第一节定积分概念与性质1

第一节定积分的概念一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义七、小结思考题六、定积分的性质五、定积分的近似计算1abxyo【实例1】（求曲边梯形的面积）一、问题的提出【问题】如何求由任意封闭曲线所围成的平面图形的面积。【方法】转化为求曲边梯形的面积xyo2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）3观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放4曲边梯形如图所示，分割取近似5曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限6【实例2】（求变速直线运动的路程）【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．7(1)分割部分路程值某时刻的速度(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似8二、定积分的定义【定义】9被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和10【注意】（因为定积分是一个数值）因此若已知极限I存在，则可选取特殊的分法和特殊的取法，仍有相同的结果。（这为计算带来方便）(3)定义中，令λ→0，必然导致n→∞。但反之不然：(4)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积.(5)

f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的必要条件：即若只有n→∞，不能保证每个小区间的长都趋于0。11当f(x)在[a,b]上有有限个第一类间断点时，则f(x)在[a,b]上可积【定理1】【定理2】三、可积的充分条件（定积分存在定理）可积函数类【推论】12曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义13【几何意义】14在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小．对定积分的【补充规定】【说明】五、定积分的性质【证】【性质1】（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（逐项积分）15【证】【性质2】【补充】不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.［例］若【性质3】则（积分区间的可加性）【推广】［首尾相接］16【证】【性质4】【性质5】（不等式性质）——比较性质【几何意义明显】—保号性【解】令于是17【性质5的推论】【证】［推论1］【证】［推论2］【说明】18【证】（此性质可用于估计积分值的大致范围）【性质6】（估值性质）【解】［复习］闭区间上的连续函数求最值的一般方法.19【解】20【证】由闭区间上连续函数的介值定理的推论知：【性质7】（定积分中值定理）积分中值公式使即数值21【积分中值公式的几何解释】【注意】1.积分中值定理的微分中值定理的2.显然，积分中值公式不论a>b还是a<b都是成立的.3.从几何角度易看出，表示连续曲线在上的平均高度.为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ)的一个矩形的面积。亦即函数在上的平均值.它是有限个数的平均值概念的拓广22【解】由积分中值定理知有使【分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理等价无穷小代换最简单23七、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似，以直（不变）代曲（变）取极限取近似以直代曲24【思考题】1.将和式极限：表示成定积分.【思考题解答】原式［法Ⅰ］25［法Ⅱ］原式26观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．27观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．28观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．30观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．31观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．32观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．33观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．34观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．35观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．36观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．37观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．3