广东省清远市石潭中学高三数学理测试题含解析

广东省清远市石潭中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）．

．

．

．参考答案：A设椭圆的半长轴为，椭圆的离心率为，则.双曲线的实半轴为，双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，两式联立消去得，即，所以，又因为，所以，整理得，解得，所以，即双曲线的离心率为，选A.2.在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B3.函数y＝xex的最小值是()A.－1 B.－eC.－ D.不存在参考答案：C【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.4.给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值

.参考答案：略5.复数、满足，，并且，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C6.（08年宁夏、海南卷理）（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】，选C。答案：C7.已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣，]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，] C．[﹣1，] D．[，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2017x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[﹣，]单调递增，求导，则g'（x）≥0恒成立，则k≤sin（x+）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．【解答】解：若方程f'（x）=0无解，则f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，?x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，则f（x）﹣2017x为定值，设t=f（x）﹣2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，∴，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣，]，g'（x）≥0恒成立，当时，，，，此时k≤﹣1，故选A．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．8.设函数，，，的最小值为，若，（）且，则（

）A．

B．

1

C.

-1

D．参考答案：A9.已知，且，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（

）（A）16

（B）24

（C）30

（D）48参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是虚数单位，那么等于

．参考答案：略12.参考答案：313.如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合.若，，，则*B=

参考答案：14.已知球O的内接圆锥体积为之，其底面半径为1，则球O的表面积为______．参考答案：【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.

15.函数的定义域是

.参考答案：由得，则定义域为：16.知数列的前n项和为,满足,且

成等差数列，则通项=__________．参考答案：略17.正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＜t2－5，求t的取值范围.参考答案：略19.设双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点F2且，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．【详解】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，则，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即e．故选C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．20.已知函数，，（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求m的取值范围．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ).【分析】(Ⅰ)求解出点，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在、和三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.【详解】(Ⅰ)当时，，所以所以所以曲线在处的切线方程为，即(Ⅱ)的定义域是，令，得①当时，，所以函数的单调增区间是②当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是③当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗

所以函数的单调增区间是，单调减区间是(Ⅲ)因，所以当时，所以在上恒成立，所以在上单调递增所以在上的最小值是，最大值是即当时，的取值范围为由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增因为，所以不合题意当时，，在上单调递减所以在上的最大值为，最小值为所以当时，的取值范围为“对于任意，总存在，使得成立”等价于即，解得所以的取值范围为【点睛】本题考查了利用导数求解切线方程、讨论含参数函数的单调性、利用不等关系求解参数范围问题.重点考查了恒成立与能成立相结合的问题，解决问题的关键是能够将问题转化为两个函数的值域之间的包含关系，从而使问题得到解决，对学生转化与化归思想的应用要求较高.21.（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的周期公式即可得出；（II）利用正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）∵===，∴f（x）最小正周期为．（II）∵，∴．∴∴，∴f（x）取值范围为．【点评】本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的单调性、周期公式等基础知识与基本方法，属于中档题．22.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是BC的中点，F是CC1上一点.（1）当时，证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）试题