题给出目标函数和线性约束条件，要我们求目标函数的最大值，着重考查了简单线性规划及其应用的知识点，属于基础题．4.已知非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.函数的定义域为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C，6.偶函数满足，且在时，则关于x的方程在

上解的个数是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D由得，所以函数的周期为4，又，所以函数关于对称，作出函数和的图象，由图象可知，两个图象的交点有4，即方程在上的解的个数为4个，选D.7.在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（） A．既不充分也不必要条件 B． 充分必要条件 C．必要不充分条件 D． 充分不必要条件参考答案：B略8.设复数满足，其中为虚数单位，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

本题考查了复数的运算，难度较小。

因为，所以.9.已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B【分析】求出函数的导数；再令g（x）=x﹣2lnx﹣4，从而可得g（x）在（2，+∞）上是增函数，再由零点判定定理可得存在x0∈（8，9），使g（x0）=0，即2lnx0=x0﹣4；从而求函数F（x）的最小值，从而解得．【解答】解：∵x＞2，∴k（x﹣2）＜f（x）可化为k＜=；令F（x）=，则F′（x）=；令g（x）=x﹣2lnx﹣4，则g′（x）=1﹣＞0，故g（x）在（2，+∞）上是增函数，且g（8）=8﹣2ln8﹣4=2（2﹣ln8）＜0，g（9）=9﹣2ln9﹣4=5﹣2ln9＞0；故存在x0∈（8，9），使g（x0）=0，即2lnx0=x0﹣4；故F（x）在（2，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数；故Fmin（x）=F（x0）==；故k＜；故k的最大值是4；故选：B．10.若变量满足则的最大值是（

）A．90

B．80

C．70

D．40

参考答案：【解析】画出可行域（如图），在点取最大值答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的共轭复数是___________参考答案：.

，故该复数的共轭复数为.12.设函数，则的值为

.参考答案：10略13.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是

.参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。当时，，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。14.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．参考答案：试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=.

考点：定积分的计算15.在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是．参考答案：因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。16.数列中，若，则该数列的通项_______参考答案：17.定义在R上的偶函数f（x）在上递增，，则满足＞0的x的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．参考答案：解：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………3分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，…………4分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………7分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………3分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…………6分

故当时，FG//平面PBD…………7分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………12分19.设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx?cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．20.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B．参考答案：解：（I）由正弦定理得，，即故

………………6分

（II）由余弦定理和由（I）知故可得

…………12分21.（本题满分13分）已知函数,.（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值.参考答案：（1），增区间为；（2）最小值，最大值.试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，利用计算周期，再利用的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知x的取值范围代入表达式，结合图象，求三角函数的最值.试题解析：.（Ⅰ）的最小正周期为令，解得，所以函数的单调增区间为.（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以.当且仅当时，取最小值.当且仅当，即时最大值.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值.22.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．参考答案：【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．【解答】解：