河北省承德市部分示范性高中2024届高三下学期二模数学试题（含答案）

高三数学考试本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则复数对应的复平面上的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设为实数，若函数在处取得极小值，则（）A.1B.C.0D.-14.在中，为中点，连接，设为中点，且，则（）A.B.C.D.5.函数的图象的对称轴方程为（）A.B.C.D.6.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（）A.97个B.91个C.84个D.75个7.已知函数，若满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知圆，圆与轴交于，斜率存在且过原点的直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线､直线､直线的斜率分别为，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（）A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”C.若且，则D.若且，则是等比数列的前项和10.已知直线与抛物线相交于两点，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，线段的中点到准线的距离为，焦点为为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若直线过抛物线的焦点，则D.若，直线的斜率之积为4，则直线的斜率为11.如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（）A.是平面的一个法向量B.C.点到平面的距离为D.二面角的正弦值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在处的切线的斜率为__________.13.已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.14.已知，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知正项数列的前项和为，满足，数列满足，.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项和.16.（本小题满分15分）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：成绩区间频数201802002802208020（1）求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；（2）根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.17.（本小题满分15分）如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.18.（本小题满分17分）已知椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是，过左焦点的直线与椭圆交于两点，过左焦点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的取值范围.19.（本小题满分17分）给定一个元函数组：，若对任意正整数，均有，则把称作该函数组的“初始函数”.已知是函数组，的“初始函数”，且.（1）求函数的单调区间；（2）设，记，数列的前项和为.是三个互不相等的正整数，若，求除以4的余数.参考答案1.【答案】A【解析】集合中，所以或者，集合中，所以，故选.2.【答案】D【解析】，所以的对应点在第四象限，故选D.3.【答案】B【解析】令，则或，因时取极小值，则，即，故选B.4.【答案】D【解析】由于，所以，故选D.5.【答案】C【解析】，所以，解得，故选C.6.【答案】C【解析】在中任取3个数，其大小关系确定，则“渐升数”共有个，故选C.7.【答案】D【解析】函数为偶函数，所以，故满足，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，注意到，因此，解出的取值范围是.故选D.8.【答案】A【解析】由题意得直线，与圆方程联立，得，可求出点，同理得点，由于在直线上，因此，化简后得，显然，否则点在圆上，与题意矛盾，则，再联立直线与直线，则点，因此，因此.故选A.9.【答案】AB（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故A正确；数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故B正确；设，则，解出，则，因此，故错误；若且，则，显然D错误.故选.10.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】因为，所以，即，故A正确；设直线，由可得点，由于，则直线，同理求出点，因此，故B错误；设直线的方程为，由可得，则，因此，故C正确；设直线的方程为，由可得，则，且，由于，因此，因为直线，的斜率之积为4，则，因此，满足，故直线的斜率为，故D正确，故选ACD.11.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】由于是正四棱柱，易知，在中，因为，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正确；在中，因为，则，在中，利用余弦定理可求得或（舍去），因此，故错误；，因此，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因此，由于，所以点到平面的距离为，故C正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，则令，因此二面角的正弦值为，故D正确，故选ACD.12.【答案】ln【解析】，则.13.【答案】【解析】由于直线的斜率为2，因此，且，因此，因为，所以，则.14.【答案】【解析】，，所以，而，因此原式.15.【答案】（1）（2）【解析】（1）由可得.由，可得，当为偶数时，令；当为奇数时，令.综上所述，；（2）由（1）得，则，由，可得，因为是一个递增数列，所以，故.故数列是首项为1，公比为2的等比数列，.16.【答案】（1）略，【解析】（1）；（2）由题意可知，，则，所以的分布列为012317.【答案】（1）略（2）或【解析】（1）证明：由题意知，解得，当时，有，即由是的中点，得，而平面，故平面；（2）解：以为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，利用的余弦值可以求出，于是，设平面的法向量为，则不妨取，解得.设，则与共线，设为，则，故，因此.设直线与平面所成角为，则.化简得，解得或因此或.18.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得解得，则，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，左焦点，当直线斜率不存在或者斜率为0时，，当直线斜率存在且不为0时，设直线，直线，联立方程组整理得，则，因此，同理可得，所以，由于，当且仅当时等号成立，则，综上所述，.19.【答案】（1）增区间，减区间（2）0或3【解析】（1）根据题意可知，函数的定义域为，令，即，解得：，即函数的单调递增区间为：，同理可得，单调递减区间为：（2）因为，所以，当时当时，，易得：又因为，即，可得，，12，356，7910，1113①若均能被4整除，，满足题意，余数为