7 微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答 (用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义

【学生版】微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答1、直线与平面所成的角（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角；（2）注解：①若一条直线垂直于平面，则直线和平面所成的角的大小是；②若一条直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角的大小是；（3）范围：①直线和平面所成角的范围是；②斜线和和平面所成角的范围是；2、利用几何法（定义法）求直线与平面所成的角首先，要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”；通常找射影的两种方法：（1）斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；（2）利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影；3、利用向量法求直线与平面所成的角（1）建立空间直角坐标系（或确定三个不共面的非向量为基向量）；（2）①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，，转化为求两个方向向量，的夹角（或其补角）；②如果是直线的一个方向向量，是平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为，，所成角的大小为；则或；特别地或；（3）代入向量运算公式求解；（4）归纳，回答；特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角；【典例】（2018年浙江卷第19题15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2；（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值；【提示1】利用几何法结合定理与直线与平面所成角的定义“规划”求解；【解题规划】（1）在在△AB1A1中，利用A1Beq\o\al(2,1)＋ABeq\o\al(2,1)＝AAeq\o\al(2,1)，推得AB1⊥A1B1；同理，在△AB1C1中，再由ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,1)＝ACeq\o\al(2,1)，推得AB1⊥B1C1，；再利用线面垂直的判定定理可证得AB1⊥平面A1B1C1；；（2）如图，在△A1B1C1中，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，可证得得C1D⊥平面ABB1，，从而∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角，然后在Rt△C1AD求解即可；【解题模板】……利用勾股定理，计算证明AB1⊥A1B1；……证明AB1⊥B1C1；……由线面垂直判定定理得结论；(几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)；……作出线面角；……论证线面角；……计算线面角（的正弦值）；【解析1】【说明】本题以上几何法证明与求解，必须依据平面几何性质、由线线垂直推线面垂直，由面面垂直推线面垂直，再“找--证—算”；【提示2】依据题设中的“垂直关系”、长度与角度，考虑适当建立空间直角坐标系；【解题规划】（1）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出AB1⊥A1B1,AB1⊥A1C1再根据线面垂直的判定定理得结论；（2）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用eq\o(AC1,\s\up6(→))与平面ABB1法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解；【解题模板】利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”……建立空间直角坐标系，写出点的坐标；……用向量表示几何元素；……通过向量运算，得出结论；……用向量表示几何元素；……设求平面的法向量；……代入线面角的向量公式，结论；【解析2】【提示3】（1）建立空间直角坐标系，计算、，即可证明垂直关系：、（2）求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值；【解析3】【说明】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【归纳】1、用几何法（定义法）求直线与平面所成的角的基本思路①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角为0°；②若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角为eq\f(π,2)；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面所成的角角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；2、用空间向量求直线与平面所成的角的基本思路一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）依据直线与平面所成的角的范围与两向量所成的角进行调整、回答；．【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；【即时练习】1、若直线l与平面α所成角为eq\f(π,3)，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))2、已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(10),10)3、若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与α所成角的正弦值为________．4、在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝eq\r(3)，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．5、在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．6、如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．（1）证明：CE∥平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．7、如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．【教师版】微专题：例析线面角两种解法的对比与规范解答1、直线与平面所成的角（1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角；（2）注解：①若一条直线垂直于平面，则直线和平面所成的角的大小是；②若一条直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角的大小是；（3）范围：①直线和平面所成角的范围是；②斜线和和平面所成角的范围是；2、利用几何法（定义法）求直线与平面所成的角首先，要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”；通常找射影的两种方法：（1）斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；（2）利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影；3、利用向量法求直线与平面所成的角（1）建立空间直角坐标系（或确定三个不共面的非向量为基向量）；（2）①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，，转化为求两个方向向量，的夹角（或其补角）；②如果是直线的一个方向向量，是平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为，，所成角的大小为；则或；特别地或；（3）代入向量运算公式求解；（4）归纳，回答；特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角；【典例】（2018年浙江卷第19题15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2；（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值；【提示1】利用几何法结合定理与直线与平面所成角的定义“规划”求解；【解题规划】（1）在在△AB1A1中，利用A1Beq\o\al(2,1)＋ABeq\o\al(2,1)＝AAeq\o\al(2,1)，推得AB1⊥A1B1；同理，在△AB1C1中，再由ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,1)＝ACeq\o\al(2,1)，推得AB1⊥B1C1，；再利用线面垂直的判定定理可证得AB1⊥平面A1B1C1；；（2）如图，在△A1B1C1中，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，可证得得C1D⊥平面ABB1，，从而∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角，然后在Rt△C1AD求解即可；【解题模板】……利用勾股定理，计算证明AB1⊥A1B1；……证明AB1⊥B1C1；……由线面垂直判定定理得结论；(几何法求线面角的步骤：“一作，二证，三计算”)；……作出线面角；……论证线面角；……计算线面角（的正弦值）；【解析1】（1）证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，则直角梯形四边形ABA1B1中，得AB1＝A1B1＝2eq\r(2)，在△AB1A1中，再由AA1＝4，AB1＝A1B1＝2eq\r(2)，所以A1Beq\o\al(2,1)＋ABeq\o\al(2,1)＝AAeq\o\al(2,1)，由AB1⊥A1B1；………………………3分由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，在直角梯形四边形BCB1C1中，得B1C1＝eq\r(5)，在△ABC中，由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝2eq\r(3)，由CC1⊥AC，得AC1＝eq\r(13)，在△AB1C1中，再由AC1＝eq\r(13)，AB1＝2eq\r(2)，B1C1＝eq\r(5)，所以ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,1)＝ACeq\o\al(2,1)，故AB1⊥B1C1，………………………6分又A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1；……………7分（2）如图，在△A1B1C1中，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD，………9分由AB1⊥平面A1B1C1，AB1⊂平面ABB1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1，由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1，所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角；………………12分由B1C1＝eq\r(5)，A1B1＝2eq\r(2)，A1C1＝eq\r(21)得cos∠C1A1B1＝eq\f(\r(6),\r(7))，sin∠C1A1B1＝eq\f(1,\r(7))，所以C1D＝eq\r(3)，在Rt△C1AD，故sin∠C1AD＝eq\f(C1D,AC1)＝eq\f(\r(39),13)，……………………14分因