甘肃省2022年高考文数考试真题与答案解析

甘肃省2022年高考[文科数学]考试真题与答案解析

一、选择题

本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.集合〃={2,4,6,8,10},N={x[-l<x<6},则Mr)N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D,{2,4,6,8,10}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为“={2,4,6,8,10},N={x[—I<x<6},所以〃nN={2,4}.

故选：A.

2.设(l+2i)a+b=2i,其中b为实数，贝I]()

A.a=\,b=-\B.a=l,b=lC.a=-\,h=\D.a=—l,b=—l

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为d对R,(a+b)+2ai=2i,所以a+6=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

3.已知向量£=(2,1)石=(一2,4),则卜“()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】先求得二相然后求得

【详解】因为13=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以**历而=5.

故选：D

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶图:

甲______J

61T.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.I

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为子9=7.4,A选项结

论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1……。

-8o.50625>8

16'

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值4=0.375<0.4,

C选项结论错误.

13

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值2=0.8125>0.6,

16

D选项结论正确.故选：C

x+y...2,

5.若x,/满足约束条件,x+2/4,则z=2x-y的最大值是（）

y-0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示,

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线J=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，

所以Zmax=2x4-0=8.故选：C.

6.设尸为抛物线C：/=4x的焦点，点”在C上，点8(3,0),若卜尸|=|四,则|曲()

A.2B.2A/2C.3D.372

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A

坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，/0,0),则I叫=1网=2,

即点A到准线x=T的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4。,2),

所以|/同=J(3-1)+(0-2)2=20.故选:B

7.执行下边的程序框图，输出的〃=)

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，b=b+2a=l+2=3,

。=6—。=3-1=2,〃=〃+1=2,

32

-2=->0.01•

4，

执行第二次循环，6=b+2a=3+4=7,

a=b—Q=7—2=5,〃=〃+1=3,

2

〃2_72_

/2-F2~—>0,01-

25，

执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17

。=6-。=17-5=12,〃=〃+1=4,

从2172-2=击<0.01,此时输出〃=4.

-2

71F

故选：B

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间〔-3,引的大致图像，则该函数是()

-x'+3xx3-x2xcosx2sinx

A.y=B.c.尸D.y=

x2+1尸F7Tx2+lx2+l

【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设/(x)=Hp贝|J/(1)=O,故排除B；

./、2xcosx

设MX）=K,当时，0<cosx<l,

,/、2xcosx2x

所以〃（力二17『<=7?<1，故排除C；

XIIXII

/X2sinx，小2sin3八,.

设8（力=77?，贝口⑶二―nr>°，故排除D.

故选：A.

9.在正方体488-48CQ中，E,尸分别为的中点，则()

A.平面与跖，平面B.平面片后产，平面

C.平面用£///平面Z/CD.平面用£///平面4G。

【答案】A

【解析】

【分析】证明以7,平面8。。，即可判断A;如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设

/8=2,分别求出平面稣“"ABD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体/5CO-4BCQ中，

/C_L8。且DD[1平面ABCD,

又EFu平面43CQ,所以EELDD1,

因为瓦尸分别为/&8C的中点，

所以E用MC,所以EFLBD,

又BDCDD1=D,

所以Eb_L平面,

又EFu平面B]EF,

所以平面片跖_L平面80。，故A正确;

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设48=2,

则用（2,2,2）,E（2,1,0）,下（1,2,0）,3（2,2,0）,4（2,0,2）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,

G(022),

则定=(一1],0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0),西=(2,0,2),

数=(0,0,2),就=(-2,2,0),而=(-2,2,0),

设平面用后厂的法向量为二=（*，％%）,

m-EF=-x.+y.=0

则有〈一1-1可取巨=(2,2,-1),

人e\m.EBx=y,+2z,=0

同理可得平面48。的法向量为*=（1，-1，-1）,

平面的法向量为第=（11，0）,

平面4G。的法向量为％=1）,

IjllJm-nx=2-2+1=1w0,

所以平面4即与平面48。不垂直，故B错误；

-3

因为加与〃2不平行，

所以平面4环与平面Z/C不平行，故C错误;

因为加与％不平行，

所以平面4EE与平面4Go不平行，故D错误,

故选：A.

