人教版 高中数学教案 圆锥曲线方程

与圆锥曲线有关的几种典型题

一、教学目标

（-）知识教学点

使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关

的最值（极值）问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问

题等.

（二）能力训练点

通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力.

（三）学科渗透点

通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教学，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的

处理方法.

二、教材分析

I.重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值（极值）问题、与圆

锥曲线有关的证明问题.

（解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用.）

2.难点：双圆锥曲线的相交问题.

（解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合

图形分析.）

3.疑点：与圆锥曲线有关的证明问题.

（解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证

明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予

以示范.）

三、活动设计

演板、讲解、练习、分析、提问.

四、教学过程

（一）引入

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极

值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题

等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较

系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”.

(二)与圆锥曲线有关的几种典型题

1.圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C：f(x,y)=0与直线1：y=kx+b相交于A(xl,yl)、B-2，y2)两

点,则弦长|AB|为:

22x+x2

(1)|AB|=-Vl+k,|xj-x2|=71+k•7(ia)-4XJXJ

或IAB|=J1+**|yi-y2|=*J(y「y2)2-4yM.

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|.

例1过抛物线y=-(X?的焦点作帧斜角为a的直线1与抛物线交于

A、B两点，S|AB|=8,求倾斜角a.

分析一：由弦长公式易解.

由学生演板完成.解答为：

•.•抛物线方程为x2=-4y,.•.焦点为(0,-1).

设直线1的方程为y-(-l)=k(x-0),即y=kx-l.

将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0.

.\xl+x2=-4,xl+x2=-4k.

由|AB|=8得：8=71+k2•gk)」-4X1X(-4).

k=±1.

又由tga=±1得：(1=9或0=1.

44

pp

分析二：利用焦半径关系.：|蜗=-%+口声|=-丫2+%

/.IAB=-(yl+y2)+p="[(kxpl)+(kx2-l)]+p=-k(xi+x2)+2+p.由上述解法易求

得结果，由学生课外完成.

2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求

出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.

例2已知x2+4(yT)2=4,求：

(I)x2+y2的最大值与最小值；

(2)x+y的最大值与最小值.

解⑴：

将x2+4(yT)2=4代入得：

x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

=-3(y-1)2+y.

由点(x,y)满足x2+4(yT)2=4知：

4(y-l)2<4即|y-11Wl..•.0WyW2.

•••当y=g时，(x?+y2)咏=?•

当y=0时，(x2+y2)min=0.

解⑵:

分析：显然采用(1)中方法行不通.如果令11=*+丫，则将此代入x2+4(yT)2=4

中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值.

令x+y=u,则有x=u-y.

代入X2+4（y-l）2=4得:

5y2-（2u+8）y+u2=0.

又•••0WyW2,（由（1）可知）

[-（2u+8）]2-4X5Xu220.

/.1-7KU<1+75.

当u=l+6时，y=l+^€[0,2].

当u=l-、6时，y=l+-y^€[0,2].

「•（x+y）mw=1+右.

（X+y）min=1-V5.

3.与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判

断方法.

例3在抛物线x2=4y上有两点A(X1,yl)和B(x2,y2)且满足|AB=y1+y2+2,

求证：

⑴A、B和这抛物线的焦点三点共线；

⑵嵩.嵩为定值.

证明：

⑴：抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=T.

...A、B到准线的距离分别dl=yl+l,d2=y2+l(如图2—46所示).

由抛物线的定义:

|AF|=dl=yi+l,|BF|=d2=y2+l.

A|AF|+|BF|=yl+y2+2=|AB|.

即A、B、F三点共线.

(2)如图2-46,设NAFK=0.

v|AF|=|AAI|=|AK|+2

=|AF|sin0+2,

・・•呼M

又|BF|=|BBl|=2-|BF|sin0.

・•・阿=3

11

-----1-----=1.

I四|BF|

小结：与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性

质.

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△20来处理.但用△20

来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题：方法1,由“△20”

与直观图形相结合；方法2,由“△20”与根与系数关系相结合；方法3,转换

参数法（以后再讲）.

例4已知曲线Cl：X?+紧至=1及C?：y=x?+侑公共点，求

实数a的取值范围.

22

解：由两方程联立2x2+f1y-a)-2=0,

x2=y-l.

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0.

vA=4(l-a)2-4(a2-4)20,

如图2—47,可知:

椭圆中心（0,a）,半长轴a，=72,抛物线顶点为（0,1）,.•.当圆

锥曲线在下方相切或相交时，也.

综上所述：当l-0<a4段时，曲线C］与相交.

（三）巩固练习（用一小黑板事先写出.）

1.求椭圆,+y2=1到点A(l,0)的距离为最小的点P的坐标.

2.已知圆(xT)2+y2=l与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围.

3.证明：椭圆(+[=1与双曲线d=l的交点是一矩形的

顶点.

请三个学生演板，其他同学作课堂练习，教师巡视.解答为：

1.设P的坐标为(x,y),则

|PA|2=(x-I)2+y2=x2-2x+14-l--

342

=言-$+g(-24x42).

•••当x=g时，|PA|mil=y.

这时p(g,¥).

2.由两曲线方程消去y得：X2-(2-2P)X=0.

解得：xl=O,X2=2-2P.

V0<x<2,A0<2-2P<2,B|J0<P<l.

故P的取值范围为(0,1).

1-progB=0

表双曲线的渐近线.

PtR

四个交点为A(4,1),B(4,-1),C(-4,-1),D(-4,1).

所以A、B、C、D是矩形的四个顶点.

五、布置作业

1.一条定抛物线Cl：y2=l-x与动圆C2：(x-a)2+y2=l没有公共点，求a的

范围.

2.求抛线y=x2上到直线y=2x-4的距离为最小的点P的坐标.

3.证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.

作业答案：

1.当xWl时,由Cl、C2的方程中消去y,得x2-(2a+l)x+a2=0,

由方程无实根得，Z\=(2a+l)2-4a2<0,即得a<1.

当x〉l时，a〉2,CP也无公共点，.》<-(或2〉2.

2.设(X。，x；)是抛物线y=x?上任意一点，它到直线y=2x-4的距

离为d,则

_E-x：-4|_(x0-I/+3

忑E

当Xo=l时，+

,这时P的坐标为(1,1).

3.设双曲线方程为斗-$=1,一焦点FaQa2+b2,0),一条渐

方程y=°x,点F2到y=°x的距离的d=b7a2+b2