浙江省台州市横街中学高三数学文期末试题含解析

浙江省台州市横街中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的区间是（

）A. B. C. D.参考答案：B略2.如果以原点为圆心的圆必经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C3..已知是锐角的外接圆的圆心,且,若,则=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知函数f（x）=（2﹣x）ex﹣ax﹣a，若不等式f（x）＞0恰有两个正整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣e3，0） B．[﹣e，0） C．[﹣e3，） D．[﹣e3，2）参考答案：A【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】利用构造的新函数g（x）和h（x），求导数g′（x），从而可得a的范围．【解答】解：令g（x）=（2﹣x）ex，h（x）=ax+a，由题意知，存在2个正整数，使g（x）在直线h（x）的上方，∵g′（x）=（1﹣x）ex，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）max=g（1）=e，且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=﹣e3，直线h（x）恒过点（﹣1，0），且斜率为a，由题意可知，，故实数a的取值范围是[﹣e3，0），故选A．【点评】本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.下列函数中，在其定义域上不是奇函数的是A．B．C．D．参考答案：B6.某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．则可推知函数的零点的个数是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C． D．f（x）=﹣x|x|参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A中f（x）非奇非偶；B中f（x）是偶函数；C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；D中f（x）=是奇函数且在R上是减函数．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．8.已知sin（α﹣）=，则cos（α+）的值等于(

)A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴cos（α+）=cos（α+）=﹣cos（）=﹣sin[﹣（）]=﹣sin（﹣α）=sin（α﹣）=．故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题．9.设，则（

）A．a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．b>c>a参考答案：C试题分析：因为，，，故，选C．考点：指数函数和对数函数的图象与性质．10.设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】奇函数；对数函数的单调性与特殊点．【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），，，即=，1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1则即解得﹣1＜x＜0故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象向左平移个单位得出函数，则

▲

．参考答案：则

12.当时，函数的最小值是_______，最大值是________。参考答案：13.函数的定义域为

．参考答案：(0,2]14.若集合，，则集合的子集有

个．参考答案：415.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是+=1（a＞b＞0）与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为

．参考答案：abπ【考点】类比推理．【专题】规律型．【分析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆+=1与圆x2+y2=a2，可得出所截得线段的比都为，再根据所给的原理可知，椭圆+=1的面积是圆x2+y2=a2的面积的倍．从而结合圆x2+y2=a2的面积公式即可得出椭圆+=1的面积．【解答】解：图③中的曲线分别是+=1（a＞b＞0）与x2+y2=a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆+=1与圆x2+y2=a2，所截得线段的比都为，根据所给的原理可知，椭圆+=1的面积是圆x2+y2=a2的面积的倍．又圆x2+y2=a2的面积为a2π，∴椭圆+=1的面积是a2π×=abπ．故答案为：abπ．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了新原理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．16.设的反函数为，若函数的图像过点，且，

则

。参考答案：略17.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为____________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；（Ⅲ）求证：．参考答案：解析：（Ⅰ）当时，，定义域是，，令，得或．

…2分当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．

……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分

（Ⅱ）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

…………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

…………………9分（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，

．……………12分，．

……14分（法二）当时，．，，即时命题成立．

………………10分设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．

………………12分，又，，．．

…………………14分19.如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，.（1）求证：∥平面；（2）若∠＝90°，求证;（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.参考答案：（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,∴∥ED，且∴四边形EFOD是平行四边形

--------------------------------2分即EF∥DO

又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

----------------------4分（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC

∴AD⊥DP,∴PD⊥平面ABCD,

-------------6分

∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP

------------8分（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，所以三棱锥与三棱锥体积相等，即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，由余弦定理并整理得,

解得DC=2

-------------------10分∴三棱锥的体积∴该五面体的体积为

20.已知函数f(x)＝x－alnx＋a3－1(a>0).(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)在(，＋∞)上的单调性；(3)若函数g(x)＝2x3－x2lnx－16x＋20，求证：g(x)>0.参考答案：21.在几何体中,是等腰直角三角形,,和都垂直于平面,且，点是的中点。（1）求