广东省深圳市宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

广东省深圳市宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数(2+iA．7 B．13 C．21 D．272．已知集合A={(x，y)∣y=xA．0 B．1 C．2 D．无数3．某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A．28 B．36 C．52 D．644．“0⩽x⩽1”是“1xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数f(x)=x5+4x+a在(−1A．(−5，5) C．[−5，5] 6．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点A．83 B．72 C．77．若函数f(x)=2cos(x−φ)+cosx的最大值是7，则常数φ的值可能是（）A．π6 B．π3 C．2π38．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，A．142 B．114 C．144二、､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{an}的前nA．若a52=B．若{anC．若Sn=3D．若{an}是等比数列，且10．直线l：(m+2)x−3y−m+1=0与圆A．圆C的半径为2B．直线l过定点(1C．直线l与圆C一定有公共点D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是311．若直线y=ax+b与曲线y=2+lnx相切，则a+b的取值可能为（）A．1 B．2 C．3 D．612．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AAA．平面AB1B．点B1到平面BCD的距离为C．DB1与DPD．以F为球心，393为半径的球面与侧面ABB三、､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知单位向量a，b满足|2a+14．函数f(x)=log3(x+x15．为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是.16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−c，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是（1）求角B的值；（2）若b=27，△ABC的面积为618．在等差数列{an}（1）求{a（2）若bn=(−1)na19．已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X，求X的分布列和期望.20．如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是（1）证明：DE∥平面SAC.（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.21．已知双曲线C：y2a2（1）求C的标准方程.（2）已知直线l与C相切，且与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，试问22．已知函数f(x)=x−x（1）求f(x)的极值；（2）已知α∈(0，π2

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】(2+i)3=2+i2·2+i=2．【答案】C【解析】【解答】因为集合A={(x，y)∣y=x2−2x−1}，B={(x，y)∣y=3x+1}，

则A∩B=x,y|3．【答案】A【解析】【解答】由分层抽样得出女性职工的人数为：500-320=180人，

所以，男性职工与女性职工的人数比例为：320：180=16：9，

所以，抽取到的男性职工的人数为100×1625=64人，女性职工的人数为100×925=36人，4．【答案】B【解析】【解答】因为0⩽x⩽1，所以当x=0时，1x⩾1不成立，不满足充分性；

因为1x⩾1，则1x-1⩾0，则x-1x≤0，所以，0<x≤1，满足必要性，

所以“0⩽x⩽1”是“1x5．【答案】A【解析】【解答】因为函数f(x)=x5+4x+a在(−1，1)内有零点，所以f(-1)×f(1)<0，

所以，-15+4×-1+a×15+4×1+a6．【答案】D【解析】【解答】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，所以p=2，设Ax1,y1,Bx2,y2，

由图可知，y1>0,y2<0,由抛物线定义和|FA|=7，|FB|=52，

所以，x1+p2=x1+1=7,所以x1=6,所以x2+p2=x27．【答案】B【解析】【解答】若常数φ的值为π3，

则函数f(x)=2cos(x−φ)+cosx=2cosxcosφ+2sinxsinφ+cosx

=2cosxcosπ38．【答案】C【解析】【解答】如图：设截得的截面圆的半径为r，球O的半径为R，因为AH：HB=1：2，

所以，OH=13R，由勾股定理，得R2=r2+OH2,由题意得πr2=π,所以r=1，

所以，R2=1+13R2,9．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，因为a52=a3a7，则a5=a3=a7=0满足题意，而此时数列{an}不是等比数列，所以A错；

对于B，因为{an}是等比数列，设公比为q，且q≠0，则a52=a1q42=a12q8，

a3a7=a1q2×a1q610．【答案】B,C,D【解析】【解答】直线l：(m+2)x−3y−m+1=0⇒mx+2x-3y-m+1=0⇒mx-1+2x-3y+1=0

所以，x-1=02x-3y+1=0，则x=1y=1，所以直线l过定点(1，1)，所以B对；

圆C：x2+y2−2x+4y=4的圆心C1,-2，半径r为-22+42-4×-4=36=6，所以A错；

因为直线l过定点(1，1)，又因为12+12−2×1+4×1=4，所以定点（1，1)在圆上，

所以直线l与圆C相切，所以直线l与圆11．【答案】B,C,D【解析】【解答】因为y=2+lnx，x>0，所以，y'=1x，设切点为x0,2+lnx0，

所以，k切=f'x0=1x0，所以曲线y=2+lnx的切线方程为：y-2+lnx0=1x0x-x0，

又因为直线y=ax+b与曲线y=2+lnx相切，

所以直线y=ax+b与切线y-2+lnx0=1x0x-x0重合，

所以，1x0=a1+lnx012．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，取AB1的中点G，连接FG，DE，易知G也是DE的中点，在∆AB1F中，