10.已知等比数列｛%｝的前3项和为168,。2-%=42,则&=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4次工0,易得4工1,根据题意求出首项与公比，再根据等

比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列的公比为4国二°,

若q=l,则电-%=°,与题意矛盾,

所以qwi,

%=96

则％+%+%

,解得1

q=一

2

a2-a5=axq-axq-42

所以％=而=3.

故选：D.

11.函数/")=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2司的最小值、最大值分别为()

71713兀兀兀兀33兀兀

A.-一,一B.一_不，7C.——,一+2D-----，一+2

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求得/（x）的单调区间，从而判断出/（X）在区间［0,2句上的最小值和最大值.

【详解］/"（x）--sinx+sinx4-（x+l）cosx=（x+l）cosx,

所以/（x）在区间（o,|j和92"上/'（X）〉o,即.f（X）单调递增；

在区间上/'（X）<°，即/（力单调递减，

又40）寸（2加2,府卜畀2,穆卜倍+111

所以/（x）在区间［°，2兀］上的最小值为一专，最大值为5+2.

故选：D

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.1B.yC.—D.—

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面力88所在小圆距离一定时，底面力68面积最大

值为2r\进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到

当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形S8。，四边形片8。所在小圆半径为乙

设四边形对角线夹角为。，

111

则SARC》=—•AC-BDsina<--AC-BD<--2r-2r=2厂

八）222

（当且仅当四边形为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面力88所在小圆距离一定时，底面面积最大值为2?

又产+h2=1

E"1.2,V2/22c,2V2\（r2+r2+2/72Y4百

则%.他8=32/.人=）户.，.2公v——-——=苛

-XJJV\y4/

当且仅当r=2h-即J等时等号成立,

故选：C

二、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记S,为等差数列｛勺｝的前〃项和.若2s3=3S?+6,则公差d=

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2（q+2d）=2q+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=3邑+6可得2（%+%+%）=3（%+。2）+6,化简得2%=4+。2+6,

即2（q+2d）=2q+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

3

【答案】历##。3

【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

33

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率。=历，故答案为：-

15.过四点（°，0），（4,0），（-L1），（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

［答案】（x-2）2+（尸3『=13或（》-2『+（尸1）2=5或蔡或

【分析】设圆的方程为/+V+6+切+尸=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;

【详解】解：依题意设圆的方程为/+/+6+切+尸=°,

F=0F=0

若过（0,0）,（4,0）,（-1,1）,贝IJ16+4/）+/=0,解得°=-4,

l+l-Z>+£+F=0E=-6

所以圆的方程为x2+V—4x—6y=0,gp（x-2）2+（y-3）2=13;

歹=0F=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,贝|J16+40+尸=0，解得°=-4,

16+4+4D+2E+F=0£=-2

所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,gp（x-2）2+（^-l）2=5；

尸=0

尸=0

7

若过（0,0）,（4,2）,（川）,则=0解得

3，

16+4+4£>+2£+F=0

-14

E=------

3

814八

所以圆的方程为x2+N2-5彳-不歹=°,

16

F=-y

1+1-。+后+尸=0

c16

若过（T，l）,（4,0）,（4,2）,贝|J16+4D+E=0解得。=一二,

16+4+4O+2E+/=0

E=-2

所以圆的方程为f+9-3》-2歹一3=0,即（T）+（卜-1）2=署;

故答案为：（》-2丫+（歹-3）2=13或（x-2）2+（y-l『=5或=募或

16.若/（x）=lna+J+b是奇函数，则。=,b=

L—X

1

【答案】0.-y；②.山2.