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是eq\f(\r(39),13)…………15分【说明】本题以上几何法证明与求解，必须依据平面几何性质、由线线垂直推线面垂直，由面面垂直推线面垂直，再“找--证—算”；【提示2】依据题设中的“垂直关系”、长度与角度，考虑适当建立空间直角坐标系；【解题规划】（1）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出AB1⊥A1B1,AB1⊥A1C1再根据线面垂直的判定定理得结论；（2）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用eq\o(AC1,\s\up6(→))与平面ABB1法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解；【解题模板】利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”……建立空间直角坐标系，写出点的坐标；……用向量表示几何元素；……通过向量运算，得出结论；……用向量表示几何元素；……设求平面的法向量；……代入线面角的向量公式，结论；【解析2】（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz；由题意知各点坐标如下：A(0，－eq\r(3)，0)，B(1，0，0)，A1(0，－eq\r(3)，4)，B1(1，0，2)，C1(0，eq\r(3)，1)；……………3分因此eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，2)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－2)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，－3)，……5分由eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝0得AB1⊥A1B1；由eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0得AB1⊥A1C1；又A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1；…………………………7分（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，…………9分设平面的法向量.由即可取＝(－eq\r(3)，1，0)，………12分所以；因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是eq\f(\r(39),13)；………15分【提示3】（1）建立空间直角坐标系，计算、，即可证明垂直关系：、（2）求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值；【解析3】（1）以为原点，以，所在直线分别为轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系；则,,,,…………3分所以，,，………5分所以，，即，所以，，即；又，所以⊥平面A1B1C1；……………7分（2）由（1）可知：，设平面的法向量为，则，即,令，则，，所以，，……12分设直线与平面所成的角，则，直线与平面所成的角的正弦值；………15分【说明】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【归纳】1、用几何法（定义法）求直线与平面所成的角的基本思路①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角为0°；②若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角为eq\f(π,2)；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面所成的角角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小；2、用空间向量求直线与平面所成的角的基本思路一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）依据直线与平面所成的角的范围与两向量所成的角进行调整、回答；．【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；【即时练习】1、若直线l与平面α所成角为eq\f(π,3)，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))【答案】D【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为eq\f(π,3)，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为eq\f(π,2)；2、已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(10),10)【答案】C；【解析】连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．C1O＝eq\f(1,2)×eq\r(42＋42)＝2eq\r(2)，BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴sin∠C1BO＝eq\f(C1O,BC1)＝eq\f(2\r(2),2\r(5))＝eq\f(\r(10),5)；3、若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与α所成角的正弦值为________．【答案】eq\f(7\r(3),15)；【解析】设l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(|1×0＋1×3＋1×4|,\r(3)×\r(02＋32＋42))＝eq\f(7,\r(3)×\r(25))＝eq\f(7\r(3),15)；4、在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝eq\r(3)，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．【答案】eq\f(\r(15),4)【解析】如图，在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝eq\r(3)，设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，由已知求得AO＝1，又PA＝4，∴PO＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)．∴sin∠PAO＝eq\f(PO,PA)＝eq\f(\r(15),4)．即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为eq\f(\r(15),4)；5、在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．【解析】以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，从而eq\o(CA,\s\up7(→))＝(2a,0,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(a，a,0)．设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈eq\o(CB,\s\up7(→))，n〉＝eq\f(\o(CB,\s\up7(→))·n,|\o(CB,\s\up7(→))||n|)＝eq\f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq\f(1,2)．所以〈eq\o(CB,\s\up7(→))·n〉＝60°．所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．6、如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．（1）证明：CE∥平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【解析】方法1、过P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H.不妨设AD＝2，∵BC∥AD，CD⊥AD，则易求DH＝eq\f(1,2)，过P作底面的垂线，垂足为O，连接OB，OH，易得OH∥BC，且OP，OB，OH两两垂直．故可以O为原点，以OH，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)证明由PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点，则可得：Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(5,4)，\f(\r(3),4)))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，－\f(\r(3),2))).设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up6(→))＝x＋\f(1,2)y－\f(\r(3),2)z＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝\f(3,2)y－\f(\r(3),2)z＝0.))令y＝1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,z＝\r(3)，))∴n＝(1，1，eq\r(3))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))·n＝eq\f(1,2)×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))×1＋eq\f(\r(3),4)×eq\r(3)＝0.又∵CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.（2）由（1）得eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(5,4)，\f(\r(3),4))).设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(PB,\s\up6(→))＝\f(3,2)y－\f(\r(3),2)z＝0，,m·\o(PC,\s\up6(→))＝－x＋\f(3,2)y－\f(\r(3),2)z＝0.))令y＝1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，,z＝\r(3)，))∴m＝(0，1，eq\r(3))．设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，eq\o(CE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|m·\o(CE,\s\up6(→))|,|m||\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(4)×\r(2))＝eq\f(\r(2),8).∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(2),8)；方法2、（1）证明如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且EF＝eq\f(1,2)AD，又因为BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，又因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，因此CE∥平面PAB.（2）分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE，由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD，因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，因为BC⊂平面PBC，所以平面