因为FA=FB1，G为AB1的中点，所以FG⊥AB1，在∆DEF中，因为FD=FE,

G是DE的中点，所以FG⊥DE，又因为AB1,DE⊂平面ABB1A1,所以FG⊥平面ABB1A1，

又因为FG⊂平面AB1F,所以平面AB1F⊥平面ABB1A1，所以A对；

对于B，设点B1到平面BCD的距离为h，易知S∆BCD=12×2×5-1=2,S∆BB1D=12×2×2=2,

因为VB1-BDC=VC-BB1D,所以13×2h=13×2×3,解得h=3，所以B错；

对于C，取BC的中点Q，连接AQ，易知AQ⊥BC,以A为坐标原点，

CB，AQ，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则D0,0,1,B11,3,2,设P-1,3,t，0≤t≤2,

则DB1→=1,3,1,DP→=-1,3,t-1,设D13．【答案】3​​​​​【解析】【解答】因为单位向量a，b满足|2a+b|=3，

则|2a→+b→|2=2a→+b→214．【答案】1【解析】【解答】因为函数f(x)=log3(x+x2+9)−a(a∈R)是奇函数，且0属于函数的定义域所表示的集合，所以，f(0)=0,则0=log33−a=1-a，所以a=1，则15．【答案】22【解析】【解答】从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试的情况有C73=35种，抽取的3项属于同一类的情况有C33=1种，抽取的3项包含三类的情况有C31C21C2116．【答案】10【解析】【解答】因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−c，0)，因为点F在直线上，

又因为直线l：x−3y+c=0与椭圆C交于A，B两点，所以，A，B，C三点共线，

设Ax1,y1,Bx2,y2,y1<0,y2>0,又因为|AB|=3|AF|，所以17．【答案】（1）解：因为cos2B=1−3cosB，所以2cos所以2cos2B+3cosB−2=0则cosB=12或因为0<B<π，所以B=（2）解；因为△ABC的面积为63，所以12acsinB=由余弦定理可得b2则(27)2=故△ABC的周长为a+b+c=27【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和一元二次方程求解方法，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值。

（2）利用已知条件结合（1）中角B的值和三角形的面积公式得出ac的值，再利用余弦定理得出a+c的值，从而联立关于a，c的方程组得出a，c的值，再利用三角形的周长公式得出三角形△ABC的周长。18．【答案】（1）解：设数列{an}则a3+a故an（2）解；由（1）可得bn则b2n−1故S=(12+16n−4)n【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而联立方程得出首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式。

（2）利用（1）得出的数列{an}的通项公式和bn=(19．【答案】（1）解：记事件A表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件B表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则P(A)=(0.P(AB)=0.故所求的概率P(B∣A)=P(AB)（2）解：由（1）可知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率p=0.24，则从而P(X=k)=C故E(X)=100×0.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出该中学生也喜欢乒乓球的概率。

（2）利用已知条件结合随机变量服从二项分布，从而得出随机变量X的分布列，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。20．【答案】（1）证明：取SA的中点F，连接CF，因为C，D为圆弧AB的两个三等分点，所以因为E，F分别为SB，则CD∥EF，EF=CD，从而四边形故DE∥CF.因为DE⊄平面SAC，CF⊂平面SAC，所以DE∥平面（2）解：以O为坐标原点，OB，OS的方向分别为因为AB=SA=4，所以A(0，D(3则AC(0，设平面SAC的法向量为m=(则m⋅AC=3x设平面SBD的法向量为n=(则n⋅BD=3x设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为θ，则cosθ=【解析】【解答】

【分析】（1）取SA的中点F，连接CF，EF，CD，再利用三等分点求解方法，

所以CD∥AB，CD=12AB，再结合中位线的性质得出EF∥AB，EF=12AB，再利用平行和相等的传递性以及平行四边形的定义，进而判断出四边形CDEF为平行四边形，所以DE∥CF，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线DE∥平面SAC。

（2）以O为坐标原点，21．【答案】（1）解：由题可得3a2−故C的标准方程为y2（2）解；由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：联立y=kx+m，y2则Δ=(16km)由（1）可知C的渐近线方程为y=24x不妨设直线l与直线y=24x的交点为A，与直线y=−联立y=24x，y=kx+m联立y=−24x，y=kx+m由OA=(得OA⋅因为8k2+m2=1，所以【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式、点与双曲线的位置关系和代入法、双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线的标准方程。

（2）由题意可知直线l的斜率存在，从而设出直线方程，再联立直线与双曲线方程结合判别式法得出8k2+m2=1，由（1）可知双曲线C的渐近线方程，不妨设直线l与直线y=24x22．【答案】（1）解：f'(x)=1−3x2，令令f'(x)>0，可得所以f(x)在(−33，33所以f(