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】因为函数〃x)=ln“+式\+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

由a+丁匚*0可得，(l-x)(a+l—ax)wo,所以x="l=T,解得：a=即函数的定义

域为(一l,l)u(l,+8),再由/(0)=0可得，b=ln2.即

/(x)=ln-1+T^-+ln2=ln7±1'在定义域内满足/(r)=-/(x)，符合题意.

Z1—X1—A

1

故答案为：一万；ln2.

三、解答题

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.记"6C的内角片，B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(/-6)=sin6sin(C-Z)

(1)若N=26,求C；

(2)证明：2/=/+。2

【答案】⑴Y；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-/),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sincos5-cosJsin5)=sin5(sinCeosA-cosCsin,再根据正弦定理，余弦定理化简

即可证出.

【小问1详解】

兀

由4=28,sinCsin(4-8)=sin8sin(C—4)可得，sinCsin5=sin5sin(C-/1),而0<4<5，

所以sin8e(0,l),即有sinC=sin(C—/)>0,而0<C<兀,0〈。一4〈兀，显然CwC-Z,所

-5兀

以，C+C-A=it,而4=25,A+B+C=所以。=彳.

n,O

【小问2详解】

由sinCsin(力-8)=sin8sin(C-4)可得，

sinC(sincosB-cosAsin5)=sinB(sinCcosA-cosCsin,再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

+,2_/)=；(/+'2-/)—：(/+/_。2),化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

18.如图，四面体Z8CZ)中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,£•为/IC的中点.

(1)证明：平面BE。，平面/IC。；

(2)设/8=8D=2,N4C8=60。，点尸在6。上，当△/EC的面积最小时，求三棱锥/一48c

的体积.

【答案】(1)证明详见解析

⑵乌

4

【解析】

【分析】(1)通过证明4C，平面来证得平面平面Z8.

(2)首先判断出三角形的面积最小时尸点的位置，然后求得尸到平面Z8C的距离，从

而求得三棱锥F-ABC的体积.

【小问1详解】

由于4。=。。，E是4c的中点，所以力CLDE.

AD=CD

由于核。=8。,所以AADB^ACDB,

ZADB=NCDB

所以4B=CB,故我口。，

由于。Ec&9=。，DE,B■平面BED,

所以/C,平面8£。，

由于zcu平面4CD,所以平面平面NCQ.

【小问2详解】

依题意/8=80=8C=2,ZACB=60°,三角形N6C是等边三角形，

所以ZC=2,AE=CE=1,BE-V3,

由于/O=C。,为0,8,所以三角形ZCQ是等腰直角三角形，所以。E=l.

DE2+BE1=BD2,所以。E，BE,

由于NCcBE=E,4C,BEu平面4BC,所以0E,平面48c.

由于△ZQ8三XCDB,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于JZFBA=ZFBC,所以“FBA沁FBC,

AB=CB

所以//=。尸，所以Eb_L/C,

由于S“FC=J/CM,所以当班■最短时，三角形⑷7。的面积最小值.

过E作£尸，8。，垂足为尸，

在RtZ\8EZ）中，；BE-DE=；BD-EF,解得EF

所以DF=J12一年=gBF=2—DF=[,

BF3

所以诉=

DU4.

FHBF3

过尸作W8E,垂足为〃，则FH//DE,所以W平面48C,且后=诉=7,

D匕DLJ4

3111py

所以m="所以喂应=三用诙.咫=/5><2><百xy]-.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积

量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m，）和材积量（单位：

n?）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面积七

材积量乂0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=°O38，ZV=1.6158,工玉乂=02474.

i=ii=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总

和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种

树木的总材积量的估计值.

£（七一方）（乂一歹）____

附：相关系数,nr2-----；---------,4896">1.377

J力（%-亍A岩-yA

Vi=l1=1

【答案】(1)0.06m2;0.39m3(2)0.97(3)1209m3

【解析】

【分析】(1)计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区

这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总

材积量的估计值.

【小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值亍=翳=006

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=而=039

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,

平均一棵的材积量为0.39m3

【小问2详解】

1010

工(苔-可(乂-刃》评-1。双

可2冬(乂一歹)2枢#_收牌,2一回

=02474-10x0.06x0.39=0-34。0.01342

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

则尸«0.97

【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为Hn3,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得诉=一/，解之得丫=12090?.则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

V.J71

20.已知函数/(x)=^-'—(a+l)lnx.

(1)当。=0时，求/(')的最大值;

(2)若/a)恰有一个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)-•

(2)(0，+°°)

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

⑵求导得/'(x)=(小二?2a二1)，按照0<“<1及“>1结合导数讨论函数的单调性，求

得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，/(x)=_，Tnx,x>0,贝ij/<x)=二一，==，

XXXX

当x«O，l)时，/则>0,/(X)单调递增；

当XG(l,+oo)时，/«H)VO,/(X)单调递减；

所以/(力,皿=八1)=-1;

【小问2详解】

/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,贝|J/"(x)=a+与_^^~=(。"吵一、,

XXXX

当时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，/4x)>°,/(x)单调递增；

当xe(l,+oo)时，/牛)<0,单调递减；

所以/(x)m,x=/(l)=a-l<0,此时函数无零点，不合题意；

当0<。<1时，(>1,在(0』)，(：，+ocj上，/心)>。，〃x)单调递增；

在(1，£|上，/()<°,〃x)单调递减；

又/⑴=。-1<0,当x趋近正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，

所以/(x)仅在Ij+s］有唯一零点，符合题意；

\a7

当。=1时，/'(x)=S?20,所以/(x)单调递增，又/⑴=。-1=0,

X

所以/（x）有唯一零点，符合题意；

当4>1时，1<1,在（o，£|，（l，+8）上，/心）>0,/（x）单调递增；

在，,11上，/心）<0,/（X）单调递减；止匕时/⑴=aT〉°,

又/—""+〃（"+1）”"，当〃趋近正无穷大时，/（5）趋近负无穷，

所以〃x）在1°，J有一个零点，在G，+°°）无零点，

所以“X）有唯一零点，符合题意；

综上，。的取值范围为（°，+°°）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题

转化为函数的单调性与极值的问题.

21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过”（0，-2）,呜,-1）两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点网1，-2）的直线交三于用，N两点，过用且平行于x轴的直线与线段S8交于点

7■，点〃满足砺=而.证明：直线/W过定点.

【答案】（1）v+T=1⑵（°厂2）

43

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为加、2+町;2=1,过Z（0,—1）,

4/7=1

11

IJ1I|59解得m=_n=—

14

y2x2

所以椭圆E的方程为：7+了=1・

【小问2详解】

32

J（0,-2）,5（-,-1）（所以/8:y+2=§x,

x2v2

①若过点P（L-2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入了+彳=1,

可得M（L半），"（1,一半），代入4?方程丁=!》-2,可得

7（痴+3,半），由府=而得到”（2#+5,半）.求得出方程：

7=（2-半Ox-2,过点（。，-2）.

②若过点P"-2）的直线斜率存在，设丘-歹一（％+2）=0,/（演,凹）,N（X2,%）.

kx-y-（k+2）=0

联立"x2y2，得（3%2+4）12一6人（2+左）x+3Z（左+4）=0,

34

6%（2+左）-8（2+外

…=3/+43F+4

可得'

3左（4+左）'4（4+4k-2k2）

[33左2+4,3F+4

且“…收罚（*）

联立，20,可得丁（芈+3,乂），"（3乂+6-玉,乂）.

y=­x—Z2

I3

可求得此时初:尸外=3必2;-J'-），

将（0,-2）,代入整理得2&+七）­6（必+%）+石为+%2%一3必--12=0,

将（*）代入，得244+12公+96+48%-24k-48-48左+24k2-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线次过定点（°，-2）.

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

(二)选考题

共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的

题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评

分.

八x=百cos2t

22.在直角